Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 20[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa cơng bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu i Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Tôi xin cảm ơn Thầy hướng dẫn tận tình, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian b–metric 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian b-metric 1.2 Không gian b-metric mở rộng 12 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty 15 2.1 Định lý điểm bất động Geraghty cho ánh xạ không gian metric 15 2.2 Trường hợp không gian b-metric 17 2.3 Trường hợp không gian b-metric mở rộng 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học Những kết biết đến nguyên lý ánh xạ co Banach lớp không gian metric đầy đủ Về sau có nhiều tác giả mở rộng nguyên lý với điều kiện khác không gian ánh xạ Vào năm 1973, nhà toán học Michael A Geraghty chứng minh dạng định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ đặc biệt (thường gọi ánh xạ kiểu Geraghty), mở rộng tự nhiên nguyên lí ánh xạ co Banach Trong vài năm trở lại đây, số nhà Toán học nghiên cứu trường hợp định lý lớp không gian khác nhau, đồng thời mở rộng số kết A Geraghty Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất số định lý điểm bất động không gian b-metric, b-metric mở rộng, thực nghiên cứu luận văn với tên gọi là: "Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b-metric mở rộng" Các nghiên cứu luận văn chia thành chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, tơi trình bày lại số khái niệm, ví dụ khơng gian metric, b-metric, b-metric mở rộng; Các tính chất hội tụ, số tính chất khác khơng gian • Chương 2: Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty Đây phần trọng tâm luận văn, phần trước tiên giới thiệu định lý điểm bất động Geraghty nhà toán học Geraghty công bố vào năm 1973, xem định lý gốc, cổ điển để so sánh với kết công bố số năm gần nhà tốn học Sau giới thiệu số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty lớp không gian b-metric, tác giả, đặc biệt A.Aghajani, M.ABBAS, J.R Roshan ([1]) Hamid Faraji, Dragana Savic, Stojan Radenovic ([3]) công bố vào năm 2014, 2019 Đồng thời, giới thiệu số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty lớp không gian b-metric mở rộng, tác giả Vahid Parvaneh, Zoran Kadelburg, R J Shahkoohi, Hasan Hosseinzadeh ([5]) số tác giả khác công bố năm gần Tôi cố gắng chọn lọc xếp để nội dung luận văn ngắn gọn phù hợp hơn, thời gian khuôn khổ luận văn có hạn nên q trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Chính vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến từ phía thầy cô giảng viên, nhà nghiên cứu anh chị học viên Cao học để luận văn hoàn thiện Trong trình thực luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo Hà Trần Phương Tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo anh chị học viên lớp Cao học Toán K26B trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Phạm Thị Hải Châu Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm, đưa số ví dụ cụ thể tập trung nghiên cứu số tính chất không gian metric, không gian b-metric, không gian b-metric mở rộng, tham khảo từ tài liệu [2], [3], [5], [6], [7] để làm sở cho việc trình bày Chương 1.1 Không gian b–metric 1.1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 (Không gian metric) Cho X tập khác rỗng, X ta trang bị hàm số d:X ×X →R (x, y) 7→ d (x, y) thỏa mãn điều kiện sau: d (x, y) ≥ với x, y ∈ X ; d (x, y) = ⇔ x = y ; d (x, y) = d (y, x) với x, y ∈ X ; d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với x, y, z ∈ X Khi d gọi metric hay khoảng cách X Cặp (X, d) gọi không gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, d (x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y X Ví dụ 1.1.2 Cho X = R X = C, ta xác định metric X sau: d (x, y) = |x − y| với x, y ∈ X Theo định nghĩa trên, (X, d) không gian metric Định nghĩa 1.1.3 (Sự hội tụ không gian metric) Trong không gian metric (X, d), {xn } dãy phần tử X , ta nói {xn } hội tụ đến x0 ∈ X nếu: lim d (xn , x0 ) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x0 xn → x0 n → ∞ Phần tử x0 gọi n→∞ giới hạn dãy {xn } Giới hạn dãy có Nếu lim xn = a; lim yn = b lim d (xn , yn ) = d (x, y) Tức hàm n→∞ n→∞ n→∞ khoảng cách hàm số liên tục x y Định nghĩa 1.1.4 Giả sử (X, d) không gian metric Dãy {xn } phần tử X gọi dãy Cauchy (hay dãy ) nếu: lim d (xm , xn ) = m,n→∞ Nghĩa là, với ε > 0, tồn số n0 ∈ N∗ cho với m, n ≥ n0 ta có: d (xm , xn ) < ε Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric X gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy phần tử X hội tụ Định nghĩa 1.1.6 Giả sử (X, d) không gian metric, x0 ∈ X r > Tập B (x0 , r) = {x ∈ X : d (x0 , x) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính r Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian metric (X, d), T ánh xạ từ tập X vào Ánh xạ T gọi có điểm bất động tồn x0 ∈ X : T x0 = x0 Nếu X không gian metric đầy đủ điểm bất động Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào gọi ánh xạ co tồn số α ∈ [0, 1) cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) , với x, y ∈ X Định lý 1.1.9 (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T co X , tồn α ∈ [0, 1) cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) với x, y ∈ X T có điểm bất động với x0 ∈ X bất kì, dãy {T n (x0 )} hội tụ đến điểm bất động 1.1.2 Không gian b-metric Định nghĩa 1.1.10 (Xem [3]) (Định nghĩa không gian b-metric) Giả sử X tập khác rỗng s ≥ số thực cho trước Hàm d : X × X → [0; +∞) gọi b-metric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: d (x, y) = ⇔ x = y ; d (x, y) = d (y, x); d (x, y) ≤ s [d (x, z) + d (z, y)] (bất đẳng thức tam giác) Khi đó, tập X với b-metric X gọi không gian b-metric với tham số s, nói gọn khơng gian b-metric kí hiệu (X, d) X