Untitled ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG HỮU ĐỊNH KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN VÀ VẬN DỤNG CÁC TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN VÀO THÔNG TIN LƯỢNG TỬ LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HUẾ NĂM 2017 Administr[.]
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG HỮU ĐỊNH KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN VÀ VẬN DỤNG CÁC TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN VÀO THÔNG TIN LƯỢNG TỬ LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HUẾ - NĂM 2017 i ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG HỮU ĐỊNH KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN VÀ VẬN DỤNG CÁC TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN VÀO THÔNG TIN LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 62 44 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: TS Võ Tình PGS TS Trương Minh Đức HUẾ - NĂM 2017 ii LỜI CẢM ƠN Tôi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Võ Tình thầy Trương Minh Đức tận tâm giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Xin gởi lời cảm ơn đến thầy Nguyễn Bá Ân, người hướng dẫn nghiên cứu đề tài luận án thầy ln sẵn sàng giải thích thấu đáo câu hỏi vấn đề liên quan đến chuyên ngành mà tơi nghiên cứu Cảm ơn thầy Lê Đình thầy Đinh Như Thảo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Huế giảng dạy tận tình giúp đỡ nhiều Trân trọng cảm ơn Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế tất thầy, cô khoa giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian nghiên cứu hoàn thành luận án Cảm ơn Phòng Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế cô Trần Thị Đông Hà giúp đỡ, hỗ trợ thủ tục giấy tờ phương tiện học tập Xin gởi lời cảm ơn đến thầy, cô, đồng nghiệp Khoa Giáo dục đại cương - Trường Cao đẳng Cơng nghiệp Tuy Hịa - Bộ Cơng Thương tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu công tác Cảm ơn bạn Trần Quang Đạt nhiệt tình tơi nghiên cứu giải nhiều tập lớn trình cộng tác viết báo khoa học Cảm ơn vợ tơi: Nguyễn Thị Hồng Vương, hai con: Đặng Ngọc Trinh Đặng Hoàng Tiên gia đình chăm lo, giúp đỡ chịu khó khăn bề để tơi tập trung nghiên cứu iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu, đồ thị nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án iv MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii Lời cam đoan iii Mục lục iv Các từ viết tắt v Danh sách hình vẽ vi MỞ ĐẦU Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1 Trạng thái kết hợp trạng thái phi cổ điển 1.1.1 Trạng thái kết hợp 1.1.2 Trạng thái nén 15 1.1.3 Trạng thái kết hợp cặp 17 1.1.4 Trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ 18 1.1.5 Trạng thái mèo kết cặp điện tích 19 1.2 Một số tính chất phi cổ điển bậc cao trạng thái phi cổ điển 20 1.2.1 Tính chất phản kết chùm bậc cao 20 1.2.2 Tính chất nén bậc cao hai mode 22 1.2.3 Tính chất nén tổng hai mode 23 1.2.4 Tính chất nén hiệu hai mode 24 v 1.3 Tiêu chuẩn dị tìm đan rối 25 1.3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 27 1.3.2 Phương pháp định lượng độ rối 30 1.4 Viễn tải lượng tử biến liên tục 32 1.5 Một số dụng cụ quang 35 1.5.1 Thiết bị tách chùm 35 1.5.2 Thiết bị dịch pha 36 1.5.3 Phương tiện chéo-Kerr phi tuyến 37 1.5.4 Đầu dò quang 38 Chương 2: Các tính chất phi cổ điển bậc cao mơ hình tạo trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ 39 2.1 Tính chất phản kết chùm bậc cao 40 2.1.1 Tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode 40 2.1.2 Tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode 43 2.2 Tính chất nén bậc cao hai mode 46 2.3 Tính chất nén tổng nén hiệu 49 2.3.1 Tính chất nén tổng 49 2.3.2 Tính chất nén hiệu 53 2.4 Tính chất đan rối 53 2.5 Mơ hình tạo trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ 55 Chương 3: Trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích tính chất phi cổ điển 66 3.1 Trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích 67 3.2 Các tính chất phi cổ điển trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích 71 3.2.1 Tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode 71 vi 3.2.2 Tính chất nén bậc cao hai mode 73 3.2.3 Khảo sát tính chất đan rối 75 Chương 4: Viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối trạng thái mèo kết cặp điện tích phi tuyến điện tích 78 4.1 Định lượng độ rối 79 4.2 Viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối trạng thái mèo kết cặp điện tích phi tuyến điện tích 85 4.2.1 Viễn tải lượng tử theo cách đo hiệu tọa độ tổng xung lượng 85 4.2.2 Viễn tải lượng tử theo cách đo tổng số hạt hiệu pha 92 KẾT LUẬN 100 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ Đà SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 103 104 vii CÁC TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt Tên đầy đủ tiếng Anh Tên đầy đủ tiếng Việt BS Beam Splitter Thiết bị tách chùm Charge Pair Trạng thái mèo kết Cat State cặp điện tích CV Continuous Variable Biến liên tục DV Discrete Variable Biến gián đoạn Nonlinear Charge Pair Trạng thái mèo kết Cat State cặp phi tuyến điện tích PD Photo-Detector Dò quang PS Phase Shifter Thiết bị dịch pha QED Quantum Electrodynamics Điện động lực lượng tử Two-Mode Even Charge Trạng thái hai mode kết hợp Coherent State điện tích chẵn Two-Mode Even Nonlinear Trạng thái hai mode kết hợp Charge Coherent State phi tuyến điện tích chẵn Two-Mode Odd Charge Trạng thái hai mode kết hợp Coherent State điện tích lẻ Two-Mode Odd Nonlinear Trạng thái hai mode kết hợp Charge Coherent State phi tuyến điện tích lẻ CPCS NCPCS TMECCS TMENCCS TMOCCS TMONCCS viii DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 (a) Thiết bị tách chùm 50:50; (b) Thiết bị dịch pha; (c) Phương tiện chéo-Kerr phi tuyến; (d) Đầu dò quang 35 2.1 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm đơn mode Aea (l) ≡ Aeb (l) Aoa (l) ≡ Aob (l) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b), cho q = l = 1, 2, 3, 42 2.2 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm đơn mode Aeb (9) vào |ξ| TMECCS, cho l = q = 0, 1, 3, 42 2.3 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm hai mode Aea,b (l) Aoa,b (l) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b), cho q = l = 1, 2, 3, 44 2.4 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm hai mode Aea,b (4) Aoa,b (4) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b), cho