Luận văn thạc sĩ kĩ thuật nghiên cứu nội lực và chuyển vị của hệ khung bằng phương pháp so sánh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - TRẦN DUY XỨNG NGHIÊN CỨU NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ CỦA HỆ KHUNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY CƢƠNG Hải Phòng, 2015 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành đề tài luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nổ lực cố gắng thân cịn có hƣớng dẫn nhiệt tình q Thầy Cơ,cũng nhƣ động viên ủng hộ gia đình, bạn bè đồng nghiệp suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Hà Huy Cƣơng, ngƣời hết lòng hƣớng dẫn tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành luận văn Xin gửi lời tri ân điều mà Thầy dành cho tơi Xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến tồn thể q Thầy Cơ Khoa sau đại học Trƣờng Đại Học Dân lập Hải Phòng tận tình truyền đạt kiến thức quý báu nhƣ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu thực đề tài luận văn Xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, ngƣời không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập thực luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành bày tỏ lịng cảm ơn đến anh chị bạn đồng nghiệp hỗ trợ cho tơi nhiều suốt q trình học tập, nghiên cứu cung cấp tƣ liệu nhƣ góp ý q báu để tơi hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Hải Phòng, tháng năm 2015 Ngƣời thực luận văn Trần Duy Xứng MỞ ĐẦU Bài toán học kết cấu nói chung đƣợc xây dựng theo bốn đƣờng lối là: Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân phân tố; Phƣơng pháp lƣợng; Phƣơng pháp nguyên lý công ảo Phƣơng pháp sử dụng trực tiếp phƣơng trình Lagrange Các phƣơng pháp giải gồm có: Phƣơng pháp đƣợc coi xác nhƣ, phƣơng pháp lực; Phƣơng pháp chuyển vị; Phƣơng pháp hỗn hợp; Phƣơng pháp liên hợp phƣơng pháp gần nhƣ, phƣơng pháp phần tử hữu hạn; phƣơng pháp sai phân hữu hạn; phƣơng pháp hỗn hợp sai phân - biến phân Phƣơng pháp so sánh phƣơng pháp đƣợc xây dựng dựa ý tƣởng đặc biệt K.F Gauss hệ chất điểm đƣợc đề xuất GS TSKH Hà Huy Cƣơng hệ môi trƣờng liên tục Điểm đặc biệt phƣơng pháp so sánh tìm đƣợc kết tốn chƣa biết thơng qua kết toán biết Đối tƣợng, phƣơng pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phƣơng pháp so sánh nói để xây dựng giải toán khung chịu uốn có xét đến biến dạng trƣợt ngang lực cắt Q gây ra, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Do cần thiết việc nghiên cứu nội lực chuyển vị kết cấu chịu uốn, mục đích nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: Mục đích nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ khung phương pháp so sánh” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phƣơng pháp xây dựng phƣơng pháp giải toán học kết cấu Trình bày Phƣơng pháp Nguyên lý cực trị Gauss GS TSKH Hà Huy Cƣơng đề xuất, với ứng dụng học môi trƣờng liên tục nói chung học vật rắn biến dạng nói riêng Giới thiệu lý thuyết xét biến dạng trƣợt toán kết cấu chịu uốn với việc dùng hai hàm chƣa biết hàm độ võng y hàm lực cắt Q Trình bày phƣơng pháp so sánh để xây dựng giải tốn khung có xét đến biến dạng trƣợt, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Lập chƣơng trình máy tính điện tử cho tốn nêu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Việc xác định nội lực chuyển vị kết cấu khung chịu uốn đƣợc nhiều tác