(Luận Văn Thạc Sĩ) Sự Tồn Tại Nghiệm Mạnh Địa Phương Của Hệ Phương Trình Navier - Stokes.pdf

Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HUYỀN TRANG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM MẠNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HUYỀN TRANG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM MẠNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy Thái Nguyên, năm 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Trần Thị Huyền Trang i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Phạm Thị Thủy Do kiến thức mẻ khoảng thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô người để luận văn hồn thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn giúp đỡ tận tình suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn q thầy quan tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn! ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm trơn 1.1.2 Không gian hàm suy rộng 1.1.3 Không gian Sobolev 1.2 Phương trình Navier – Stokes 10 Chương Nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes 15 2.1 Bài toán 15 2.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  15 2.1.2 Sự tồn nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  16 2.2 Bài toán 23 2.2.1 Định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  × 23 2.2.2 Sự tồn nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes 0,T    24 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo iii Lời nói đầu Phương trình Navier – Stokes lần Claude – Louis Navier thiết lập vào năm 1821 cho chất lỏng không nén năm 1822 cho chất lỏng nhớt Nhưng Navier đến phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ tầm quan trọng yếu tố xuất phương trình Cho đến George Stokes thiết lập lại dựa giả thiết xác báo tựa đề On the theories of the internal friction of fluids in motion, xuất năm 1845 Cho đến có nhiều cơng trình nghiên cứu phương trình Navier – Stokes Tuy nhiên, hiểu biết phương trình Navier – Stokes cịn khiêm tốn, muốn biết lượng nhiệt lưu thông máy bay bay, hình thành bão, chuyển động khơng khí, giải thích tượng sóng đập vào tàu chạy mặt nước, ta phải tìm cách giải phương trình Navier – Stokes, nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes ngày trở nên thời cấp thiết Luận văn trình bày vài kết nghiên cứu nghiệm tốn chứa hệ phương trình Navier – Stokes Luận văn bố cục thành hai chương với Lời nói đầu, Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo Trong đó, Chương nội dung luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kết sở cần thiết sử dụng Chương Chương 2: Nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes Trình bày định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh, tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes miền    với khoảng 0, T  ,0  T   miền bị chặn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong Chương trình bày lại số kiến thức sở làm tảng để nghiên cứu chương Các tài liệu tham khảo trích dẫn [1], [2], [3], [4], [7] 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm trơn Định nghĩa 1.1.1 Giả sử   n miền với n  Nếu n  1,    a, b  khoảng mở với   a  b   Giả sử k  , ta kí hiệu C k    không gian tất hàm u:   u  x x cho D u tồn liên tục  với   n ,0    k C    không gian tất hàm u :   C     :  C k    gọi không gian hàm trơn  k 0 Giả sử M bao đóng tập M  n Ta kí hiệu supp u : x ; u  x   0 giá hàm u :   Nếu k  k   ta đặt C0k   : u  C k   ; supp u compact , supp u   Do u  C0k    nghĩa u  C k    u   