Thuvienhoclieu com cac dang bai tap trac nghiem gioi han day so

thuvienhoclieu.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ I LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Các giới hạn đặc biệt lim k 0 n a với k nguyên dương n q 1 b limq 0 c Nếu un c ( c số) lim un lim c c k d lim n  với k nguyên dương n e lim q  q  Tổng cấp số nhận lùi vô hạn q 1 Cấp số nhân vô hạn (un ) có cơng bội q với : Các định lí giới hạn a) Nếu lim un a;lim b Khi đó: u S n u1  u2   un   1 q lim(un  ) lim un  lim a  b lim(un  ) lim un  lim a  b lim un a  (b 0) b lim un  a b) Nếu un 0, n lim un a a 0 c) lim un  a lim un  a lim un  a lim un  a Định lí a) Nếu lim un a;limv n  lim un 0 un  lim u  a  limv  v  v n n n n n b) Nếu ; với c) Nếu lim un ;limv n b  lim un  lim un  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính giới hạn dãy số đa thức phân thức hữu tỉ P ( n) un  Q( n) (trong P  n  Q  n  là đa thức n ) Khi lim k k P  n Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho n với n lũy thừa có số mũ cao Q  n k , sau áp dụng định lí giới hạn hữu hạn (un ) đa thức bậc k , ta đặt n làm nhân tử chung, sau sử dụng định lí giới hạn Câu 1: lim Tính A 2n3  3n  2  n4 B  C không tồn Lời giải D   Chọn A thuvienhoclieu.com Trang Câu 2: thuvienhoclieu.com   2n3  3n  n n lim  lim 2 n 1 0 n = 1 Tính lim( 2n  3n  1) B  A  C   Lời giải D không tồn Chọn C lim( n  3n  1) limn (   Câu 3:  )   n n3 (2n  1)(3n  2)3 lim  2n  n  Tính A   B  C  27 Lời giải D -3 Chọn A Chia tử mẫu cho n ta có:  2  2n  (3n  2)3   3   (2n  1)(3n  2) n  n  n lim lim n lim  5 1 1  2n  4n   2n  4n   2    n  n n  n n  2  n2       n  n  lim      2   n n    2    3  n  n  lim   27    n n5 Vì lim n  nên Dạng 2: Tính giới hạn dãy số có chứa k Hướng 1: Đánh giá bậc tử mẫu Sau đó, chia tử mẫu cho n với k số mũ lớn P (n) Q(n) (hoặc rút n k lũy thừa lớn P ( n) Q(n) làm nhân tử) Áp dụng định lí giới hạn để tìm giới hạn Hướng 2: Nhân với biểu thức liên hợp lim Câu 4: Tìm 2n   n A n B C  Lời giải D Chọn C lim 2n   n 2n   n lim n n n = n      1   n  = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 5:   lim n  n 4n  Tính A  B   C Lời giải D Chọn A  n n2  lim n   lim n  n 4n   = Vì lim n         lim     1  n n   Chú ý: Có thể kết luận kết giới hạn sau:   1) lim  2) n  n   n  lim  lim  n  4n  n  Tính n  3n   n  Câu 6: A  B   C Lời giải D  Chọn A  lim  n  4n  n  lim lim = Câu 7:  4n   lim n  n  4n  n  lim 8n3  3n  n  4n  n   n  4n  n n  4n  n   4  1 n = -  bao nhiêu? A  C  Lời giải B   D Chọn B  lim n  8n3  3n   lim    Vì lim Câu 8: Tính A  8   lim n    = 8    n n3    =      n n3  lim n  4n   2n n  4n   n B   C Lời giải D Chọn D thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com n   2n n lim 2 4n   2n n  4n   n lim n  4n   n = n không xác định rơi vào giới hạn vơ định dạng 4n   2n lim n  4n   n = lim  n  4n   n  4n  1  = lim ( 4n   2n)( 4n   2n)( n  4n   n) ( n  4n   n)( 4n   2n)( n  4n   n)  4n   2n   1     1 n n n  lim         2 n  n   = =0 Dạng 3: Tính giới hạn dãy số chứa lũy thừa P  n  un   n n n P  n Q  n Q  n (trong biểu thức chứa hàm mũ a , b , c n Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho a a số lớn Câu 9: lim Tìm A  3n 1  3n B  D  C Lời giải Chọn D n  1   3 lim   n  n 1 n  1 1  3.3 lim lim   1  3  3n =  3n = Câu 10: Tìm: lim 9n  3.4n 6.7n  8n A B  C Lời giải  D   Chọn B lim 9n  3.4n 6.7 n  8n = n   4    3.       