l = q = 0, 2, 4, 45 2.5 Sự phụ thuộc tham số nén bậc cao hai mode Sab (2, ϕ) vào |ξ| TMECCS (đường liền nét) TMOCCS (đường đứt nét), cho q = 49 2.6 Sự phụ thuộc tham số nén bậc cao hai mode Sab (4, ϕ) vào |ξ| TMECCS (đường liền nét) TMOCCS (đường đứt nét), cho q = 2.7 Sự phụ thuộc tham số nén tổng hai mode Se vào |ξ| TMECCS, cho q = 2, 3, 4, cos[2(θ − ϕ)] = −1 49 51 ix 2.8 Sự phụ thuộc tham số nén tổng hai mode So vào |ξ| TMOCCS, cho q = 0, 1, 2, cos[2(θ − ϕ)] = −1 51 2.9 Sự phụ thuộc tham số nén tổng hai mode Se(o) vào |ξ| TMECCS (đường liền nét) TMOCCS (đường đứt nét), cho q = cos[2(θ − ϕ)] = −1 52 2.10 Sự phụ thuộc hệ số đan rối E vào |ξ| TMECCS (đường liền nét) TMOCCS (đường đứt nét), cho q = k = 54 2.11 Sơ đồ tạo TMECCS TMOCCS sử dụng số cổng lượng tử dựa dụng cụ quang bao gồm: thiết bị tách chùm 50:50 thứ BS1, thứ hai BS2, thứ ba BS3 thứ tư BS4; phương tiện chéo-Kerr phi tuyến χ, χ′ −χ; thiết bị dịch pha θ, π/2 đầu dò quang D1 , D2 , D3 56 2.12 Xác suất Pe (a) độ trung thực Fe (b) mơ hình tạo TMECCS phụ thuộc vào r ≡ |ξ|, q = 0, τ = 10−3 |α| = 0.5 × 103 , × 103 , × 103 , × 103 60 2.13 Xác suất Po (a) độ trung thực Fo (b) mơ hình tạo TMOCCS phụ thuộc vào r ≡ |ξ|, q = 0, τ = 10−3 |α| = 0.5 × 103 , × 103 , × 103 , × 103 62 3.1 Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm bậc cao hai mode Aea,b (l, m) Aoa,b (l, m) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b) chọn f1 (n) = 1; TMENCCS (a) √ (1) TMONCCS (b) chọn f2 (n) = n, f3 (n) = Ln (η )/[(n+ (0) 1)Ln (η )], f4 (n) = − [s/(1 + n)], cho q = 0, l = 2, m = 2, η = 0.15 s = 72 69 Khi f (n) = φ = π phương trình (3.6) trở thành |ξ, q, φioab |ξ, qioab ≡ = o Nφ,q ∞ X n=0 √ ξ 2n+1 |2n + + qia |2n + 1ib , (2n+1)!(2n+1+q)! (3.12) o có dạng hệ số chuẩn hóa Nφ,q ∞ X 4n+2 |ξ| (2n + 1)!(2n + + q)! n=0 −1/2 Iq (2|ξ|) − Jq (2|ξ|) = 2|ξ|q o Nφ,q ≡ Nqo = !−1/2 (3.13) Trạng thái biểu diễn phương trình (3.12) TMOCCS [37], [83] biểu diễn phương trình (1.42) Trường hợp f (n) 6= φ = 0, từ phương trình (3.6), ta thu trạng thái hai mode kết hợp phi tuyến điện tích chẵn (Two-Mode Even Nonlinear Charge Coherent State: TMENCCS) cho dạng trạng thái Fock hai mode a b |ξ, q, f ieab = e Nq,f ∞ X n=0 √ ξ 2n |2n + qia |2nib , (3.14) (2n)!(2n+q)!f (2n)!f (2n+q)! e hệ số chuẩn hóa Nq,f viết dạng e = Nq,f ∞ X n=0 |ξ|4n (2n)!(2n + q)![f (2n)!f (2n + q)!]2 !−1/2 (3.15) Khi f (n) 6= φ = π, ta có trạng thái hai mode kết hợp phi tuyến điện tích lẻ (Two-Mode Odd Nonlinear Charge Coherent State: TMONCCS) cho dạng trạng thái Fock hai mode a b |ξ, q, f ioab = o Nq,f ∞ X n=0 √ ξ 2n+1 |2n (2n+1)!(2n+1+q)!f (2n+1)!f (2n+1+q)! + + qia |2n + 1ib , (3.16) 70 o hệ số chuẩn hóa Nq,f viết dạng o = Nq,f ∞ X n=0 4n+2 |ξ| (2n + 1)!(2n + + q)![f (2n + 1)!f (2n + + q)!]2 !