ngoại trừ tập compact  Đặc biệt C0k    không gian tất hàm trơn u không ngoại trừ tập compact phụ thuộc vào u Giả sử u M hạn chế hàm u tập M Với k    hiệu C k  không gian tất hạn chế u  với u  C k sup   k , x n D u  x    k   ta kí   cho n Nếu k   ta thay   k    Ta xác định chuẩn u Ck  u D u  x    :  sup  k , x Ck  Nếu k   ta thay   k    Ta ký hiệu    k Cloc  : u  ; u  C k  n  Giả sử n  2,0  T   Ta xác định không gian trường vectơ không phân kỳ trơn   C0,    : u  C0    ; div u  n Ta xét không gian thử   C0   0, T  ; C0,     : u  C0   0, T     ; div u  , n div áp dụng cho biến số x   x1 , , xn      C0 0, T  ; C0,     : u 0,T  ; u  C0   1, T     ; div u  n 1.1.2 Không gian hàm suy rộng Giả sử   n miền với n  Trong lý thuyết hàm suy rộng, khơng gian tuyến tính C0    hàm trơn  gọi không gian thử   C0    gọi hàm thử Cho phiếm hàm tuyến tính F :   F   ,   C0    Hàm F liên tục với miền G  , G  , tồn k  C  C  F , G   cho F    C    Ck G thỏa mãn với   C0    Định nghĩa 1.1.2 Khơng gian tuyến tính C0    tất phiếm hàm tuyến tính F : C0      F   liên tục, gọi không gian hàm suy rộng  Kí hiệu F     F ,    F ,  giá trị F  Mỗi hàm f  L1loc    xác định hàm suy rộng định nghĩa  f ,  Ta kí hiệu hàm suy rộng f ,  f ,  f , :  f  dx   f Do ta xác định f với hàm suy rộng f , phép nhúng L1loc     C0    Mỗi f  L1loc    gọi hàm suy rộng quy Xét tốn tử vi phân D  D11 Dn n với   1 , , n   n Với F  C0    hàm suy rộng D F  C0    định nghĩa  D F ,  :  1  F , D  ,   C0     Đặc biệt, với f  L1loc    hàm suy rộng D f   D f ,.  C0    định nghĩa  D f ,  :  1  f , D   1    f  D  dx  Nếu D f quy tồn hàm L1loc    biểu thị qua D f cho  D f ,   D f ,    D f dx với   C0     Kí hiệu D f  L1loc    D f quy coi hàm L1loc    Giả sử F  C0    D : a D ,   k k , a  (1.1) toán tử vi phân DF  C0    định nghĩa  DF ,     1  k  a  F , D  ,   C0    (1.2) Đặc biệt, f  L1loc    Df định nghĩa (1.2) hàm suy rộng quy xác định hàm biểu thị qua Df ta viết đơn giản Df  L1loc    Khi  Df ,   Giả sử Df ,    Df  dx    1 a f , D với   C0       k f  L1loc      1 , , n   n D f Nếu quy, D f  L1loc    ta gọi D f đạo hàm yếu cấp  f Nếu  q   ký hiệu D f  Lq    D f quy hàm Lq    , ta viết D f q   Tương tự, Df  Lq    với D thỏa mãn (1.1) quy Ta xét không gian tương ứng cho trường vectơ Giả sử m C0   : 1 , ,m  ,  j  C0   , j  1, , m m khơng gian hàm thử có giá trị vectơ   1 , ,m  trang bị tôpô tương ứng Với F   F1 , , Fm  , Fj  C0    , j  1, , m ta định nghĩa hàm  F ,  , F:    1, ,m   C0   m  F ,    F ,  :  F1 ,1     F1 ,m  Ta ký hiệu  m m C0    C0       F1 , , Fm  ; Fj  C0    , j  1, , m  không gian suy rộng không gian thử C0   m Giả sử f  L1loc     1 , , n   m   f ,   n f   f1 , , f m  xác định hàm suy rộng f ,   f  dx  f   f11   f mm ,  1, ,m   C0   Khi ta có phép nhúng m m m L1loc     C0     Để xác định nghiệm yếu phương trình Navier – Stokes ta xét không gian hàm thử không phân kỳ   C0,    :   C0    ; div    C0    n n Không gian C0,    hàm tuyến tính liên tục định nghĩa C0,    không gian tất hạn chế F C 0, Do   n , F  C0,     C0,    F C 0,  , F  C0,       n Xét không gian Hilbert L2   với tích vơ hướng n u, v   u, v :  u  x  v  x  dx  không gian L2    : C0,    n bao đóng chuẩn  L2    n Với u  L2   xác định hàm u, :  n u, ,   C0   ta n phép nhúng tự nhiên n n L2     C0     Tương tự, với u  L2    xác định hàm u, :  u,  ,   C0,    phép nhúng tự nhiên L2     C0,    Sau đó, ta sử dụng phép chiếu trực giao P : L2   Helmholtz 1.1.3 Không gian Sobolev n L2   gọi phép chiếu