lim     n  n   6.            thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com n n n n n     4  7  8   7 8 lim      lim        lim 6.              = 0;     >  Vì = > 0; Câu 11: lim  5n  n  B A   C  Lời giải D Chọn C   n   5        5    Ta có   n  lim      1    5  n lim5    Vì     n lim n2 Câu 12: n n n A   B  C Lời giải D Chọn C Ta có     n  n  n  1     n n  n  1 lim  n2 2n = Nên un  n Câu 13: Tính tổng dãy số A B  TIẾT 51 n  1   3 lim   n 1   1  3 C Lời giải D Chọn C 1 u  ; q  1 4 Ta có: un cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1 u S n      n    4 4 1 q 1 Nên tổng số hạng dãy số CHÚ Ý: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH Quy ước: Trong máy tính khơng có biến n nên ta ghi x thay cho n Ghi nhớ cách nhập giá trị x  x   ta nhập x 9999999999 ( 10 số )  x    ta nhập x  9999999999 ( 10 số ) lim  un   Đề yêu cầu tính ta hiểu rằng, biến n    Ghi nhớ cách hiển thị kết n  Gặp số c.10 (trong  số nguyên âm, thông thường   10,   12, ) MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com  12 15.10 Ví dụ 1: số nhỏ gần 10 20  Gặp số c.10 , c.10 , đọc (dấu c) nhân vơ cực với c số (chú ý lớn 10) 10 10 Ví dụ 2:  5.10 âm vô cực, ghi  ;5.10 dương vô cực, ghi  lim n 1 Ví dụ Tính giới hạn sau: Lời giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC, hình xuất hình bên Ta hiểu “Bạn muốn gán x bao nhiêu?”  Nhập: x 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: 1.10  10 giá trị rất nhỏ gần Vậy Ví dụ Tính giới hạn sau:   1 lim lim 0 n 1 n n 5 Lời giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập x 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com  11 Kết quả:  9, 999999996.10 giá trị nhỏ gần Vậy   1 lim n n 5 0   1 lim n cos n n 1 Ví dụ Tính giới hạn sau:   1 n cos n n  , sau CALC máy báo: MATH ERROR  Nếu ta nhập Lời giải u vn Vận dụng định lí n với n lim 0 lim un 0   1 n cos n cos n   n 1 n 1 n 1 Ta có đánh giá sau: Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau: , ta cần ghi n  vào máy tính tính  Sau bấm CALC  Nhập: x 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: 1.10  20 Ví dụ Tính giới hạn sau giá trị rất nhỏ gần Vậy   1 lim   1 lim   1 n cos n 0 n 1 n 2n  n n  Nếu ta nhập  , sau CALC máy báo: MATH ERROR hàm số mũ tăng nhanh nên khơng tính máy tính Trong trường hợp ta xử lý sau: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Bấm CALC  Nhâp: x 100 , sau bấm “=”, ta kết quả:  31 Kết quả: 7,888609052.10 giá trị rất nhỏ gần   1 lim n 0 2n  Vậy NHẬN XÉT: Qua ví dụ trên, phần nfao bạn đọc hiểu cách sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải tốn dãy số có giới