giả nƣớc quan tâm nghiên cứu, kết nghiên cứu nhìn chung đƣợc tìm thấy thông qua phƣơng pháp giải trực tiếp Khác với cách làm nay, tác giả luận văn giới thiệu phƣơng pháp so sánh để xây dựng giải toán kết cấu khung chịu uốn cách gián tiếp dựa ý tƣởng đặc biệt K.F Gauss nghiên cứu hệ chất điểm với kế thừa, phát triển sáng tạo GS TSKH Hà Huy Cƣơng nghiên cứu hệ vật rắn biến dạng thuộc hệ môi trƣờng liên tục LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu thân tơi, số liệu nêu Luận văn trung thực Những kiến nghị đề xuất Luận văn cá nhân không chép tác giả Tác giả luận văn Trần Duy Xứng DANH MỤC KÝ HIỆU ĐẠI LƢỢNG KÝ HIỆU T Động П Thế E Môdun đàn hồi C(x) Phiếm hàm mở rộng G Môdun trƣợt 2G Độ cứng biến dạng J Mơ men qn tính tiết diện EJ Độ cứng uốn tiết diện dầm M Mômen uốn N Lực dọc P Lực tập trung Q Lực cắt q Ngoại lực phân bố tác dụng lên dầm m Khối lƣợng chất điểm  Ứng suất tiếp  Ứng suất pháp   (x) Biến dạng trƣợt Độ võng dầm 𝜀 Biến dạng vật liệu 𝛿 Biến phân ri Véc tơ tọa độ 𝛼 Đại lƣợng Ten xơ G Modun trƣợt 𝜃 Biến dạng thể tích ᵡ Biến dạng uốn (độ cong đƣờng đàn hồi) 𝜇, λ Hệ số Lamé MỤC LỤC Lời cảm ơn MỞ ĐẦU LỜI CAM ĐOAN DANH MỤC KÝ HIỆU CHƢƠNG I CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU 11 Phƣơng pháp xây dựng toán học 11 1.1 Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân phân tố .11 1.2 Phƣơng pháp lƣợng 14 1.3 Nguyên lý công ảo .17 1.4 Phƣơng trình Lagrange: .19 Bài toán học kết cấu phƣơng pháp giải .22 2.1 Phƣơng pháp lực 22 2.2 Phƣơng pháp chuyển vị 22 2.3 Phƣơng pháp hỗn hợp phƣơng pháp liên hợp 23 2.4 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn 23 2.5 Phƣơng pháp sai phân hữu hạn 23 2.6 Phƣơng pháp hỗn hợp sai phân - biến phân 24 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS 25 2.1 Nguyên lí cực trị Gauss 25 2.2 Phƣơng pháp nguyên lí cực trị Gauss 27 2.3 Cơ hệ môi trƣờng liên tục: ứng suất biến dạng 34 2.4 Cơ học kết cấu .40 2.5 Phƣơng pháp nguyên lí cực trị Gauss phƣơng trình cân hệ 44 2.5.1 Phƣơng trình cân tĩnh môi trƣờng đàn hồi, đồng chất, đẳng hƣớng .44 2.5.2 Phƣơng trình vi phân mặt võng chịu uốn 47 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH TRONG CƠ HỌC KẾT CẤU 50 3.1 Lý thuyết dầm có xét biến dạng trƣợt .51 3.2 Phƣơng pháp so sánh tính tốn khung có sét đến biến dạng trƣợt ngang 57 3.2.1 Phƣơng pháp sử dụng hệ so sánh 57 3.2.2Các ví dụ tính tốn dầm 58 KẾT LUẬN 67 KIẾN NGHỊ VÀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO .68 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 10   0  l2 l2 qlx qx ql    ( EJ   )  dx   (Q2   qx) dx    Min 2 0  l3 l3  ql   ( EJ )  dx   (Q3   qx) dx  0  l1 l1 Z   ( EJ )  dx   (Q1 ) dx  (c) Hàm độ võng yi phải thoả mãn điều kiện ràng buộc sau:  dy Q  g      0;  dx GF  x0  dy Q3  g2      0;  dx GF  x0  dy Q   dy Q2  g3          dx GF  xl1  dx GF  x0  dy Q3   dy Q2  g4         dx GF  xl2  dx GF  xl g  y2 x l2 ; g  y1 x l1  y3 x l3 ;                 (d) Đƣa tốn tìm cực trị (c) với ràng buộc (d) tốn cực trị khơng ràng buộc cách xây dựng phiếm hàm mở rộng Lagrange F nhƣ sau: F  Z   k g k  Min (e) k 1 với  k(k=16) thừa số Lagrange ẩn tốn Nhƣ có tổng cộng 30 ẩn ai(i=14), bi(i=03), ci(i=14), di(i=03), ei(i=14), ni(i=03), thừa số  i,) Từ điều kiện cực trị biểu thức (e) ta nhận đƣợc hệ phƣơng trình sau: 61   (  )dx  ai ai   k 1  l1 l1     f i   M  (  )dx  