Báo cáo chuyên đề môn đại số máy tính và cơ sở grobner chủ đề nghiệm của hệ phương trình đa thức

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN BÁO CÁO CHUN ĐỀ MƠN: ĐẠI SỐ MÁY TÍNH VÀ CƠ SỞ GROBNER Chủ đề: Nghiệm hệ phương trình đa thức Giáo viên bợ mơn: TS.Phan Đức Tuấn Thành viên nhóm 2: 3119480030 Huỳnh Nguyễn Minh Khoa 3119480032 Phan Nguyễn Trung Kiên 3119480082 Phan Minh Thương 3119480083 Huỳnh Quang Tiến 3119480087 Đoàn Phạm Thùy Trang 3119480091 Võ Thị Thùy Trang 3119480099 Lê Minh Trường 3119480109 Huỳnh Vũ Phương Vy 3119480113 Mai Thị Hồng Xuyên Khoa: Toán – Tin ứng dụng Nhóm mơn học: 848306 TP HỒ CHÍ MINH – THÁNG 12 NĂM 2022 n Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm MỤC LỤC PHẦN 1: TÌM HIỂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA NGHIỆM Hệ phương trình đa thức 1.1 Nghiệm phương trình đa thức 1.2 Cách giải hệ phương trình đa thức 1.2.1 Giải hệ phương trình 1.2.2 Cách tìm sở Grobner _ PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG Tóm tắt đề bài _9 Gỉai bài tập _12 Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm PHẦN TÌM HIỂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Hệ phương trình đa thức 1.1 Nghiệm phương trình đa thức Xét hệ S ( , , )=0 ( , , )=0 Gọi I là ideal sinh các đa thức: I=( Mệnh đề 1.1.1 F I (S) F( ( , , ), … , ( , , ) ) ) = với ( … , ) là nghiệm S Chứng minh: F F = r1P1 + r2P2 + … + rmPm I (S) Từ đó suy ra: F( … , ) = r1 ( … , + … + rm ( = r1 ( , , … , ) P1 ( , , ) + r2 ( , , ) P2 ( ) Pm ( , , ) ) + r2 ( , , ) +…+ rm ( Mệnh đề 1.1.2 Cho K là một trường đóng đại số và f1,… fm , , , , ) ) = K Các điều kiện sau tương đương: (i) Hệ phương trình f1 (x) = … = fm(x) = vô nghiệm (ii) Tồn sở Grobner I = (f1,… fm) (đối với thứ tự chứa một đa thức hằng) (iii) Mọi sở Grobner I = (f1,…fm) chứa một đa thức Đối với hệ ta có Báo cáo “Đại sớ máy tính và sở Grobner” n Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Mệnh đề 1.1.3 Cho f1,… fm là các đa thức khắc hằng, đó K là K tường đóng đại số Các điều kiện sau tương đương: (i) Hệ phương trình f1 (x) = … = fm (x) = chỉ có nghiệm tầm thường (0,…0) (ii) Tồn một sở Grobner G I = (f1,…fm), cho với g G để lm (g) = , , n, tồn >0 (iii) Mọi Grobner G I = (f1,…fm) có tính chất: với cho lm (g) = i i n, tồn g G >0 Bây ta xem xét hệ phương tình đa thức có hữu hạn nghiệm Mệnh đề 1.1.4 Cho I là iđêan thực vành K (i) Với i, (ii) Với Các điều kiện sau tương đương: n, I có một đa thức khác chỉ chứa biến i n, có một đa thức khác mà từ khởi đầu nó chỉ chứa biến i (iii) Mọi sở Grobner I có tính chất: với i n G có một đa thức mà khởi đầu nó chỉ chứa biến Bổ đề 1.1.5 Cho L là một mở rộng trường K Gỉa sử dim I=0 Đặt mi  min{deg( fi ) |  fi  I  K [ xi ]},1  i  n, Và m  mi mn Khi đó I có tối đa m không điểm khác Ln Chú ý với f i thìn inf( f i ) = xi deg( f ) Do đó, từ ta có thể áp dụng định lý i Macaulay, suy dim I=0, thì dimK K [ x] / I  m Dễ dàng đưa ví dụ chứng tỏ dấu không xảy Do đó kết sau mạnh mệnh đề Định lý 1.1.6 Giả sử dim I=0 Khi đó số không điểm của I AKn nhỏ hoặc bằng dimK K [ x] / I Nếu K là trường hoàn hảo và I là iđêan thì ta có dấu bằng Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm 1.2 Cách giải hệ phương trình đa thức 1.2.1 Giải hệ phương trình =0 =0 (I) =0 Để giải hệ phương trình (I), ta làm sau: Gọi I ideal sinh các đa thức , , , Ta tính sở Grobner ideal I theo một thứ tự nào đó (ở ta xét thứ tự từ điển), ta sở G = { , , , } Giải hệ: =0 =0 (II) =0 Khi đó nghiệm hệ (II) là nghiệm hệ (I) (theo bổ đề 1.1.1) 1.2.2 Cách tìm sở Grobner Ta lựa chọn một ba thứ tự từ, luận văn này ta quan tâm tới thứ tự từ điển Để tìm sở Grobner một ideal trước hết ta cần tìm từ khởi đầu các đa thức, sau đó tính các S− đa thức theo tiêu chuẩn Buchberge Ví dụ 1: Cho ideal I = ( + y, y – z) Tìm sở Grobner ideal I Giải Xét thứ tự từ điển với x > y > z và hai đa thức Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n = + y, = y – z Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Ta có: in( )= ; in( )= y = = ; = =y Dùng thuật toán Buchberge ta nhận được: S( , + y) − (−x) ( ) = y.( y – z) = −xz + = Tương tự ta tính S( , ) = (−z).( S( , ) = (−z).( S( , )=− + y) – ( y – z) − xy (−xz + + y) − ( ( = (−xz + ).( −xz + ) )=− ( S( , )=− (−xz + S( , )=− ( y – z) − ( + ) S( , , y – z) − x ( ( + =− , + ) − (−z).( )=− ), S( + = + )= − )=x + = z , S( )= ).( S( = (x −yz = y )= + + ) − (−x).( )= + )= + + )=x = − ) không cần xét từ khởi đầu nguyên tố Vậy sở Grobner I là: = + y; = y – z; = −xz + ; = + ; = + Như vậy qua ví dụ ta thấy bài toán giải hệ phương trình, phương pháp giải khá là đơn giản và đồng ta tìm cho nó sở Grobner việc tính toán thì lại dài dòng và phức Ví dụ 1: Chi Idêan I  ( x  y, y  z)  K[ x, y, z] Chứng tỏ rằng các đa thức x  y, y  z là sở Grobnẻ của I đối với thứ tự từ điển Bài giải Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm I =(x y , y z) với thứ tự từ điến x>y>z Ta chứng tỏ x y , y z là sở Grobner I Thật vậy, phần tử có dạng : f=g(x+y)+h(y+z) Nếu in(f) không chứa x và y chỉ chứa z, tức là f=f(z) Thay x = z, y = -z vào biểu diễn vừa nêu f Ta có f = f(z) = g(z ,-z ,z).0 + h(z, -z ,z).0 =0 (vô lý ) Vậy in(f) (x,y) = [in(x+y),in(y+z) hay x+y , y+z là sở Grobner I thứ tự từ điển Ví dụ 2: Tìm một sở Grobner của idêan I  ( x  y , y  z ) Bài giải Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Ví dụ 3: Cho các đa thức f1  x, y   xy  3x  y  6, f  x, y   x  y  x  12 y   C  x, y  Tìm một cở sở Grobner của Iđêan sinh bởi các đa thức f1, f2 Bài giải Xét idean: I = (2xy + 3x + 4y + 6, x2 + 4y2 + 4x + 12y – 3) Theo thứ tự từ điển Áp dụng thuật toán tiêu chuẩn Buchberger Bước 1: Tiêu chuẩn Bước 2: Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm  S(f1, f2) = x ( 2xy + 3x + 4y + ) - 2y ( x2 + 4y2 + 4x + 12y – ) = 3x2 - 4xy - 8y3 + 6x - 24y2 + 6y = f3 Tiếp tục lặp lại bước ta nhận  S(f1, f3) = 3x ( 2xy + 3x + 4y + ) – 2y ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y ) = 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 = f4  S(f2, f3) = ( x2 +4y2 + 4x + 12y – ) – ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y ) = 36y2 + 6x + 30y + 4xy + 8y3 – = f5  S(f1, f4) = 9x ( 2xy + 3x + 4y + ) – 2y ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 ) = 27x2 + 54x – 16xy3 – 32y5 – 96y4 + 24y3 = f6  S(f2, f4) = ( x2 +4y2 + 4x + 12y – ) – ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 ) = 48y2 + 18x + 108y – 27 – 8xy2 – 16y4 – 48y3 = f7  S(f3, f4) = ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y ) – ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 ) = – 36y – 216y3 – 108y2 + 54y – 24xy2 – 48y4 = f8  S(f1, f5) = – ( 2xy + 3x + 4y + ) + ( 36y2 + 6x + 30y + 4xy + 8y3 – ) = 22y + 8y3 + 36y2 – 21 = f9 Thuật toán dừng lại f9 Do sở Grobner nhận là tối thiểu Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TÓM TẮT ĐỀ Bài Giải hệ phương trình sau: Bài Giải hệ phương trình sau: Bài Giải hệ phương trình sau: Bài Giải hệ phương trình sau: Bài Giải hệ phương trình sau: Bài Giải hệ phương