��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC TR�N THÀ DUNG �I�M B�T �ËNG V� C�C PH×ÌNG TR�NH H�M LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n N«m 2014 ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC TR�N THÀ DUNG[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TRN THÀ DUNG IM BT ËNG V CC PH×ÌNG TRNH HM LUN VN THC S TON HC ThĂi Nguyản - Nôm 2014 I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TRN TH DUNG Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M¢ sè : 60.46.01.13 LUN VN THC S TON HÅC NGìI HìẻNG DN KHOA HC TS: HONG VN HềNG ThĂi Nguyản - Nôm 2014 Mửc lửc Lới nõi Ưu CĂc nh lỵ sỡ cĐp và im bĐt ởng v cĂc bi toĂn và phữỡng trẳnh hm 1.1 1.2 IM BT ËNG 1.1.1 ành ngh¾a 1.1.2 V½ dư MËT SÈ ÀNH LÞ SÌ CP V IM BT ËNG V PH×ÌNG TRNH HM 1.2.1 nh lỵ 1.2.2 nh lỵ 1.2.3 nh lỵ 1.2.4 nh lỵ 10 1.2.5 nh lỵ 12 1.2.6 iºm b§t ëng v cĂc phữỡng trẳnh hm dÔng b 1.3 1.4 f ( (x)) = af (x)+ 15 NGUYN LÞ NH X CO BANACH V IM BT ËNG V PH×ÌNG TRNH HM 19 1.3.1 19 ành ngh¾a 1.3.2 nh lỵ ( S.Banach) 19 1.3.3 nh lỵ 20 1.3.4 ành lỵ 22 IM BT ËNG CÕA CC NH X LP V PH×ÌNG TRNH HM 24 1.4.1 M»nh · 24 1.4.2 M»nh · 24 1.4.3 M»nh · 25 1.4.4 nh lỵ( xem[1] ) 25 1.4.5 M»nh · 25 1.4.6 M»nh · 26 1.4.7 ành ngh¾a 26 1.4.8 M»nh · 26 1.4.9 ành ngh¾a 26 1.4.10 M»nh · 27 1.4.11 M»nh ·( b i to¡n 114 [2]) 28 1.4.12 28 M»nh · Nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach khổng gian Metric suy rëng v sü ên ành nghi»m cõa c¡c ph÷ìng trẳnh hm dÔng Cauchy 2.1 30 NGUYN Lị NH X CO BANACH TRONG KHỈNG GIAN METRIC SUY RËNG 31 2.1.1 ành ngh¾a 31 2.1.2 Nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach khæng gian metric suy rëng 31 2.1.3 M»nh · (xem S.-M Jung and Z.-H Lee [6]) 32 2.2 SÜ ÊN ÀNH NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY 2.3 Sĩ ấN NH NGHIM CếA MậT LẻP CC PHìèNG TRNH HM DNG CAUCHY 34 39 2.3.1 nh lỵ (Soon-Mo Jung v Seungwook Min [7]) 39 2.3.2 H» qu£ 42 2.3.3 V½ dư ¡p dưng 43 2.3.4 M»nh · 43 Kát luên 46 Ti liằu tham khÊo 48 Lới nõi Ưu Phữỡng trẳnh hm l mởt lắnh vỹc khõ chữỡng trẳnh nƠng cao cừa toĂn sỡ cĐp CĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh hm rĐt a dÔng v thữớng mang tẵnh c thũ, nghắa l chúng phử thuởc nhi·u v o gi£ thi¸t cõa tøng b i to¡n cư thº v rĐt khõ phƠn lợp cĂc phữỡng trẳnh hm theo c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i Líi gi£i cõa mët b i to¡n và phữỡng trẳnh hm thữớng ỏi họi nhiÃu k nông v kián thực khĂc cừa hồc sinh: k nông bi¸n êi, c¡c ki¸n thùc v· h m sè, nghi»m têng quĂt cừa mởt số cĂc phữỡng trẳnh hm cỡ bÊn, Hi»n câ nhi·u t i li»u chuy¶n kh£o v· c¡c phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh hm, hƯu hát cĂc ti liằu õ cõ th thĐy rơng số lữủng cĂc vẵ dử minh hồa cho mội mởt phữỡng phĂp giÊi l rĐt ẵt iÃu ny cõ th giÊi thẵch bi hai lỵ do: thự nhĐt, cõ quĂ nhiÃu vẵ dư cho vi»c ùng dưng mët ph÷ìng ph¡p n o â cõ th lm cho ngữới ồc nhm chĂn(chng hÔn, phữỡng phĂp giÊi cĂc phữỡng trẳnh hm dÔng f ((x)) = a(x)f (x) + b(x), a(x), b(x) l c¡c h m cho trữợc v f õ (x) l mởt hm  cho cõ chu ký lp, l hm cƯn tẳm); thự hai, náu cõ mởt vẵ dử no õ thỹc sỹ khổng gƠy nhm chĂn thẳ thữớng lới giÊi cừa nõ l mởt tờ hủp cĂc phữỡng phĂp v xáp lới giÊi vẵ dử ny vo mởt phữỡng phĂp cử th no õ thiáu sực thuyát phửc Trong cĂc phữỡng trẳnh hm cõ mởt lợp cĂc phữỡng trẳnh ( khĂ hàp, côn cự trản cĂc vẵ dử minh hồa cừa cĂc ti liằu và phữỡng trẳnh hm ) m lới giÊi cừa nõ dỹa vo sỹ tỗn tÔi cĂc im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ no õ Chúng tổi gồi phữỡng phĂp giÊi cĂc phữỡng trẳnh hm loÔi ny l phữỡng phĂp im bĐt ởng Cho x X X, Y l cĂc têp cõ tẵnh chĐt X Y 6= ∅ gåi l mët iºm b§t ëng cõa f n¸u v f :X →Y f (x∗ ) = x l mởt Ănh xÔ im BÊn luên vôn im bĐt ởng v cĂc phữỡng trẳnh hm têp hủp cĂc vẵ dử và phữỡng trẳnh hm m lới giÊi cừa nõ cõ dũng án cĂc tẵnh chĐt khĂc cừa têp cĂc im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ f no õ Nởi dung cừa luên vôn gỗm Lới nõi Ưu, hai chữỡng, phƯn kát luên v ti liằu tham khÊo CHìèNG I CC NH Lị Sè CP V IM BT ËNG V CC BI TON V PH×ÌNG TRNH HM Chữỡng ny trẳnh by nh nghắa im bĐt ởng, mởt số cĂc nh lỵ sỡ cĐp và im bĐt ởng, nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach khổng gian metric v mët k¸t qu£ b i b¡o [1] Trong mửc 1.2, cĂc tẵnh chĐt cừa têp im bĐt ởng ữủc vên dửng tẳm cĂc hm cõ th l nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh hm ữủc xt, nghiằm thỹc sỹ cừa phữỡng trẳnh hm ữủc tẳm bơng cĂch thỷ trỹc tiáp cĂc hm khÊ dắ l nghiằm vo phữỡng trẳnh hm  cho Mởt số cĂc vẵ dö n y l c¡c b i to¡n c¡c ký thi Olympic ToĂn quốc tá IMO,  tr thnh cĂc vẵ dư kinh iºn cho vi»c ùng dưng iºm b§t ëng vo phữỡng trẳnh hm v ữủc trẳnh by nhiÃu ti liằu ( chng hÔn [2]) Mởt số cĂc vẵ dử khĂc tĂc giÊ tỹ sĂng tĂc dữợi sỹ hữợng dăn cừa T.S Hong Vôn Hũng Mửc 1.3 trẳnh by nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach khổng gian metric v ựng dửng nguyản lỵ ny vo viằc giÊi mởt số dÔng phữỡng trẳnh hm CĂc phữỡng trẳnh hm mửc ny thữớng ữủc xt cĂc lợp hm cõ tẵnh chĐt c biằt ( vẵ dử lợp cĂc hm b chn, lợp cĂc hm liản tửc, ) CĂc lợp hm ny l cĂc khổng gian metric Ưy ừ, cỏn cĂc phữỡng trẳnh hm ữủc xt ữủc viát lÔi dữợi dÔng õ f l hm cƯn tẳm v T (T f )(x) = f (x), l Ănh xÔ co cht trản khổng gian metric Ưy ừ tữỡng ựng CĂc phữỡng trẳnh hm mửc ny Ãu nhĐt nghiằm Mửc 1.4 trẳnh by mởt kát quÊ cừa tĂc giÊ Hong Vôn Hũng [1], kát quÊ ny cho ph²p kh¯ng ành sü væ nghi»m cõa mët sè c¡c phữỡng trẳnh hm dỹa trản cĐu trúc têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ lp cừa mởt Ănh xÔ g n o â C¡c v½ dư cõa mưc n y l cĂc phữỡng trẳnh hm xuĐt hiằn cÊ Ôi số tuyán tẵnh lăn giÊi tẵch CHìèNG II NGUYN Lị NH X CO BANACH TRONG KHỈNG GIAN METRIC SUY RËNG V SÜ ÊN ÀNH NGHIM CÕA CC PH×ÌNG TRNH HM DNG CAUCHY Chữỡng ny trẳnh by nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach khổng gian metric suy rởng Nguyản lỵ n y l cì sð º ¡p dưng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng v o vi»c