−1/2 (3.17) Lưu ý phương trình (3.1−3.17) sử dụng định nghĩa [41], [85] f (n)! = f (n)f (n−1) f (1), f (0)! = (3.18) Hàm phi tuyến f (n) phương trình xuất phát từ hàm toán tử f (ˆ a† a ˆ) cách thay n ˆ=a ˆ† a ˆ số nguyên n Nói chung, thu nhiều trạng thái kết hợp phi tuyến thay hàm phi tuyến f (n) phổ gián đoạn en tương ứng khác vào phương trình biểu diễn trạng thái hệ vật lý khảo sát Các hàm phi tuyến phổ gián đoạn liên hệ hệ thức en = nf (n) theo (1) (0) [41] Nếu hàm f (n) = Ln (η )/[(n + 1)Ln (η )] η tham số (m) Lamb-Dicke Ln (x) đa thức Laguerre, trạng thái kết hợp phi tuyến điện tích xét giống trạng thái dừng chuyển động khối tâm bẫy ion Tương ứng với hàm f (n) = − [s/(1 + n)] trạng thái thêm photon, s số nguyên không âm Hàm √ f (n) = n xuất Hamiltonian mơ tả tương tác, cường độ phụ thuộc vào kết cặp nguyên tử hai mức trường điện từ Phổ gián đoạn en = n(n + µ) tương ứng với hm th Păoschl-Teller cú dng f (n) = n + µ, với µ ≥ 2, trường hợp µ = tương ứng với giếng vô hạn, ta chọn µ > Phổ gián đoạn en = − [1/(n + 1)2 ] phổ có dạng giống phổ Hydro, với hàm phi tuyến √ tương ứng f (n) = n + 2/(n + 1) 71 3.2 Các tính chất phi cổ điển trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích 3.2.1 Tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode Như giới thiệu phần sở lý thuyết, tính chất phản kết chùm bậc cao trường xạ hai mode, tương ứng với số photon mode a n ˆ a mode b n ˆ b khảo sát thông qua hệ số phản kết chùm hai mode Aa,b (l, m) theo phương trình (1.54) có dạng Aa,b (l, m) ≡ (l+1) (m−1) n ˆb i (l) (m) hˆ na n ˆb i hˆ na (m−1) (l+1) n ˆb i (m) (l) hˆ na n ˆb i + hˆ na + − < Khi khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode NCPCS, dựa vào phương trình (3.6), (3.7) (3.20) để tính giá trị trung bình số hạt phương trình (1.54) NCPCS Giá trị trung bình dạng tổng quát tính theo NCPCS (l) ˆ b i = hˆ hˆ n(k) a†k a ˆkˆb†lˆbl i a n ∞ X [1 + (−1)n cos(φ)]|ξ|2n (n − l)!(n + q − k)![f (n)!f (n + q)!] n=max(l,k−q) = 2Nφ,q,f (3.19) Cl,k,0 , = 2Nφ,q,f ta đặt Cl,k,h = ∞ P n=max(l,k−q) n [1+(−1) cos(φ)]|ξ|2n (n−l)!(n+q−k)!f (n)!f (n+q)!f (n+h)!f (n+h+q)! (3.20) Cấp độ phản kết chùm NCPCS thể thông qua giá trị hệ số phản kết chùm hai mode Aa,b (l, m), dùng phương trình (1.54), (3.19) cách đặt phương trình (3.20), trường hợp tổng quát l ≥ m ≥ 1, ta thu Aa,b (l, m) = Cm−1,l+1,0 + Cl+1,m−1,0 − Cm,l,0 + Cl,m,0 (3.21) 72 Chúng tơi nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode 0.0 (a) ( -0.2 -0.4 f1 HnL f2 HnL f3 HnL f4 HnL -0.6 -0.8 -1.0 (b) -0.1 10 ÈΞÈ 15 20 Aoa,bHl,mL Aea,bHl,mL 0.0 f1 HnL f2 HnL -0.2 -0.3 f3 HnL f4 HnL -0.4 -0.5 10 15 20 ÈΞÈ Hình 3.1: Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm bậc cao hai mode Aea,b (l, m) Aoa,b (l, m) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b) chọn f1 (n) = 1; đối √ (1) với TMENCCS (a) TMONCCS (b) chọn f2 (n) = n, f3 (n) = Ln (η )/[(n + (0) 1)Ln (η )], f4 (n) = − [s/(1 + n)], cho q = 0, l = 2, m = 2, η = 0.15 s = NCPCS việc dùng phương trình (3.19), (3.21) Hình 3.1 biểu diễn phụ thuộc hệ số phản kết chùm bậc cao hai mode Aea,b (l, m) Aoa,b (l, m) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b) chọn f1 (n) = 1; TMENCCS (a) TMONCCS (b) chọn √ (1) (0) f2 (n) = n, f3 (n) = Ln (η )/[(n + 1)Ln (η )], f4 (n) = − [s/(1 + n)], cho q = 0, l = 2, m = 2, η = 0.15 s = Tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode lúc tồn với giá trị l m, giới hạn giá trị |ξ| lân cận 0, |ξ| tăng cấp độ phản kết chùm giảm Kết khảo sát cho hai trường hợp hình 3.1(a) 3.1(b) cho thấy |ξ| dần giá trị cấp độ phản kết chùm lớn đạt cực đại |ξ| = Khi |ξ| chưa