TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 Môn Toán Khối BD Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian giao đề) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 ([.]
TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Mơn: Tốn Khối BD. Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x -1 có đồ thị ( C ) . x - 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( C ) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B thoả mãn OA = 4 OB Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x.cos x + sin x + = cos3x + cos x - 3cos x 2 Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình: ( x + 3)( x - ) = ( x - ) x -1 + ( x - 1) .7 x -5 ln 2e x - e x dx e 4e - + 1 Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ^ ( ABCD ) ; Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân : I = ị x x AB = SA = 3a; AD = 3a ,( a > 0 ) Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của AD,SC ; I là giao điểm của BM , AC .Chứng minh rằng mặt phẳng ( SBM ) vuông góc với mặt phẳng ( SAC ) và tính thể tích khối tứ diện ABIN Câu 6 (1,0 điểm) Chứng ming rằng với mọi số thực a, b, c , bất đẳng thức sau luôn được thoả mãn (a + ab + b )( b + bc + c )( c + ca + a ) ³ 3 ( a b + b c + c a )( ab + bc + ca 2 ) II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn. Câu 7.a (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC vng cân tại A ,phương trình BC :2 x - y - = 0 ,đường thẳng AC đi qua điểm M ( - 1;1 ) , điểm A có hồnh độ dương nằm trên đường thẳng D : x - y + = 0 Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC 2 2 Câu 8.a (1,0 đ iểm). Trong không gian toạ độ Oxyz ,cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) + ( y - ) + ( z - 3) = 9 và x - y - z - 2 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M ( 4;3; 4 ) ,song song = = - 3 2 với đường thẳng D và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . đường thẳng D : Câu 9.a (1,0 điểm).Tìm số phức z thoả mãn ( z + 1)(1 + i ) + z - 1 2 = z 1 - i B. Theo chương trình Nâng cao. Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,hãy viết phương trình các cạnh tam giác ABC ,biết trực tâm H (1; 0 ) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K ( 0; 2 ) , trung điểm cạnh AB M ( 3;1 ) x y - 2 z = và mặt Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : = 2 phẳng ( P ) : x - y + z - = 0 .Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M ( 3; - 1;1 ) nằm trong mặt phẳng ( P ) và hợp với d một góc 45 0 2 2 Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm phức 25 ( z 2 + ) + ( 25 z + ) = 0 HẾT Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN V LỚP 12 NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN: Tốn – Khối B+D HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn bản này gồm 06 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi Khảo sát. 3) Điểm tồn bài tính đến 0,25 điểm. (sau khi cộng điểm tồn bài, giữ ngun kết quả) II) Đáp án và thang điểm: Câu Đáp án Điểm Câu 1 (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x - 1 ( C ) x - 1 · Tập xác định: D = ¡ \{1} · Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' = -1 