Đang tải... (xem toàn văn)
Hoa Thesis dvi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY HOA XÁC ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU THÁI NGUYÊN 6/2020 c ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY HOA XÁC ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU THÁI NGUYÊN - 6/2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY HOA XÁC ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 8460112 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN - 6/2020 c Mục lục Trang Danh sách hình vẽ Lời nói đầu Chương Một số kiến thức 1.1 Nguồn gốc phương trình truyền nhiệt 1.2 Bài tốn thuận cho phương trình truyền nhiệt chiều 1.3 Phương pháp sai phân cho toán thuận chiều 14 1.3.1 Rời rạc biến không gian 14 1.3.2 Rời rạc biến thời gian 17 1.4 Xấp xỉ toán biến phân 18 Chương Xác định điều kiện ban đầu cho phương trình truyền nhiệt chiều 23 2.1 Bài toán ngược, toán liên hợp, gradient phiếm hàm mục tiêu 23 2.2 Bài toán biến phân rời rạc 26 2.2.1 Gradient phiếm hàm mục tiêu rời rạc 27 2.2.2 Phương pháp gradient liên hợp 30 2.3 Ví dụ số 32 Tài liệu tham khảo 40 c Danh sách hình vẽ 2.1 Ví dụ 1: Xây dựng lại hàm v: (a) nhiễu 0.1 × 10−2 , sai số L2 (Ω) 0.0057764; (b) nhiễu 0.3 × 10−2 , sai số L2 0.0060894; (c) nhiễu 0.5 × 10−2 , sai số L2 0.006133; (d) nhiễu 10−2 , sai số L2 0.006116 34 2.2 Ví dụ 2: Xây dựng lại hàm v: (a) nhiễu 0.1 × 10−2 ; (b) nhiễu 0.3 × 10−2 ; (c) nhiễu 0.5 × 10−2 ; (d) nhiễu 10−2 35 2.3 Ví dụ 3: Xây dựng lại hàm v: (a) nhiễu 0.1 × 10−2 ; (b) nhiễu 0.3 × 10−2 ; (c) nhiễu 0.5 × 10−2 ; (d) nhiễu 10−2 36 2.4 Ví dụ 4, 5, 6: Xây dựng lại điều kiện ban đầu với hàm v: (a) trơn; (b) liên tục không trơn; (c) gián đoạn 38 c Lời nói đầu Điều kiện ban đầu có nhiều ý nghĩa nghiên cứu mơ hình thực tiễn khí tượng, thủy văn, địa chất, hải dương học, lý thuyết dự báo, [1, 2, 3] Bởi vì, có điều kiện ban đầu, ta đưa dự báo tiến hóa mơ hình Tuy nhiên, thực tế khơng phải lúc điều kiện ban đầu biết, vấn đề đặt từ số quan sát nghiệm ta tìm lại điều kiện ban đầu Các quan sát nghiệm đa dạng [6, 7] quan sát thời điểm cuối, quan sát tích phân, quan sát điểm, quan sát biên hay phần biên, Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu toán xác định điều kiện ban đầu từ quan sát nghiệm thời điểm cuối cho phương trình truyền nhiệt chiều Cụ thể, cho Ω = (0, L) ⊂ R, kí hiệu Q = Ω × [0, T ] với T > cho trước S = ∂Ω × [0, T ] Cho hàm a(x, t), b(x, t) ∈ L2 (Q) Xét toán giá trị ban đầu ut − auxx + bu = f (x, t), (x, t) ∈ Q, u(x, 0) = v(x), x ∈ Ω (0.1) Bài tốn đặt từ thơng tin ta quan sát nghiệm thời điểm cuối Cu = u(x, T ) = z(x) xác định lại điều kiện ban đầu v(x) Bài toán xác định điều kiện ban đầu tốn khó có tính đặt khơng chỉnh cao Một tốn gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn tất điều kiện: i) Tồn nghiệm; ii) Nghiệm nhất; iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện tốn Nếu điều kiện khơng thỏa mãn tốn gọi đặt khơng chỉnh Bài tốn đặt khơng chỉnh thường gây c nhiều vấn đề nghiêm trọng làm cho nghiệm số cổ điển không ổn định, tức sai số nhỏ kiện đầu vào dẫn tới sai số lớn với nghiệm Ta xét ví dụ sau đây: Xét phương trình truyền nhiệt chiều với điều kiện biên Dirichlet sau x ∈ (0, π), ≤ t ≤ 1, ut (x, t) = uxx (x, t), (0.3) ≤ t ≤ 1, u(0, t) = u(π, t) = 0, (0.2) (0.4) u(x, 0) = v(x) ∈ L2 (0, π) Vấn đề đặt ta tìm lại điều kiện ban đầu v từ thông tin u(x, 1) = ξ(x) Sử dụng khai triển Fourier cho v, ta có biểu diễn sau v(x) = ∞ X (0.5) ϕn (x), x ∈ [0, π] n=1 q với ϕn(x) = π sin(nx) = Từ ta có u(x, t) = q Rπ π ∞ X v(τ ) sin(nτ )dτ e−n t ϕn (x) n=1 Do ξ ∈ L (0, π), ξ(x) = u(x, 1) = ∞ X e −n2 ϕn(x) = n=1 với ξn = q Rπ Do vậy, π ∞ X ξn ϕn(x) n=1 ξ(τ ) sin(nτ )dτ = ξ n e n , v(x) = r n = 1, 2, ∞ X n2 e ξn sin(nx) π n=1 (0.6) Với v ∈ L2 (0, π), ta phải có kvk2L2 (0,π) = ∞ X n=1 c e2n |ξn |2 < ∞ (0.7) Từ (0.6) (0.7), ta thấy toán xây dựng lại điều kiện ban đầu v từ ξ đặt không chỉnh: Trước tiên, nghiệm v tồn với hàm ξ mà hệ số Fourier ξn giảm nhanh n tiến tới ∞ (nhanh e−n ) Thứ hai, sai số nhỏ hệ số Fourier thứ n nhân lên với en Ví dụ có sai số 10−8 hệ số Fourier thứ ξ5 liệu ξ sinh sai số 103 điều kiện ban đầu v Nội dung luận văn