đủ lớn, xét với giá trị |ξ| (ngoại trừ giá trị |ξ| = 0) cố định cấp độ phản kết chùm tương ứng với hàm nhận dạng f2 (n) lớn nhất, ngược lại cấp độ phản kết chùm tương ứng với hàm nhận dạng f4 (n) nhỏ Khi |ξ| đủ lớn, cấp độ phản kết chùm theo hàm nhận dạng chọn hội tụ giá trị 73 3.2.2 Tính chất nén bậc cao hai mode Tính chất nén bậc cao trường xạ hai mode a b khảo sát dựa tham số nén hai mode Sab (N, ϕ) đề cập chương thể phương trình (1.59) có dạng Sab (N, ϕ) = {ℜ[h(ˆ a + ˆb)2N ie2iϕ ]+h(ˆ a† +ˆb† )N (ˆ a + ˆb)N i − 2ℜ2 [h(ˆ a + ˆb)N eiϕ i]} Sử dụng phương trình (3.6), (3.7), (3.20), (3.19) phương trình (1.59), bậc N = 2k + 1, với k số nguyên dương tham số nén bậc cao hai mode Sab (N, ϕ) khai triển dạng Sab (N, ϕ) = 2Nφ,q,f N X n=0 2 N! CN −n,n,0 2n!(N − n)! (2N )! N + |ξ| sin(N θ + 2ϕ) sin(φ)BN , 4(N !)2 (3.22) BN viết theo cách đặt ∞ X (−1)m |ξ|2m Bh = m!(m + q)!f (m)!f (m + q)!f (m + h)!f (m + h + q)! m=0 (3.23) Khi φ = φ = π số hạng thứ hai vế phải công thức P (3.22) 0, số hạng thứ N n=0 vế phải cơng thức (3.22) ln lớn 0, bậc N = 2k + tham số nén bậc cao hai mode Sab (N, ϕ) lớn 0, nên khơng có nén bậc cao hai mode trường hợp Khi bậc N = 2k, k số ngun dương chẵn tham số nén bậc cao hai mode Sab (N, ϕ) NCPCS X N 2 N! CN −n,n,0 Sab (N, ϕ) = 2Nφ,q,f 2n!(N − n)! n=0 (2N )! N |ξ| cos(N θ + 2ϕ)C0,0,N + 4(N !)2 74 − √ 2N ! [( N2 )!] N |ξ| cos N C0,0, N θ + ϕ Nφ,q,f 2 (3.24) Khi bậc N = 2k, k số nguyên dương lẻ tham số nén bậc cao hai mode Sab (N, ϕ) NCPCS Sab (N, ϕ) X N 2 N! CN −n,n,0 2n!(N − n)! n=0 (2N )! N + |ξ| cos(N θ + 2ϕ)C0,0,N 4(N !)2 √ 2 N 2N ! N θ + ϕ sin(φ)Nφ,q,f B N − |ξ| sin N 2 [( )!] = 2Nφ,q,f (3.25) Khi xét với TMENCCS TMONCCS, ta có số hạng thứ ba ( )2 bên vế phải công thức (3.25) (do φ = φ = π, suy sin(φ) = 0) (b) (a) Sa bH2,jL Sa bH2,jL -1 f1 HnL f2 HnL f3 HnL -2 -3 -1 f1 HnL f2 HnL f3 HnL -2 ÈΞÈ -3 ÈΞÈ Hình 3.2: Sự phụ thuộc tham số nén bậc cao hai mode Sab (2, ϕ) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b) chọn f1 (n) = 1; TMENCCS (a) TMON√ (1) (0) CCS (b) chọn f2 (n) = ( n + 2)/(n + 1), f3 (n) = Ln (η )/[(n + 1)Ln (η )], cho q = 0, η = 0.15 k = Hình 3.2 hình 3.3 biểu diễn phụ thuộc tham số nén bậc cao hai mode Sab (2, ϕ) Sab (4, ϕ) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b) chọn f1 (n) = 1; TMENCCS (a) TMONCCS (b) √ (1) (0) chọn f2 (n) = ( n + 2)/(n + 1), f3 (n) = Ln (η )/[(n + 1)Ln (η )], cho 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 (a) -3.0 0.0 0.2 Sa bH4,jL Sa bH4,jL 75 f1 HnL f2 HnL f3 HnL 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 (b) -3.0 0.0 0.2 f1 HnL f2 HnL f3 HnL 0.4 ÈΞÈ 0.6 0.8 1.0 ÈΞÈ Hình 3.3: Sự phụ thuộc tham số nén bậc cao hai mode Sab (4, ϕ) vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b) chọn f1 (n) = 1; TMENCCS (a) TMON√ (0) (1) CCS (b) chọn f2 (n) = ( n + 2)/(n + 1), f3 (n) = Ln (η )/[(n + 1)Ln (η )], cho q = 0, η = 0.15 k = q = 0, η = 0.15 cos[2(kθ + ϕ)] = −1 Các hình vẽ cho thấy bậc N chẵn tham số nén bậc cao hai mode Sab (N, ϕ) tồn giá trị nhỏ âm |ξ| tăng Có nghĩa tồn nén bậc cao hai mode NCPCS bậc N chẵn 3.2.3 Khảo sát tính chất đan rối Các tiêu chuẩn áp dụng để dị tìm đan rối số hệ hai mode đưa [62], [124] Theo tiêu