trình sau: Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm +) Với y = –1, thay vào g2 = ta x = –3 +) Với y = thay vào g2 = ta x = thay vào g2 = ta x = +) Với y = Vậy nghiệm hệ Bài Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g1 = 0, suy +) Với y = , thay vào g2 = suy x = –4 Vậy nghiệm hệ Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 16 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Bài Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g1 = ta z = hoặc z = +) Với z = , thay vào g2 = ta y = , thay vào g3 = ta x = +) Với z = , thay vào g2 = ta y = , thay vào g3 = ta x = Vậy nghiệm hệ Bài Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 17 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Xét g1 = 0, suy +) Với y = , thay vào g2 = ta x = –2 +) Với y = , thay vào g2 = ta x = –2 +) Với y = thay vào g2 = suy đúng với x Thay vào g3 = ta tìm x = hoặc x = –6 Vậy nghiệm hệ Bài Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Grưbner: Báo cáo “Đại sớ máy tính và sở Grobner” n Trang 18 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Xét g1 = 0, suy +) Với z = , thay vào g2 = suy y = Thay z = 0, y = vào g4 = suy x = +) Với z = , suy y = 0, x = +) Với z = suy x = –1, y = Vậy nghiệm hệ Bài 10 Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 19 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Xét g1 = 0, suy +) Với y = , thay vào g3 = suy x = Thay vào g2 = suy z +) Với z = , suy y = 0, x = +) Với z = thay vào g2 = suy y = , thay vào g3 = suy x = +) Với z = thay vào g2 = suy y = , thay vào g3 = suy x = Vậy nghiệm hệ Bài 11 Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 20 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Xét g1 = 0, suy +) Với z = , thay vào g4 = suy y = Thay z = 1, y = vào g5 = suy x = +) Với z = , thay vào g4 = suy y = Thay z = 1, y = vào g5 = suy x = Vậy nghiệm hệ Bài 12 Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g1 = 0, suy Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 21 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm +) Với y = , thay vào g2 = suy x = +) Với y = , thay vào g2 = suy x = +) Với y = thay vào g2 = suy x = +) Với y = thay vào g2 = suy x = Vậy nghiệm hệ Bài 13 Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g1 = suy x = Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 22 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Xét g3 = suy +) Với , thay vào g2 = suy y = +) Với , thay vào g2 = suy y = Vậy nghiệm hệ Bài 14 Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g1 = 0, suy Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 23 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm +) Với z = , thay vào g2 = ta y = , thay vào g3 = ta x = +) Với z = , thay vào g2 = ta y = , thay vào g3 = ta x = Vậy nghiệm hệ Bài 15 Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g3 = 0, suy +) Với y=1, thay vào g1 = suy x = +) Với y=0, thay vào g1 = suy x = +) Với z = 1, thay vào g2 = suy y = 0, thay y = 0,z = vào g1 = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y,z) = {(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1) Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 24 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Bài 16 Giải hệ phương trình sau: Giải Xét iđêan I = ( ; ) Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g4 = 0, suy Với z = thay vào g2 = suy +) y=0, thay vào g1 = suy x = +) y=1, thay vào g1 = suy x = Với z = 1, thay vào g3 = suy y = 0, thay vào g1 = suy x = Với