x²t sü ên ành nghi»m cõa cĂc phữỡng trẳnh hm dÔng Cauchy Mửc 2.2 trẳnh by c¡c k¸t qu£ cõa C.Park v Th.M Rassias v· sỹ ờn nh nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy CĂc k¸t qu£ n y têng qu¡t k¸t qu£ cõa Hyers [4] v ữủc chựng minh bơng cĂch Ăp dửng nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach khổng gian metric suy rởng ch Ăp dửng cừa kát quÊ vo lắnh vỹc phữỡng trẳnh hm sỡ cĐp, tĂc giÊ dăn hai vẵ dử, mởt vẵ dử lĐy ti liằu tham kh£o, v½ dư kh¡c t¡c gi£ tü s¡ng t¡c Mửc 2.3 trẳnh by mởt kát quÊ cừa Soon-Mo Jung v Seungwook Min [7] v· sü ên ành nghi»m cõa mởt lợp cĂc phữỡng trẳnh hm dÔng Cauchy Chựng minh kát quÊ ny cụng dỹa trản nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach khæng gian metric suy rëng, tùc l Ăp dửng phữỡng phĂp im bĐt ởng p dửng cừa cĂc kát quÊ ny vo lắnh vỹc phữỡng trẳnh hm sỡ cĐp l cĂc kát luên và nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh hm dÔng f (x + y) = Af (x) + Bf (y), â A, B l c¡c hơng số Ti liằu tham khÊo gỗm 10 danh mửc BÊn luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa T.S Hong Vôn Hũng, Viằn Khoa hồc Cỡ bÊn Ôi hồc Hng HÊi Viằt Nam TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi thy hữợng dăn v têp th cĂc thy cổ thuởc khoa ToĂn Tin, Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản, nhỳng ngữới  tên tẳnh giúp ù cụng nhữ tÔo cĂc iÃu kiằn thuên lủi tĂc giÊ hon thnh chữỡng trẳnh cao hồc v bÊn luên vôn ny ThĂi Nguyản, ngy 10 thĂng nôm 2013 Ngữới viát TrƯn Th Dung Chữỡng CĂc nh lỵ c§p v· iºm b§t ëng v c¡c b i to¡n và phữỡng trẳnh hm 1.1 IM BT ậNG 1.1.1 nh nghắa Cho X, Y l cĂc têp cõ tẵnh chĐt X ∩ Y 6= ∅ v f : X → Y l mởt Ănh xÔ im x X gồi l mởt im bĐt ởng cừa f náu f (x ) = x Têp cĂc im bĐt ởng cừa Ănh xÔ f kỵ hiằu l F ix(f ) 1.1.2 Vẵ dử 1) nh xÔ 2) nh xÔ f :RR cho bði g : R → [−1; 1] f (x) = x3 cho bði câ iºm b§t ëng, g(x) = sinx F ix(f ) = {−1, 0, 1} câ nh§t iºm b§t ëng x∗ = 0, F ix (g) = {0} 3) nh xÔ h:RR cho bði h(x) = x + khỉng câ iºm b§t ëng, F ix(h) = ∅ 1.2 MËT SÈ ÀNH LÞ SÌ CP V IM BT ËNG V PH×ÌNG TRNH HM 1.2.1 nh lỵ Mồi Ănh xÔ liản tửc tứ khoÊng õng [a;b] vo chẵnh nõ cõ ẵt nhĐt mởt im bĐt ởng Chựng minh GiÊ sỷ f l Ănh xÔ liản tửc tứ l hm liản tửc Vẳ [a; b] f (a) , f (b) ∈ [a; b] v o ch½nh nâ °t n¶n g(x) = f (x) − x Khi â g(x) g (a) g (b) = (f (a) − a) (f (b) b) Vêy phữỡng tr¼nh f (x∗ ) = x∗ 1.2.2 Do â f g(x) = cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm x ∈ [a; b], tùc g(x∗ ) = hay câ ẵt nhĐt mởt im bĐt ởng nh lỵ i) Náu f l hm thỹc sỹ giÊm trản têp số thỹc X thẳ f khổng cõ quĂ mởt im bĐt ởng trản X ii) Náu hm f (x) x thỹc sỹ ỡn iằu trản têp số thỹc X thẳ f cõ khổng quĂ mởt im bĐt ởng trản X Chựng minh i) H m g(x) = f(x) x khæng qu¡ mët lƯn im bĐt ởng Náu x X.Do g(X) â n¸u g(X) 1.2.3 f g(x) = cõa nâ khỉng quĂ mởt lƯn trản im bĐt ởng trản X, náu g(X) nản g s nhên mội giĂ tr cừa têp g(X) chựa giĂ tr thẳ ii) Do tẵnh ỡn i»u thüc sü, h m gi¡ trà X thüc sü gi£m trản khổng chựa giĂ tr