g k k   Q1  ( )dx  0; bi (i   3)   bi ai k 1 bi 0  l2    h2 i   M  M 02  (  )dx  g k k  0; ci (i   4)   ci ci k 1  l2 l2     f i   M  M 02  (  )dx  g k k   Q2  Q02  ( )dx  0;  d i d i k 1 d i 0   d i (i   3)  l3    k i   M  (  )dx   g k k  0; ii (i   4)  ii ii k 1  l1 l3    t i   M  (  )dx  g k k   Q3  ( )dx  0; ni (i   3)    ni ni k 1 ni 0   l1 hi   M  g  k k  0; (i   4) (f) nhận đƣợc 30 phƣơng trình bậc để tìm 30 ẩn số Giải phƣơng trình ta nhận đƣợc kết tính đƣờng độ võng yi, Mi lực cắt Qi nhƣ sau: - Phƣơng trình đƣờng đàn hồi cho đoạn khung 1.6667 ql x ql x qlx ; y1 ( x)    108 EJ 72 EJ 72 EJ ql x ql x qlx qx y ( x)     72 EJ 36 EJ 12 EJ 24 EJ y ( x)  1.6667 ql x ql x qlx   108 EJ 72 EJ 72 EJ - Hàm mômen uốn cho đoạn khung 1 qlx qx 1 ; M ( x)   ql  qlx M ( x)  ql  qlx ; M ( x)   ql   36 12 18 2 36 12 - Hàm lực cắt cho đoạn khung Q1 ( x)   1 ql ql ; Q2 ( x)   qx ; Q3 ( x)  ql 12 12 Khi không xét biến dạng trƣợt (cho h/l=1/1000), ta có biểu đồ mơ men uốn M, biểu đồ lực cắt Q khung tầng nhịp nhƣ hình 3.24: 62 b Biểu đồ Q a Biểu đồ M Hình 3.2 Biểu đồ nội lực khung tầng nhịp Ví dụ 3.2: Tính khung tầng hai nhịp Xác định nội lực chuyển vị khung tầng hai nhịp chịu tải trọng nhƣ hình 3.3a, độ cứng uốn EJ=Const Tiết diện dầm chữ nhật, có chiều cao h , hệ số ứng suất trƣợt   1.2 Chọn hệ so sánh dầm đơn giản, hình 3.3b b Dầm so sánh a Khung cần tính Hình 3.3 Khung tầng hai nhịp Chia khung thành năm đoạn, đoạn một, đoạn ba đoạn năm thẳng đứng, đoạn hai đoạn bốn nằm ngang tọa độ nhƣ hình 3.2b, đoạn có chiều dài tƣơng ứng l1= l2= l3= l4= l5= l Giả thiết đƣờng độ võng y1, y2, y3, y4, y5, đƣờng lực cắt Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, khung có dạng đa thức nhƣ sau: 63 y1  a1 x  a x  a3 x  a x ; y  c1 x  c2 x  c3 x  c4 x ; y  e1 x  e2 x  e3 x  e4 x ; y  j1 x  j x  j3 x  j x ; y  i1 x  i2 x  i3 x  i4 x ; Q1  b0  b1 x  b2 x  b3 x  Q2  d  d x  d x  d x    Q3  n0  n1 x  n2 x  n3 x  Q4  w0  w1 x  w2 x  w3 x   Q5  v0  v1 x  v2 x  v3 x   (a) Trong đó: ai(i=14), bi(i=03), ci(i=14), di(i=03), ei(i=14), ni(i=03), ji(i=14), wi(i=03), ii(i=14), vi(i=03), ẩn toán Theo biểu thức từ (3.4) đến (3.7) tính đƣợc: Biến dạng trƣợt γ1, γ2, γ3, γ4, γ5,; góc xoay 1, 2, 3 4, 5; biến dạng uốn 1, 2, 3, 4, 5 momen uốn Mx1, Mx2, Mx3, Mx4, Mx5, tƣơng ứng với đoạn 1, 2, 3, 5, cụ thể là: i  Qi ; GF i  dyi dy Q i  i  i ; dx dx GF với (i=15) d yi  dQi  d yi  dQi  i    ; M xi   EJ i  EJ     GF dx  dx GF dx  dx Trong đó:  hệ số xét phân bố không ứng suất cắt trục dầm; GF độ cứng cắt dầm GF  E EJ F 2 h Chọn dầm xon chịu lực phân bố q làm hệ so sánh (hình 3.25b) Momen uốn lực cắt dầm so sánh xác định theo công thức:  q (l  x)  M0     Q0  q(l  x) (b) Phản lực gối tựa trái R0t dầm so sánh không gây mô men lên khung cần tính, từ biểu thức (3.19) lƣợng cƣỡng Z dầm đƣợc viết nhƣ sau l1 l2 q(l  x)  Z   ( EJ  )  dx   (Q1  q(l  x)) dx   ( EJ )  dx   0   Min l2 l3 l4 l5    (Q2 ) dx   ( EJ )  dx   (Q4 ) dx   (Q5 ) dx  0 0  l1 (c) 64 Hàm độ võng yi phải thoả mãn điều kiện ràng buộc sau:      dy3 Q3   dy Q   dy Q2   dy Q2  g4        ; g            dx GF  xl1  dx GF  x0  dx GF  xl2  dx GF  xl  (d)   dy Q3   dy5 Q5    dy Q4   dy Q4  g6      ; g             dx GF  xl4  dx GF  xl   dx GF  xl3  dx GF  x0  g  y1 xl1  y3 xl3 ; g  y3 xl3  y5 xl5 ; g 10  y xl2 ; g 11  y xl4 ;   dy Q3   dy Q5   dy Q  g      0; g      