trình bày chương: Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, nguồn gốc phương trình truyền nhiệt, phương trình truyền nhiệt chiều dạng tổng quát, toán thuận, phương pháp sai phân hữu hạn rời rạc toán thuận cách sử dụng lược đồ sai phân Crank-Nicolson Chương nghiên cứu toán xác định điều kiện ban đầu cách sử dụng phương pháp biến phân kết hợp với hiệu chỉnh Tikhonov, cơng thức gradient phiếm hàm mục tiêu tính thơng qua nghiệm tốn liên hợp trường hợp liên tục (Định lý 2.1) trường hợp rời rạc (Định lý 2.2) Trong chương này, chúng tơi trình bày lại phương pháp gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu Bên cạnh việc chứng minh số kết lý thuyết cho toán, để nghiên cứu toán dạng rời rạc, luận văn sử dụng phương pháp sai phân rời rạc hóa tốn thuận, tốn biến phân giải phương pháp lặp gradient liên hợp Một số thử nghiệm số trình bày luận văn nhằm minh họa cho tính hữu hiệu thuật tốn đề xuất Quá trình thực luận văn tốt nghiệp thạc sĩ giai đoạn quan trọng quãng đời học viên Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ tiền đề nhằm trang bị cho chúng em kỹ nghiên cứu, kiến thức quý báu đường giảng dạy Trước hết, chúng em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đặc biệt Thầy, Cơ c Khoa Tốn - Tin tận tình dạy trang bị cho em kiến thức cần thiết suốt thời gian ngồi ghế giảng đường, làm tảng cho em hoàn thành luận văn Em xin trân trọng cảm ơn cô Nguyễn Thị Ngọc Oanh trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trình thực đề tài Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, tập thể lớp K12A6, người sẵn sàng sẻ chia giúp đỡ học tập sống Mong rằng, mãi gắn bó với Một lần em xin gửi đến thầy cô, bạn bè lời cảm ơn chân thành tốt đẹp nhất! Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 30 tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Thúy Hoa c Chương Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức liên quan tới phương trình truyền nhiệt chiều nguồn gốc phương trình truyền nhiệt, tốn thuận, số không gian hàm bản, định nghĩa nghiệm yếu phương pháp sai phân rời rạc toán thơng qua lược đồ Crank-Nicolson 1.1 Nguồn gốc phương trình truyền nhiệt Phương trình truyền nhiệt đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, mô tả phân bố nhiệt (hay biến thiên nhiệt độ) miền cho trước theo thời gian Nhiệt (hay cịn gọi nhiệt) q trình trao đổi lượng hai điểm có nhiệt độ khác Năng lượng nhiệt tính theo cơng thức q = −k∇u, (1.1) q lượng nhiệt truyền tải đơn vị thời gian qua đơn vị thể tích, số dương k gọi hệ số truyền dẫn ∇u gradient nhiệt độ u Trong trường hợp chiều, phương trình (1.1) trở thành q = −kux , ux = ∂u ∂x c Trong số nghiên cứu, thay đổi ∆Q lượng bên vật chất liên quan tới thay đổi ∆u nhiệt độ thông qua công thức ∆Q = cρ∆u số c > 0, ρ > tương ứng nhiệt dung riêng mật độ khối lượng vật chất Nếu chọn nhiệt độ ban đầu ta có Q = cρu (1.2) Ta cụ thể hóa phương trình (1.1) (1.2) sau: Ký hiệu (x, t) tương ứng tọa độ khơng gian thời gian Xét hình chữ nhật R = {(ξ, τ ) : x − ∆x ≤ ξ ≤ x + ∆x t − ∆t ≤ τ ≤ t + ∆t} Khi đó, nhiệt độ thay đổi khoảng thời gian 2∆t miền 2∆x tính sau ZZ Z x+∆x ∂u {u(ξ, t + ∆t) − u(ξ, t − ∆t)}dξ = cρ dξdτ cρ ∂τ R x−∆x Năng lượng biên cho Z t+∆t ZZ ∂u ∂ u ∂u { (x + ∆x, τ ) − k (x − ∆x, τ )}dτ = k dξdτ ∂x ∂x t−∆t R ∂ξ Theo Định luật bảo tồn lượng, ta có ZZ (cρuτ − kuξξ )dξdτ = R với khoảng ∆x ∆t Do vậy, ta nhận cρut − kuxx = hay ut − κuxx = với κ = c−1 ρ−1 k Sử dụng công thức đổi biến τ = κt gán lại τ thành t ta nhận phương trình truyền nhiệt dạng cổ điển sau Lu = uxx − ut = c (1.3) ... T ) = z(x) xác định lại điều kiện ban đầu v(x) Bài toán xác định điều kiện ban đầu tốn khó có tính đặt khơng chỉnh cao Một toán gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn tất điều kiện: i) Tồn... sinh sai số 103 điều kiện ban đầu v Nội dung luận văn trình bày chương: Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, nguồn gốc phương trình truyền nhiệt, phương trình truyền nhiệt chiều dạng tổng... hay phần biên, Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu toán xác định điều kiện ban đầu từ quan sát nghiệm thời điểm cuối cho phương trình truyền nhiệt chiều Cụ thể, cho Ω = (0, L) ⊂ R, kí