chuẩn đan rối HilleryZubairy [62], trạng thái hai mode a b đan rối với hệ số đan rối R = h(ˆ a† ) m a ˆm ih(ˆb† )nˆbn i − |hˆ amˆbn i|2 < (3.26) thỏa mãn với số nguyên m, n ≥ Sử dụng phương trình (3.6), (3.7), (3.20), (3.19) (3.26), xét cho trường hợp m = n = 2k, với k số nguyên dương, ta có R = 4Nφ,q,f (C0,2k,0 C2k,0,0 − ||ξ|2k e(i2kθ) C0,0,2k |2 ) [C0,2k,0 C2k,0,0 − (|ξ|2k C0,0,2k )2 ], = 4Nφ,q,f (3.27) 76 trường hợp m = n = 2k + 1, với k số nguyên dương, ta có |ξ|(2k+1) ei(2k+1)θ [−2i sin(φ)]B2k+1 |2 C0,2k+1,0 C2k+1,0,0 − |Nφ,q,f R = 4Nφ,q,f (3.28) [C0,2k+1,0 C2k+1,0,0 − (|ξ|(2k+1) sin(φ)B2k+1 )2 ] = 4Nφ,q,f Theo công thức (3.28), xét hai TMENCCS TMONCCS, tương ứng với NCPCS chọn φ = φ = π, suy sin(φ) = lúc số hạng dấu ( )2 bên vế phải khơng, ln có hệ số đan rối R > 0, nên khơng có đan rối trường hợp 0.0 -0.2 (a) -0.4 Ro Re -0.2 0.0 -0.6 f1 HnL f2 HnL f3 HnL -0.8 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 ÈΞÈ (b) f1 HnL f2 HnL f3 HnL -1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 ÈΞÈ Hình 3.4: Sự phụ thuộc hệ số đan rối Re Ro vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b) chọn f1 (n) = 1; TMENCCS (a) TMONCCS (b) chọn √ (1) (0) f2 (n) = n + 2/(n + 1), f3 (n) = Ln (η )/[(n + 1)Ln (η )], cho q = 0, k = 2, η = 0.25 µ = Hình 3.4 biểu diễn phụ thuộc hệ số đan rối Re Ro vào |ξ|, TMECCS (a) TMOCCS (b) chọn f1 (n) = 1; √ TMENCCS (a) TMONCCS (b) chọn f2 (n) = n + 2/(n + 1), (1) (0) f3 (n) = Ln (η )/[(n + 1)Ln (η )], cho q = 0, k = 2, η = 0.25 µ = Trong tất trạng thái xét, với tham số cho trước hàm số chọn Re Ro ln âm với giá trị |ξ| âm |ξ| tăng, có nghĩa trường hợp này, TMENCCS TMONCCS hai trạng thái đan rối hoàn toàn Như chương này, khảo sát tính chất phản kết 77 chùm bậc cao, tính chất nén bậc cao tính chất đan rối trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích Kết cho thấy tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode xuất với số giá trị q, l, m hàm f (n) chọn hợp lý Trong giới hạn giá trị |ξ| bé, |ξ| tăng mức độ phản kết chùm bậc cao hai mode giảm Mức độ phản kết chùm cực đại |ξ| = Khảo sát nén bậc cao hai mode, thấy bậc N lẻ, ứng với φ = φ = π khơng có nén bậc cao hai mode trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích, gồm nén hai mode thơng thường (N = 1) Tuy nhiên, bậc N chẵn có nén bậc cao hai mode trạng thái Tham số nén Sab (N, ϕ) âm |ξ| lớn Khi khảo sát tính chất đan rối hai mode cho hai trạng thái hai mode kết hợp phi tuyến điện tích chẵn lẻ, trường hợp m = n = 2k, với tham số cho trước hàm số f (n) chọn, nhận thấy Re Ro âm với giá trị |ξ|, âm |ξ| tăng Điều có ý nghĩa việc sử dụng trạng thái làm nguồn rối để viễn tải lượng tử hoàn toàn khả thi 78 Chương VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ SỬ DỤNG NGUỒN RỐI TRẠNG THÁI CON MÈO KẾT CẶP ĐIỆN TÍCH VÀ PHI TUYẾN ĐIỆN TÍCH Vai trị trạng thái đan rối hai mode nhiều lĩnh vực thông tin lượng tử như: viễn tải lượng tử; tính tốn lượng tử; mã hóa lượng tử; viễn tạo trạng thái; Chúng ta thấy rõ điều qua số q trình lượng tử với trạng thái nén chân không hai mode [98], trạng thái kết hợp cặp [45] Thông thường, trạng thái với hiệu ứng đan rối mạnh cho mức độ thành công nhiệm vụ lượng tử