0; g      0; dx GF dx GF dx GF   x 0   x 0   x 0 Đƣa tốn tìm cực trị (c) với ràng buộc (d) tốn cực trị khơng ràng buộc cách xây dựng phiếm hàm mở rộng Lagrange F nhƣ sau: 11 F  Z   k g k  Min (e) k 1 với  k(k=111) thừa số Lagrange ẩn tốn Nhƣ có tổng cộng 51 ẩn Từ điều kiện cực trị biểu thức (e) ta nhận đƣợc hệ phƣơng trình sau: 65   (  )dx  ai ai   k 1  l1 l1   11   f i   M  M 01  (  )dx  g k k   Q1  Q01  ( )dx  0;   bi bi k 1 bi 0  bi (i   3)   l2   11  h2 i   M  (  )dx  g k k  0; ci (i   4)   ci ci k 1  l2 l   11   f i   M  (  )dx  g k k   Q2  ( )dx  0;   d i d i k 1 d i 0  d i (i   3)  l3 11    k 3i   M  (  )dx  g k k  0; ei (i   4)   ei ei k 1  l3 l3 11       t 3i   M  (  )dx  g   Q (  ) dx  ; n ( i   )   k k 0 n i ni ni k 1 i  l4 11    h4 i   M  (  )dx   g k k  0; ji (i   4)  ji ji k 1  l4 l4 11       f i   M  (  )dx  g   Q (  ) dx  ; w ( i   )   k k 0 w i wi wi k 1 i  l5 11    k i   M  (  )dx   g k k  0; ii (i   4)  ii ii k 1  l5 l    11    t i   M  (  )dx  g   Q (  ) dx  ; v ( i   )   k k 0 v i  vi vi k 1 i l1 hi   M  M 01  11 g  k k  0; (i   4) (f) nhận đƣợc 51 phƣơng trình bậc để tìm 51 ẩn số Giải phƣơng trình ta nhận đƣợc kết tính đƣờng độ võng yi, Mi lực cắt Qi nhƣ sau: - Phƣơng trình đƣờng đàn hồi cho đoạn khung 1.3948 ql x ql x qlx qx ; y1 ( x)   0.0918  0.1165  0.0417 10 EJ EJ EJ EJ 6.5104 ql x ql x qlx y ( x)   0.0078  0.0072 10 EJ EJ EJ y ( x)  3.2812 ql x ql x qlx  0443  0273 10 EJ EJ EJ 66 ql x ql x qlx y ( x)  0.0065  0.0241  0.0176 EJ EJ EJ 2.7344 ql x ql x qlx y ( x)   0.0397  0.0228 108 EJ EJ EJ - Hàm mômen uốn cho đoạn khung M ( x)  0.1836ql  0.6992qlx  0.5qx ; M ( x)  0.0156ql  0.043qlx ; M ( x)  0.0885ql  0.1641qlx ; M ( x)  0.0482ql  0.1055qlx ; M ( x)  0.0794ql  0.1367qlx - Hàm lực cắt cho đoạn khung Q1 ( x)  0.6992ql  qx ; Q2 ( x)  0.043ql ; Q3 ( x)  0.1641ql ; Q4 ( x)  0.1055ql ; Q5 ( x)  0.1367ql Khi khơng xét biến dạng trƣợt (cho h/l=1/1000), ta có biểu đồ mô men uốn M, biểu đồ lực cắt Q khung tầng hai nhịp nhƣ hình 3.30: Hình 3.4 Biểu đồ mơmen khung tầng hai nhịp Hình 3.5 Biểu đồ lực cắt khung tầng hai nhịp 67 KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chƣơng, chƣơng đến chƣơng dùng phƣơng pháp so sánh để nghiên cứu toán kết cấu khung chịu uốn có xét đến ảnh hƣởng biến dạng trƣợt ngang Tác giả rút kết luận sau: Tác giả áp dụng thành công phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss GS TSKH Hà Huy Cƣơng đề xuất để nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ khung phẳng chịu uốn, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Tác giả xây dựng đƣợc phƣơng pháp so sánh để nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ khung có xét đến biến dạng trƣợt ngang lực cắt Q gây Cách đặt toán đơn giản nhận đƣợc kết xác Khi khơng kể đến biến dạng trƣợt ngang nhận đƣợc kết trùng khớp với kết giải phƣơng pháp khác Bài toán xác định nội lực chuyển vị hệ khung có xét đến biến dạng trƣợt ngang tỏ đơn giản so sánh hệ phức tạp với hệ đơn giản Hiệu cách làm cao hệ cần xét phức tạp Phƣơng pháp giải toán kết cấu cách sử dụng hệ so sánh mở khả nhận đƣợc liệu thực nghiệm kết cấu từ việc nghiên cứu thực nghiệm kết cấu khác Đây phƣơng pháp có hiệu 68 KIẾN NGHỊ VỀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Đây phƣơng pháp nên dùng nhƣ cơng cụ phục vụ cơng tác giảng dạy học tập Phƣơng pháp cho phép