2 ( x - 1 ) < 0, "x Ỵ D 0.25 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -¥ ;1) (1; +¥ ) Cực trị: Khơng có · Giới hạn và tiệm cận. lim y = lim y =1timcnngang y =2 x đ-Ơ 0.25 xđ+Ơ lim- y = -Ơ lim+ y = +Ơ timcnng x =1 x đ1 xđ1 Ã Bngbinthiờn: x -Ơ y y +¥ 0.25 +¥ 2 -¥ 0.25 · Đồ thị . Học sinh tự vẽ 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B thoả mãn OA = 4 OB ỉ 1 Gọi M ỗ x0 2+ ữ ẻ ( C) , ( x0 ¹ 1 ) x 1 0 è ø 1 Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại M ( d ) : y = x - x 0 ) + 2 + 2 ( x 0 - 1 ( x0 - 1 ) ( d ) cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B thoả mãn OA = 4 OB Do nên tan A = OB 1 1 1 = Þ hệ số góc của ( d ) bằng hoặc - OA 4 4 Trang 1/6 0.25 D OAB vng tại O 0.25 Hệ số góc của ( d ) y ¢ ( x 0 ) = - ( x0 - 1) < 0 Þ - =2 ( x0 - 1 ) 1 é x 0 = -1 Ûê 4 ë x 0 = 3 0.25 5 13 Từ đó ta có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = - x + và y = - x + 4 4 Giải phương trình: sin x.cos x + sin x + = cos3x + cos x - 3cos x 0.25 Pt Û sin 2 x ( 2 cos x + 1 ) = (cos 3 x - cos x ) + (cos 2 x - 1 ) - ( 2 cos x + 1 ) 0.25 2 Û 3 sin 2 x ( 2 cos x + 1 ) = -4 sin x cos x - 2 sin x - ( 2 cos x + 1 ) 0.25 Û ( 2 cos x + 1 )( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 ) = 0 Câu 2 (1 điểm) 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 Û 3 sin 2 x - cos 2 x = -2 Û sin( 2 x - · Û x=- p 6 p ) = -1 6 + kp , ( k Ỵ Z ) 2 p Û x=± + k 2p , ( k Ỵ Z ) 3 p 2 p · Vậy phương trình có ba họ nghiệm : x = - + kp , x = ± + k 2p , ( k Ỵ Z ) 3 · 0,25 cos x + = Û cos x = - 0.25 2 Giải phương trình: ( x + 3)( x - ) = ( x - ) x -1 + ( x - 1) .7 x -5 2 Pt Û ( x - ) + ( x - 1) = ( x - ) x -1 + ( x - 1) .7 x - 5 ( )( ( ) 2 ) 0.25 Û x - x -1 - + ( x - 1) x - 5 - = 0 (*) Ta xét các trường hợp sau · Nếu x = 1, x = ± 5 ta thấy các giá trị này đều thoả mãn phương trình (* ) nên phương trình (* ) có các nghiệm x = 1, x = ± 5 0.25 · Nếu x ¹ 1, x ¹ ± 5 chia hai vế của phương trình (* ) cho ( x - 1) ( x 2 - ) ¹ 0 Câu 3 (1 điểm) 2 x -1 - x -5 - 1 ta được phương trình + = (** ) x -1 x 2 - 5 7t - 1 Xét hàm số f ( t ) = với t ¹ 0 t 7t - 1 + Nếu t > 0 7t - > Þ f ( t ) = > 0 t 7t - 1 + Nếu t 0 Vậy f ( t ) > 0, "t ¹ 0 t phương trình (** ) chính là f ( x - 1) + f ( x 2 - ) = 0 nên dễ thấy nó vơ nghiệm Vậy phương trình có đúng ba nghiệm là x = 1, x = ± 5 Câu 4 (1 điểm) ln Tính tích phân : I = ị ln : I= ò 2e x 3x -e x 0.25 2e x - e x dx e 4e - + 1 x x ln 2x e 4e - + 0.25 dx = ò 2e3 x - e2 x 4e 3x - 3e 2x dx Đặt + 1 ( 0.25 ) ( ) t = 4e3 x - 3e2 x Þ t = 4e3 x - 3e x Þ 2tdt = 2e3 x - e x dx Þ 2 e3 x - e 2 x dx = Trang 2/6 tdt 3 0.25 ì x = Þ t = icn ợ x = ln ị t = 9 9 9 tdt æ - ln 5 I= ị = ũỗ ữ dt = ( t - ln t+ 1 ) 1 = t + 1 è t + ø 3 - ln 5 Vậy I = 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ^ ( ABCD ) ; 0.25 0.25 AB = SA = 3a; AD = 3a ,( a > 0 ) Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của AD,SC ; I là giao điểm của BM , AC .Chứng minh rằng mặt phẳng ( SBM ) vng góc với mặt phẳng ( SAC ) và tính thể tích khối tứ diện ABIN Hình vẽ: 0.25 Câu 5 (1 điểm) uuur uuuur uuur uuur ỉ uuur uuur ư 1 AC.BM = AB + BC ỗ BA + AD ÷ = - AB + AD = -9a 2 + 3a 2 2 è ø Þ BM ^ AC , mà BM ^ SA Þ BM ^ ( SAC ) Þ ( SBM ) ^ ( SAC ) ( ( ) AC = AB + AD = 9a + 18a 2 = 3a, AI = 2 ) = 0 AB 2 = 3 a AC 2 a 2 Þ IC = AC - AI = 2 3 a , BI = IA.IC = a 6 Þ SDABI = IA. IB = 2 1 3 a Đặt h = d ( N , ( ABCD ) ) = d ( S , ( ABCD ) ) = SA = (do N là trung điểm SC ) 2 2 Câu 6 (1 điểm) 1 3a 3a 2 3a 3 2 Vậy VABIN = h. S DABI = × × = (đvtt) 3 2 4 Chứng ming rằng với mọi số thực a, b, c , bất đẳng thức sau luôn được thoả mãn (a 0.25 0.25 + ab + b )( b + bc + c )( c + ca + a ) ³ 3 ( a b + b c + c a )( ab + bc + ca 2 ) Sử dụng hai hằng đẳng thức sau 2 · ( a + ab + b 2 ) = 3 ( a + b ) + ( a - b ) · 0.25 ( a + ac + c )( b ) ( + bc + c = ab + ac + bc + 2c 0.25 2 ) + 3 c 2 ( a - b ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho ta 2 2 2 16.VT = é3 ( a + b ) + ( a - b ) ù éê( 2ab + ac + bc + 2c ) + 3 c 2 ( a - b ) ùú ë ûë û Trang 3/6 2 0.25 2 ³ é ( a + b ) ( 2ab + ac + bc + 2c 2 ) + 3 c ( a - b ) ù ë û 2 2 = 12 éë ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ùû , suy ra 3 éë( a 2b + b c + c a ) + ( ab + bc + ca 2 ) ùû 3 éë ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ùû VT ³ = 4 2 2 0.25 × 4 ( a b + b c + c a )( ab + bc + ca 2 ) = 3 ( a b + b c + c a )( ab + bc + ca 2 ) (đpcm) 0.25 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c , có ít nhất hai số bằng nhau. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC vng cân tại A ,phương trình BC :2 x - y - = 0 ,đường thẳng AC đi qua điểm M ( - 1;1 ) , điểm A có hồnh độ dương nằm ³ trên đường thẳng D : x - y + = 0 Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC uuur Vì A Ỵ D : x - y + = Þ A ( 4a - 6; a ) Þ MA = ( 4a - 5; a - 1 ) Câu 7a. (1 điểm) 0.25 Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên · ACB = 45 0 uuur r a - + ( a - 1 ) 1 Do đó cos MA, u BC = Û = 2 ( 4a - ) + ( a - 1) 5 2 ( 0.25 ) é a = ® A ( 2; 2 ) ê Û 13a - 42a + 32 = 0 Û 16 ổ 14 16ử a= đ A ỗ - ữ (loai ) ờở 13 ố 13 13ứ ị AC º AM : x - y + = 0, AB : x + y - = 0 Từ đó ta có B ( 3; - 1) , C ( 5;3 ) 2 2 0.25 0.25 2 Trong không gian toạ độ Oxyz ,cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) + ( y - ) + ( z - 3) = 9 và đường x - y - z - 2 = = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M ( 4;3; 4 ) ,song - 3 2 song với đường thẳng D và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . r Gọi vtpt : nP = ( a; b; c ) a + b + c 2 > Þ ( P ) : a ( x - ) + b ( y - 3) + c ( z - ) = 0 0.25 r vtcp của đường thẳng D uD = ( -3; 2; 2 ) , ( S ) có tâm I (1; 2;3 ) , bán kính R = 3 thẳng D : ( Câu 8a. (1 điểm) ) r r r r 2b + 2 c Do ( P ) / / D Þ nP ^ uD Þ nP .u D = Þ -3a + 2b + 2c = Þ a = (1 ) 3 -3 a - b - c Mặt khác ( P ) tiếp xúc ( S ) Û d ( I , ( P ) ) = R Û = ( 2 ) a + b 2 2 2 Từ (1) & ( ) Þ ( b + c ) é 2b - c = 0 ỉ 2b + 2 c ư 2 2 =ỗ ữ + b + c 2b - 5bc + 2c = 0 Û ê è 3 ø ë b - 2c = 0 + 2b - c = 0 chọn b = 1, c = Þ a = Þ ( P ) : x + y + z - 19 = 0 + b - 2c = 0 chọn b = 2, c = Þ a = Þ ( P ) : x + y + z - 18 = 0 ( Loại do chứa A ) Câu 9a. (1 điểm) z - 1 2 = z 1 - i z - 1 2 Đặt z = a + bi, ( a , b Ỵ ¡ ) Khi đó ( z + 1)(1 + i ) + = z 1 - i 0.25 0.25 0.25 Tìm số phức z thoả mãn ( z + 1)(1 + i ) + Trang 4/6 0.25 Û ( a + + bi )(1 + i ) + ( a - - bi )(1 + i ) = a + b 2 2 Û 3a + - b + ( 3a + + b ) i = 2 ( a + b 2 ) 0.25 é a = Þ b = -1 2 2 ïì3a + - b = 2 ( a + b ) ì10a + 3a = 0 ê Ûí Ûí Û ê a = - Þ b = - 1 ïỵ3a + + b = 0 ỵb = -1 - 3 a 10 10 ë 0.25 1 - × i 0.25 10 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,hãy viết phương trình các cạnh tam giác ABC ,biết trực Vậy z = -i , z = - tâm H (1; 0 ) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K ( 0; 2 ) , trung điểm cạnh AB M ( 3;1 ) uuur Đường thẳng AC ^ HK Þ HK = ( -1; 2 ) là vtpt của AC và đi qua K 0.25 Þ ( AC ) : x - y + = , ( BK ) : x + y - = 0 Do A Ỵ AC , B Ỵ BK nên giả sử A ( a - 4; a ) , B ( b; - 2 b ) Mặt khác M là trung Câu 7b. (1 điểm) ì2a - + b = 6 ìïa = đ A( 4) dimca ABị ịớ ợa + - 2b= ùợb = đ B ( 2; -2 ) 0.25 ìïQua A ( 4; 4 ) Þ ( AB ) : x - y - = 0 r uuur r ïỵ vtcp u / / AB = ( -2; -6 ) Þ u = (1;3 ) ( AB ) í · ìïQua B ( 2; -2 ) Þ ( BC ) : x + y + = 0 r uuur ïỵvtpt n = HA = ( 3; 4 ) ( BC ) í 0.25 0.25 x y - 2 z Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 2 ( P ) : x - y + z - = 0 .Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M ( 3; - 1;1 ) nằm trong mặt phẳng ( P ) và hợp với d một góc 45 0 r r Vtpt của mặt phẳng ( P ) n = (1; -1;1 ) , vtcp của d u d = (1; 2; 2 ) r Gọi vtcp của D uD = ( a; b; c ) ( a + b + c 2 > 0 ) r r r r Do D Ỵ ( P ) Þ uD ^ nP Û u D nP = Û a - b + c = Û b = a + c (1 ) Câu 8b. (1 điểm) r r D hợp với d một góc 450 Þ cos 450 = cos ( uD ,ud ) = (1) ắắđ ( 3a + 4c ) = ( 2a + 2ac + 2c 2 ) Û 14c 2 a + 2b + 2 c 3 a + b + c 2 0.25 + 30ac = Þ c = Ú 14c + 30a = 0 ì x = 3 + t ï · c = 0 chọn a = b = Þ D1 : í y = -1 + t ï z = 1 ỵ 0.25 ì x = + 7 t ï · 14c + 30a = Û 7c + 15a = 0 chọn a = 7, c = -15, b = -8 Þ D1 : í y = -1 - 8 t ï z = - 15 t ỵ Câu 9b. 2 2 Giải phương trình nghiệm phức 25 ( z 2 + ) + ( 25 z + ) = 0 Trang 5/6 0.25 0.25 (1 điểm) 2 2 Phương trình Û ( 25 z 2 + 10 ) - ( 50iz + 12i ) = 0 Û ( 25 z + 50iz + 10 + 12i )( 25 z 2 - 50iz + 10 - 12i ) = 0 2 é 25 z 2 + 50iz + 10 + 12i = 0 é( z + 5i ) = (1 - 6 i ) Ûê Ûê ê( z - 5i ) = (1 + 6 i ) 2 25 z 50 iz + 10 12 i = 0 ë ë é5 z + 5i = - 6i Ú z + 5i = -1 + 6 i Û ê ë 5 z - 5i = + 6i Ú z + 5i = -1 - 6 i - 11i -1 + i é Ú z 2 = ê z1 = 5 phương trình có bốn nghiệm như trên. Û ê ê z = + 11i Ú z = -1 - i 4 êë 5 Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl Trang 6/6 0.25 0.25 0.25 0.25 ... hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm? ?thi? ?Khảo sát. 3) Điểm tồn bài tính đến 0,25 điểm. (sau khi cộng điểm tồn bài, giữ ngun kết quả) II)? ?Đáp? ?án? ?và thang điểm: Câu Đáp? ?án? ? Điểm Câu 1 (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến? ?thi? ?n và vẽ đồ thị hàm số... 1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong? ?đáp? ?án? ? nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu? ?có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo khơng làm sai lệch ... Tập xác định: D = ¡ \{1} · Sự biến? ?thi? ?n: Chiều biến? ?thi? ?n: y '' = -1 2 ( x - 1 ) < 0, "x Ỵ D 0.25 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -¥ ;1) (1; +¥ ) Cực trị: Khơng? ?có? ? · Giới hạn và tiệm cận.