cao Dĩ nhiên mức độ thành cơng cịn phụ thuộc vào trạng thái mơ hình thực phù hợp với [31], [72], [98], hay ảnh hưởng tính chất phá kết hợp [31], [81] Trong phần đầu chương này, đánh giá mức độ đan rối trạng thái mèo kết cặp điện tích (CPCS) trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích (NCPCS) Các tiêu chuẩn mà khảo sát trước điều kiện cần để phát có hay khơng có đan rối trạng thái mà thơi Do đó, để có nhìn đầy đủ tính chất đan rối trạng thái này, sử dụng thêm số điều kiện đủ để đánh giá mức độ rối chúng Sau đó, 79 chúng tơi khảo sát q trình viễn tải lượng tử sử dụng trạng thái làm nguồn rối để viễn tải trạng thái kết hợp 4.1 Định lượng độ rối Tính chất đan rối TMECCS TMOCCS khảo sát [37] Trong tác giả sử dụng tiêu chuẩn đan rối HilleryZubairy [61] Kết khảo sát cho thấy trạng thái có tính chất đan rối, cấp độ đan rối âm biên độ |ξ| lớn khó kết luận độ mạnh hay yếu đan rối mode trạng thái Vấn đề đặt cho trả lời câu hỏi có thêm hiệu ứng phi tuyến vào TMECCS TMOCCS, điều tương ứng với hàm phi tuyến f (n) 6= có biểu tính đan rối nào? Để thuận lợi việc đánh giá cấp độ đan rối CPCS NCPCS, dùng tiêu chuẩn Agarwal Biswas [6] Ta có entropy tuyến tính định nghĩa phương trình (1.89) có dạng M = − Tr(ˆ ρ2a ), Tr(ˆ ρ2a ) phép lấy vết ma trận mật độ rút gọn ρˆa bình phương Lưu ý trạng thái đan rối mạnh M gần đơn vị Trạng thái đan rối cực đại M = 1, trường hợp M = tương ứng với trạng thái không đan rối Xét trường hợp tổng quát, ma trận mật độ ρˆ NCPCS có dạng ρˆ = |ξ, q, f, φiab ba hξ, q, f, φ| = Nφ,q,f ∞ X ξ n (ξ ∗ )m [1 + (−1)n eiφ ][1 + (−1)m e−iφ ] p m!n!(m + q)!(n + q)!f (m)!f (n)!f (m + q)!f (n + q)! m,n=0 × |n + qia |nib b hm| a hm + q| (4.1) 80 Do đó, ma trận mật độ rút gọn ρˆa NCPCS xét mode a ρˆa = Trb (ˆ ρ) = Nφ,q,f ∞ X ξ n (ξ ∗ )m [1 + (−1)n eiφ ][1 + (−1)m e−iφ ] p m!n!(m + q)!(n + q)!f (m)!f (n)!f (m + q)!f (n + q)! m,n=0 × T rb (|n + qia |nib b hm| a hm + q|) = Nφ,q,f ∞ X ξ n (ξ ∗ )m [1 + (−1)n eiφ ][1 + (−1)m e−iφ ] p m!n!(m + q)!(n + q)!f (m)!f (n)!f (m + q)!f (n + q)! m,n=0 × |n + qia a hm + q| hm|ni = 2Nφ,q,f ∞ X n=0 |ξ|2n [1 + (−1)n cos φ] |n + qia a hn + q|, n!(n + q)![f (n)!f (n + q)!]2 (4.2) Trb (ˆ ρ) phép lấy vết ma trận mật độ ρˆ NCPCS lên mode b Từ phương trình (4.2), ta suy ρˆ2a = 4Nφ,q,f ∞ X |ξ|2(n+m) [1 + (−1)n cos φ][1 + (−1)m cos φ] × 2 m,n=0 n!(n + q)!m!(m + q)![f (n)!f (n + q)!] [f (m)!f (m + q)!] × |n + qia a hn + q|m + qia a hm + q| = 4Nφ,q,f ∞ X n=0 |ξ|4n [1 + (−1)n cos φ] |n 2 {n!(n + q)![f (n)!f (n + q)!] } + qia a hn + q| (4.3) Từ ta nhận kết cuối sau: M = − Tr(ˆ ρ2a ) =1− 4Nφ,q,f =1− 4Nφ,q,f =1− 4Nφ,q,f ∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X n=0 |ξ|4n [1 + (−1)n cos φ] |ξ|4n [1 + (−1)n cos φ] |ξ|4n [1 + (−1)n cos φ] Tr(|n 2 {n!(n + q)![f (n)!f (n + q)!] } {n!(n + q)![f (n)!f (n + q)!]2 } hn 2 {n!(n + q)![f (n)!f (n + q)!] } + qia a hn + q|) + q|n + qi (4.4) 81 Xét trường hợp f (n) = NCPCS chuyển thành CPCS, entropy tuyến tính M tính theo phương trình (4.4) trở thành M = − Tr(ˆ ρ2a ) =1− 4Nφ,q =1− 4Nφ,q ∞ X |ξ|4n [1 + (−1)n cos φ] n=0 ∞ X n=0 [n!(n + q)!]2 Tr(|n + qia a hn + q|) |ξ|4n [1 + (−1)n cos φ] [n!