z = , thay vào g3 = suy y = , thay vào g1 = suy x= Với z = , thay vào g3 = suy y = , thay vào g1 = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y,z) = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ( Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n ) Trang 25 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Bài 17 Giải hệ phương trình: Giải Xét iđêan I = ( ; Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g1 = 0, suy +)Với z = -1, thay vào g2 = suy y = , thay vào g3 = suy x = +)Với z = -4, thay vào g2 = suy x = thay vào g3 = suy x = +) Với z = -9, thay vào g2 = suy x = , thay vào g3 = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm { (x, y,z) = {(0 1,-1) , (3, 2,- 4) , (8, Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n 3,- 9)} Trang 26 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Bài 18: Cho hệ phương trình Giải Xét iđêan I = ( ; Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g2 = 0, suy y = Xét g1 = 0, suy z = +) Với z = +) Với z = , thay vào g3 = suy x = , thay vào g3 = suy x = Vậy nghiệm hệ Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 27 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Bài 19.Giải hệ phương trình sau : Giải Xét iđêan I = ( Theo thứ tự từ điển ta có sở Gröbner: Xét g1 (z) = 0, suy Với z = 1, thay vào g2 = suy +)Với y = 1, thay vào g3 = suy x = +) Với y = -2, thay vào g3 = suy x = Với z = −2, thay vào g2 = suy y = 1, thay vào g3 = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y,z) = { (1 1,-2) , (1, 2, 1) , (-2, ,1) } Bài 20: Cho các đa thức f1  x, y   xy  3x  y  6, f  x, y   x  y  x  12 y   C  x, y  a) Tìm một cở sở Grobner của Iđêan sinh bởi các đa thức f1, f2 b) Giải hệ phương trình f1(x, y) = , f2(x, y) = Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 28 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Giải a) Xét idean: I = (2xy + 3x + 4y + 6, x2 + 4y2 + 4x + 12y – 3) Theo thứ tự từ điển Áp dụng thuật toán tiêu chuẩn Buchberger Bước 1: Tiêu chuẩn Bước 2:  S(f1, f2) = x ( 2xy + 3x + 4y + ) - 2y ( x2 + 4y2 + 4x + 12y – ) = 3x2 - 4xy - 8y3 + 6x - 24y2 + 6y = f3 Tiếp tục lặp lại bước ta nhận  S(f1, f3) = 3x ( 2xy + 3x + 4y + ) – 2y ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y ) = 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 = f4  S(f2, f3) = ( x2 +4y2 + 4x + 12y – ) – ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y ) = 36y2 + 6x + 30y + 4xy + 8y3 – = f5  S(f1, f4) = 9x ( 2xy + 3x + 4y + ) – 2y ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 ) = 27x2 + 54x – 16xy3 – 32y5 – 96y4 + 24y3 = f6  S(f2, f4) = ( x2 +4y2 + 4x + 12y – ) – ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 ) = 48y2 + 18x + 108y – 27 – 8xy2 – 16y4 – 48y3 = f7  S(f3, f4) = ( 3x2 – 4xy – 8y3 + 6x – 24y2 + 6y ) – ( 9x2 + 18x + 8xy2 + 16y4 + 48y3 – 12y2 ) = – 36y – 216y3 – 108y2 + 54y – 24xy2 – 48y4 = f8  S(f1, f5) = – ( 2xy + 3x + 4y + ) + ( 36y2 + 6x + 30y + 4xy + 8y3 – ) = 22y + 8y3 + 36y2 – 21 = f9 Thuật toán dừng lại f9 Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 29 Hệ phương trinh đa nghiệm Nhóm Do sở Grobner nhận là tối thiểu b) Theo thứ tự từ điển ta có sở Grobner g1 = x2 +4y2 + 4x + 12y – (1) g2 = 2xy + 3x + 4y + (2) g3 = 8y3 + 36y2 + 22y – 21 (3) Xét g3 = 0, ta (2y – 1) (2y + 3) (2y + 7) =  (4) Thay (4) vào (2) ta Sau đó thay vào (1) ta Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x, y) = { (– 2, ) , (– 2, ) , (2, ) , (– 6, )} ~Hết~ Báo cáo “Đại số máy tính và sở Grobner” n Trang 30