nhận đƣợc giữ liệu thực nghiệm từ việc thực nghiệm kết cấu khác nên ứng dụng việc xây dựng mơ hình mơ Dùng lý thuyết xây dựng để nghiên cứu nội lực chuyển vị kết cấu chịu uốn khác nhƣ tấm, vỏ vv có xét đến biến dạng trƣợt ngang lực cắt Q gây Danh mơc tµi liƯu tham khảo I TIếNG VIệT 69 [1] Hà Huy C-ơng (2005), Ph-ơng pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa häc vµ kü thuËt, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Ph-ơng Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Nguyễn Ph-ơng Thành (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận ¸n tiÕn sü kü thuËt [4] V-¬ng Ngäc L-u (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng sàn Sandwich chịu tải trọng tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [5] Trần Hữu Hà (2006), Nghiên cứu toán t-ơng tác cọc d-ới tác dụng tải trọng, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [6] Phạm Văn Trung (2006), Ph-ơng pháp Tính toán hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [7] Vũ Hoàng Hiệp (2007), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng dầm nhiều lớp chịu tải tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Hà nội [8] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [9] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [10] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2006), Giáo trình ổn định công trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [11] Vũ Hoàng Hiệp (2008), Tính kết cấu có xét biến dạng tr-ợt, Tạp chí XD số 70 [12] Đoàn Văn Duẩn, Nguyễn Ph-ơng Thành (2007), Ph-ơng pháp tính toán ổn định thanh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr41-Tr44) [13] Đoàn Văn Duẩn (2007), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán ổn định công trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [14] Đoàn Văn Duẩn (2008), Ph-ơng pháp tính toán ổn định khung, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr35-Tr37) [15] Đoàn Văn Duẩn (2008), Nghiên cứu ổn định uốn dọc có xét biến dạng tr-ợt, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr33-Tr37) [16] Đoàn Văn Duẩn (2009), Ph-ơng pháp nghiên cứu ổn định tổng thể dàn, Tạp chí Xây dựng số 03 (Tr86-Tr89) [17] Đoàn Văn Duẩn (2010), Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Công nghệ xây dựng, số 05, Qúy IV(Tr30-Tr36) [18] Đoàn Văn Duẩn (2011), Nghiên cứu ổn định đàn hồi hệ thanh, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [19] Đoàn Văn Duẩn (2012), Ph-ơng pháp tính toán dây mềm, Tạp chí kết cấu công nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [20] Đoàn Văn Duẩn (2014), Ph-ơng pháp chuyển vị c-ỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [21] Đoàn Văn Duẩn (2015), Ph-ơng pháp nghiên cứu ổn định động lực học thanh, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr86-Tr88) [22] Đoàn Văn Duẩn (2015), Bài toán học kết cấu d-ới dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) 71 [23] Đoàn Văn Duẩn (2015), Ph-ơng pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) [24] Đoàn Văn Duẩn (2015), Tính toán kết cấu khung chịu uốn ph-ơng pháp so sánh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [25] Trần Thị Kim Huế (2005), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [26] Nguyễn Thị Liên (2006), Ph-ơng pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán động lực học công trình, Luận văn