Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU THÁI NGUYÊN 6/2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU THÁI NGUN - 6/2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN - 6/2020 Mục lục Trang Danh sách hình vẽ Danh sách bảng Lời nói đầu Chương Một số kiến thức 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Rời rạc hóa toán 14 1.2.1 Rời rạc hóa tốn thuận theo biến không gian 14 1.2.2 Rời rạc toán thuận theo biến thời gian 16 Chương Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính chiều 19 2.1 Bài toán biến phân 20 2.2 Rời rạc toán biến phân 22 2.3 Phương pháp gradient liên hợp 25 2.4 Ví dụ số 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Danh sách hình vẽ 2.1 Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) 2.2 30 Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) 2.3 30 Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) 2.4 31 Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.29) 2.5 32 Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.29) 2.6 32 Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.29) 33 Danh sách bảng 2.1 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗ , sai số kf −fn∗ kL2 (0,T ) giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo công thức (2.28) 31 2.2 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗ , sai số kf −fn∗ kL2 (0,T ) giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo công thức (2.29)) 33 Lời nói đầu Trong nhiều nghiên cứu thực tế, hàm nguồn trình truyền nhiệt yêu cầu cần phải xác định từ vài thông số ta quan sát hay đo [1, 2, 4, 5] Đây toán ngược xác định hàm vế phải hay phần hàm vế phải (hàm nguồn) phương trình truyền nhiệt Vì ứng dụng quan trọng thực tế nên có nhiều nghiên cứu lý thuyết giải số phát triển [1, 3, 5, 6] Bài tốn ngược tốn đặt khơng chỉnh Một toán gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn tất điều kiện: i) Tồn nghiệm; ii) Nghiệm nhất; iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện toán Nếu điều kiện không thỏa mãn tốn gọi đặt khơng chỉnh Bài tốn đặt khơng chỉnh thường gây nhiều vấn đề nghiêm trọng làm cho nghiệm số cổ điển không ổn định, tức sai số nhỏ kiện đầu vào dẫn tới sai số lớn với nghiệm Ta xét ví dụ sau đây: Xét chuỗi Fourier ∞ X n=0 an cos nt = f (t) ∼ (a0 , a1 , , ) (0.1) Chọn aǫn = an + nǫ , n ≥ aǫ0 = a0 Trong chuẩn l2 , ta có k(a1 , a2 , ) − (aǫ1 , aǫ2 , )kl2 ∞ ∞ X X ǫ2 1/2 1/2 = =ǫ n n2 n=1 n=1 π = ǫ √ −→ 0, ǫ → (0.2) Mặt khác ǫ kf (t) − f (t)kC[0,π] ∞ X ǫ = = ∞ n n=0 (0.3) Từ phương trình (0.2) (0.3) ta có hệ số sai khác nhỏ dẫn tới sai khác hàm vế phải f (t) Nội dung luận văn trình bày chương: Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, phương trình truyền nhiệt chiều dạng tổng quát, toán thuận, phương pháp sai phân hữu hạn rời rạc toán thuận Chương nghiên cứu toán xác định hàm vế phải cách sử dụng phương pháp biến phân kết hợp với hiệu chỉnh Tikhonov, công thức gradient phiếm hàm mục tiêu tính thơng qua nghiệm toán liên hợp trường hợp liên tục (Định lý 2.1) trường hợp rời rạc (Định lý 2.2) Trong chương này, chúng tơi trình bày lại phương pháp gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu Luận văn trình bày vài ví dụ số minh họa cho phương pháp số đề xuất với tính chất khác hàm vế phải cần