thẳ f g(X) khổng câ câ óng mët iºm b§t ëng f (x) x ,x X X Náu khổng chựa thẳ f nhên méi gi¡ trà thuëc mi·n g(X) chùa th¼ f cõ úng mởt khổng cõ im bĐt ởng trản X nh lỵ GiÊ sỷ F (u) l hm mởt bián thỹc, (x, y, s, t) l hm cho trữợc cừa bián x,y,s,t xĂc nh trản têp dÔng X × X × R × R ( X l tªp cừa têp số thỹc R) Náu hm F (u) cõ im bĐt ởng nhĐt u thẳ mồi nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm: F ( (x, y, f (x) , f (y))) = φ (y, x, f (y) , f (x)) (x, y ∈ X ) (1.1) (trong â f l hm mởt bián cƯn tẳm cõ têp xĂc nh l X ) phÊi thọa mÂn phữỡng trẳnh: (x, x, f (x) , f (x)) = u∗ y=xX ta nhên ữủc: F ( (x, x, f (x) , f (x))) = φ (x, x, f (x) , f (x)) (∀x ∈ X) (1.2) Chùng minh N¸u f (x) ¯ng thùc (1.2) chùng tä Do F l h m thọa mÂn (1.1) thẳ t (x, x, f (x) , f (x)) l iºm b§t ëng cõa F ch¿ cõ nhĐt im bĐt ởng u nản ta phÊi câ: φ (x, x, f (x) , f (x)) = u∗ (∀x ∈ X) vỵi måi x ∈ X nh lỵ 1.2.3 cho mởt iÃu kiằn cƯn ối vợi nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) Khi Ăp dửng nh lỵ 1.2.3 giÊi cĂc phữỡng trẳnh hm dÔng (1.1) th÷íng ta s³ chùng minh F (u) = u câ nhĐt nghiằm u rơng phữỡng trẳnh giĂ tr cừa φ, mët mi·n n o â chùa mi·n sau â giÊi phữỡng trẳnh (1.2) v thỷ cĂc nghiằm tẳm ữủc tø (1.2) v o (1.1) C¡c nghi»m cõa (1.2) thäa m¢n (1.1) s l tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.1) Vẵ dử Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f f (x + f (y)) = f (x) + y (∀x, y R) mÂn phữỡng trẳnh GiÊi t phữỡng trẳnh cõa b i to¡n l mët iºm b§t ëng cõa nh§t cõa f tr¶n R f (x) = c − x Tứ nh lỵ 1.2.2 suy rơng f (0) l iºm b§t ëng φ (x, y, f (x) , f (y)) = x + f (y) cõa b i to¡n  cho phÊi thọa mÂn phữỡng trẳnh f (x) = f (0) x dÔng f y = x = ta câ f (f (0)) = f (0) Vªy f (0) p dửng nh lỵ 1.2.3 cho hm f suy måi nghi»m hay R, thüc sü gi£m v thọa xĂc nh trản têp số thỹc t c ( f (0) = c, ta x + f (x) = f (0) ta suy måi nghi»m cõa b i to¡n  cho phÊi cõ l hơng số thỹc) Thay f (x) = c x vo phữỡng trẳnh cừa bi to¡n ta ÷ìc: c − (x + c − y) = c − x + y → c = f (x) = x Vêy phữỡng trẳnh f (x f (x) = −x Rã r ng h m + f (y)) = f (x) + y l thüc sü gi£m tr¶n Do â h m f (x) = −x R v thäa m¢n l nghiằm nhĐt cừa bi toĂn  cho Vẵ dử (1983,IMO): Tẳm tĐt cÊ cĂc hm i) ii) f (xf (y)) = yf (x) x, y thäa m¢n : d÷ìng lim f (x) = x→+∞ Gi£i °t y=x=1 im bĐt ởng cừa Do vợi mồi f : (0, +∞) → (0; +∞) f L§y i·u ki»n i) ta ữủc x=1 f (1) l im bĐt ởng cõa f v y = f (1), x∗ > f (1) = nhên ữủc f (x ) (x )n Náu n+1 f (x ) vợi mồi l mët iºm b§t ëng cõa 2 = (x∗ )2 tứ i) ta nhên ữủc thẳ ng thực trản cho ta cĂc giĂ tr dữỡng nản ng thực ny cho Náu f (f (1)) = f (1) Vêy (x )2 f Vêy Vêy f (1) = f (1)2 Vẳ f u∗ f l mët f (f (f (1))) = f (1)2 ch nhên l im bĐt ởng cừa th¼ °t i·u ki»n i) th¼ °t i) ta f x = x∗ , y = (x∗ )n = (x )n+1 Theo nguyản lỵ quy nÔp ta suy (x∗ )n f y = x = x∗ cơng l mët iºm b§t ëng cõa l mët iºm b§t ëng cõa f (1) ta câ l iºm b§t ởng cừa f n nguyản dữỡng Do õ náu x > ta suy lim (x∗ )n = +∞, lim f ((x∗ )n ) = n→∞ n→∞