thạc sü kü tht [27] Vị Thanh Thđy (2009), X©y dùng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực momen lực cắt Tạp chí Xây dựng sè [28] Vị Thanh Thđy (2009), Dao ®éng tù dầm xét ảnh h-ởng lực cắt Tạp chí Xây dựng, số [29] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Ng-ời dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIếNG PHáP [30] Robert L‟Hermite (1974), Flambage et StabilitÐ – Le flambage Ðlastique des piÌces droites, Ðdition Eyrolles, Paris IIi TIÕNG ANH 72 [31] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [32] William T.Thomson (1998), Theory of Applications (Tái lần thø Vibration with 5) Stanley Thornes (1996), Finite Element (Publishers) Ltd, 546 trang [33] Klaus – Jurgen procedures Part Bathe one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [34] Klaus – Jurgen procedures Part Bathe two, (1996), Prentice – Finite Hall Element International, Inc, 553 trang [35] Ray W.Clough, Structures (Tái Joseph lần Penzien(1993), thứ 2), Dynamics McGraw-Hill of Book Company, Inc, 738 trang [36] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [37] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất NaukaMoscow, 1964) [38] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill, New york (B¶n dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [39] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt 73 [40] Lars Olovsson, Kjell (2006), Shear locking linear solid finite Simonsson, reduction in elements, Mattias Unosson eight-node J tri- „Computers @ Structures‟,84, trg 476-484 [41] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(B¶n dÞch tiÕng Nga, 1987) [42] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [43] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional structures, Inc Static and Berkeley, Dynamic California, Analysis USA of Third edition, Reprint January [44] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [45] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press [46] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London 74 [47] Kolousek Vladimir, University, Pargue DSC (1973) Professor, Dynamics in Technical engineering structutes Butter worths London [48] Felippa element Carlos methods A (2004) Department Introduction of Aerospace of finite Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall [49] Wang C.M, deformable Reddy beems J.N, and Lee plates K.H.( – 2000), Shear Relationships with Classical Solutions ELSEVIER, Amsterdam – Lausanne- New York – Oxford –Shannon – Singapore – Tokyo [50] Barbero Ever J, Department of Mechanica & Aerospace Engineering, West Virgina University, USA (1999), Introduction to Composite Materials Design Taylor and Francis [51] Decolon C (2002) Analysis of Composite Structures Hermes Penton, Ltd, UK [52] Fu-le Li, Department of Nanjing ZHI-zhong Sun, Mathematics, 210096, PR China Corresponding Shoutheast (2007) A finite author, University, difference scheme for solving the Timoshenko beem equations with boundary feedback Journal of Computational and applied Mathematics 200, 606 – 627, Elsevier press Avaiable online at www.sciencedirect.com [53] Khaji N., Corresponding author, Shafiei M., Civil Engineering DepartmentTarbiat Modares University, P O Box 14155-4838, solutions for Tehran, crack Tran ((2009)) detection problem Closed of - form Timoshenko 75