tìm Trước hết, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hỗ trợ tơi tìm hướng nghiên cứu, tiếp cận thực tế, tìm kiếm tài liệu, xử lý phân tích số liệu, giải vấn đề để tơi hoàn thành luận văn khoa học Ngoài ra, trình học tập, nghiên cứu thực đề tài tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, giúp đỡ q thầy cơ, đồng nghiệp, bạn bè người thân Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến: • Những người thân gia đình hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt thời gian tơi theo học khóa thạc sỹ trường Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun • Q thầy Khoa Tốn- Tin q thầy phịng Đào tạo - KHCN HTQT, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên truyền đạt cho kiến thức bổ ích suốt hai năm học vừa qua • Bạn bè, đồng nghiệp động viên, hỗ trợ tơi q trình học tập nghiên cứu! Tơi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2020 Học viên Đỗ Thị Tuyết Nga Chương Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sử dụng luận văn như: số khơng gian hàm, tốn thuận, định nghĩa nghiệm yếu phương pháp sai phân rời rạc tốn thơng qua lược đồ Crank-Nicolson 1.1 Giới thiệu toán Cho Ω = (0, L) ⊂ R and Q = (0, L) × (0, T ), S = {0, 1} × (0, T ) Xét phương trình u − (a(x, t)ux )x + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), t u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω (x, t) ∈ Q, (1.1) Trong a, b ϕ không gian L∞ (Q), g ∈ L2 (Q), f ∈ L2 (0, T ) u0 ∈ L2 (Ω) Giả sử a ≥ a > với a số b ≥ Hơn nữa, ϕ ≥ ϕ > 0, (1.2) với ϕ số Định nghĩa 1.1 (Bài toán thuận) [5] Khi hệ số a(x, t), b(x, t), điều kiện ban đầu u0 , hàm vế phải biết (gồm f (t), ϕ(x, t), g(x, t)), 17 Ta viết lại dạng um+1 = Am um + ∆tB m F m+1/2 , u0 = u (1.27) ∆t m −1 ∆t m Λ ) (E − Λ ), 2 ∆t m −1 B m = (E + Λ ) , E ma trận đơn vị Am = (E + Ký hiệu (·, ·) k · k tương ứng tích vơ hướng chuẩn Euclide không gian RNx Ta nhận kết tính ổn định lược đồ sai phân sau Bổ đề 1.2 Lược đồ (1.27) ổn định Chứng minh Từ phương trình (1.27) ta nhận kum+1 k ≤ k(E+ ∆t m −1 ∆t ∆t Λ ) (E− Λm )kkum k+∆tk(E+ Λm )−1 kkF m+1/2 k 2 (1.28) Mặt khác, Λm nửa xác định dương, sử dụng bổ đề Kellogg [3, Định lý 2.1, p 220] ta có k(E + ∆t m ∆t m −1 Λ ) (E − Λ )k ≤ 2 Hơn k(E + (E + ∆t m −1 Λ ) k = sup ϕ = sup φ = sup φ ∆t m −1 Λ ) ϕ, (E + ∆t m −1 Λ ) ϕ (ϕ, ϕ) (φ, φ) ((E + ∆t m Λ )φ, (E + ∆t m Λ )φ) (φ, φ) ((φ, φ) + ∆t(Λφ, φ) + ∆t2 m m (Λ φ, Λ φ) ≤ 18 Do vậy, từ phương trình (1.28) ta nhận kum+1 k ≤ kum k + kF m+1/2 k, kum k ≤ kum−1 k + kF m−1/2 k, ··· ku1 k ≤ ku0 k + kF 1/2 k Đặt kvk = ku0 k, kf k = max kF m+1/2 k, ta có m kum+1 k ≤ kvk + (m + 1)∆tkf k (1.29) Như vậy, lược đồ sai phân (1.27) ổn định Chú ý, tài liệu [1] tác giả chứng minh tồn số dương cdd không phụ thuộc vào hệ số a b thỏa mãn Nx M X X m=0 k−0 ≤ cdd |u k,m Nx X k−0 | 1/2 |uk0 |2 1/2 + Nx M X X m=0 k−0 (1.30) |f m ϕk,m + g k,m |2 )1/2 ... 16 Chương Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính chiều 19 2.1 Bài toán biến phân 20 2.2 Rời rạc toán biến phân 22 2.3 Phương pháp... ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... kL2 (Ω) (1.5) Để sử dụng phương pháp biến phân cho tốn xác định hàm vế phải cho phương trình truyền nhiệt, ta cần tới số kết toán liên hợp, cách xác định toán liên hợp trình bày thơng qua cơng