(n + q)!]2 (4.5) Khi số điện tích q = 0, ta có M =1− 4Nφ,0 ∞ X |ξ|4n [1 + (−1)n cos φ] (n!)4 n=0 (4.6) 0.8 Me HoL 0.6 chẵn lẻ 0.4 0.2 0.0 10 ÈΞÈ Hình 4.1: Sự phụ thuộc entropy tuyến tính Me(o) vào |ξ| TMECCS (đường liền nét) TMOCCS (đường đứt nét), cho q = Chúng tơi khảo sát entropy tuyến tính TMECCS TMOCCS tương ứng với CPCS trường hợp φ = φ = π, cho q = Kết hình 4.1 cho thấy TMECCS TMOCCS trạng thái đan rối Khi biên độ |ξ| đủ lớn, cấp độ đan rối tăng theo giá trị |ξ| Tuy nhiên, nói tính chất đan rối chúng đủ mạnh biên độ |ξ| đạt đến giá trị đủ lớn lúc cấp độ đan rối TMECCS 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 (a) q=0 q=2 q=4 q=5 ÈΞÈ 10 Mo Me 82 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 (b) q=0 q=2 q=4 q=5 10 ÈΞÈ Hình 4.2: Sự phụ thuộc entropy tuyến tính Me Mo vào |ξ| TMECCS (a) TMOCCS (b), cho q = 0, 2, 4, TMOCCS gần Gọi |ξ|1 giá trị biên độ vừa đủ lớn cấp độ đan rối TMECCS TMOCCS bắt đầu xấp xỉ nhau, độ chênh lệch cấp độ đan rối TMECCS TMOCCS tăng |ξ|1 lùi dần Khảo sát entropy tuyến tính TMECCS TMOCCS q = 0, 2, 4, 5, kết thể hình 4.2(a) 4.2(b) Cấp độ đan rối lúc tồn với giá trị số điện tích q ≥ Nếu |ξ| đủ lớn cấp độ đan rối tăng theo giá trị |ξ| hai trạng thái có cấp độ đan rối cực đại xấp xỉ (gần 1) |ξ| đạt gần giá trị tới hạn |ξ|2 Trong giới hạn giá trị bé |ξ|, độ chênh lệch cấp độ đan rối theo giá trị q TMECCS TMOCCS tăng |ξ| lùi dần 0, |ξ| = cấp độ đan rối cho hai trạng thái đạt cực tiểu Thực việc khảo sát số giá trị |ξ| = theo thứ tự giá trị số điện tích q = 0, 2, 4, 5, ta thu giá trị entropy tuyến tính TMECCS (TMOCCS), tương ứng với M = 0.63921 (0.643115), 0.638614 (0.634793), 0.623999 (0.624541) 0.611858 (0.619544) Trường hợp giá trị |ξ| = 180 theo thứ tự giá trị số điện tích q = 0, 2, 4, 5, tương tự ta thu giá trị entropy tuyến tính TMECCS (TMOCCS), tương ứng với M = 0.938925 (0.938465), 0.939292 (0.938923), 0.939581 (0.939288) 83 0.9397 (0.93944) Số liệu cho thấy |ξ| lớn, sai khác giá trị entropy tuyến tính theo giá trị số điện tích khác Điều đồng nghĩa biên độ kết hợp lớn đến giá trị tới hạn |ξ|2 đó, với giá trị số điện tích q khác entropy tuyến tính hội tụ giá trị cực đại Kết cho thấy cấp độ biểu đan rối TMECCS TMOCCS tương tự biên độ |ξ| đủ lớn, giá trị entropy tuyến tính hai trạng thái lúc gần Như vậy, CPCS trạng thái đạt đến cấp độ đan rối cực đại |ξ| đạt đến giá trị tới hạn thỏa mãn điều kiện đan rối để thực nhiệm vụ lượng tử Xét trường hợp f (n) 6= q = 0, điều có nghĩa số photon mode a số photon mode b, ta có M =1− 4Nφ,0,f ∞ X |ξ|4n [1 + (−1)n cos φ] n=0 [n!(f (n)!)2 ] (4.7) Kết khảo sát entropy tuyến tính cho trường hợp f (n) 6= bao √ gồm hàm phi tuyến f2 (n) = − [s/(1 + n)], f3 (n) = µ + n f4 (n) = L1n (η )/[(1 + n)Ln (η )] TMENCCS TMONCCS so sánh với entropy tuyến tính trường hợp f1 (n) = TMECCS TMOCCS, cho q = 0, η = 0.15, s = µ = thể hình 4.3 Các kết khảo sát cho thấy chọn φ = φ = π CPCS NCPCS trạng thái đan rối Tuy nhiên nói tính chất đan rối chúng không thực mạnh Cấp độ đan rối tăng theo giá trị biên độ |ξ| Khi hàm phi tuyến nhận dạng khác tương ứng với f3 (n), f4 (n) cho thấy cấp độ đan rối NCPCS giảm so với CPCS Chỉ có trường hợp hàm phi tuyến nhận dạng f2 (n) cho cấp độ đan rối cao chút so với CPCS Kết