hạn Có tốn sử dụng máy tính nhập lệnh CALC x 9999999999 ln kết quả, có tốn khơng ngay, cần vận dụng linh hoạt cách đánh đổi cách bấm máy để kết tốn Qua đây, địi hỏi cần có kiến thức chắn định nghĩa giới hạn dãy số để vận dụng làm tập cho tốt BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu lim  n3  2n  1 A B C   Lời giải D  Chọn D 1  n3  2n  n3      n n  Ta có: 1  lim     1  lim  n3  2n  1   n n  Vì lim n  nên theo quy tắc 2, Câu lim  5n  n  1 A  B   C Lời giải D  Chọn B   5n  n  n      n n   Ta có thuvienhoclieu.com Trang Câu thuvienhoclieu.com   lim        lim  5n  n  1   n n   lim n  Vì nên (theo quy tắc 2) k Tổng quát: Cho số nguyên dương lim  ak n k  ak  1n k    a1 n  a0   a) ak  lim  ak n k  ak  1n k    a1 n  a0    b) ak  lim  n3  2n 1  lim  5n  n  1   Chẳng hạn: a3 1  ; a2   5n  3n  u  lim un , với n n2 bằng: A B C D  Lời giải Chọn B Câu  5n 3n    lim un lim     lim     5 n n  n n    n Ta có: 2n  3n  n  u  n lim un , với n3  n  A  B C Lời giải D Chọn C 3 Chia tử mẫu phân thức cho n ( n lũy thừa bậc cao n phân thức), ta 2   n n n un  5   7 lim      2 lim     1 1  n n n    n n  0 nên n n được: Vì 2n  3n  n  lim  2 n3  n  Câu Giới hạn dãy số A  un  , với B un  n3  2n  n  3n3  5n  C  Lời giải D Chọn B Câu 4 Chia tử mẫu phân thức cho n ( n bậc cao n phân thức), ta  3 n  2n  n n n  0 lim un lim lim 3 n  3n  5n  1   n n n 3n  2n  u  n u   2n  n , Giới hạn dãy số n với A B C  D Lời giải Chọn C thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 2 n n Chia tử mẫu cho ( lũy thừa bậc cao n mẫu thức), ta 3n   3n3  2n  n n un    3n  2n  n lim un lim    2   n Vậy n Câu   1 lim n  n  1 A  B D C  Lời giải Chọn D n Ta có Câu   1 n  n  1 n 1    n  n  1 n.n n u Cho dãy số  n   un  A lim un 1   1 0 lim lim 0 n  n  1 n mà nên suy 1 2 u1 1, un 1   un   2 un  xác định với n 1 Tìm giới hạn B lim un  C lim un  D lim un  Lời giải Chọn C Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh Đề không cho biết dãy số  un  un  với n có giới hạn hữu hạn hay không, nhiên đáp án đề cho giới hạn hữu hạn Do khẳng định dãy số  un  có giới hạn hữu hạn Đặt lim un L 0 1 2 lim un 1 lim  un   2 un  Hay 1 2 L   L    L   L2 2  L  2 L L Vậy lim un  Câu (loại trường hợp L  ) Vậy lim un  1 S 1     Tổng bằng: A Chọn B B C D Lời giải S tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 1 q thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com S 2 1 Do   1 lim     1.3 3.5 2n  1  2n  1    Câu 10 Tính bằng: A Chọn C Ta có: C B 1 D Lời giải 1 1 1 1  1             1  1.3 3.5 n  n 1   n 1   2n  1  2n  1  3   1 1  lim     lim    1.3 3.5 n  n  2 n          Vậy lim u  n Câu 11 Biết Chọn mệnh đề mệnh đề sau un  1 u 1 u 1 lim  lim n2 0 lim n2  u  3 u  u  5 n n n A B C lim D un   3un2  Lời giải Chọn B 1  un  un un2  1 3un2   lim 0 lim 0 un Vì lim un  nên un un Ta có: , lim Vậy un   0   0 3un2   Câu 12  2n  1  n  1 lim  n  1  2n  1 A bao nhiêu? B C Lời giải D  Chọn B Bậc tử mẫu thức nên dãy có giới hạn hữu hạn Hệ số n tử 2 4 , hệ số n mẫu 1.2 2 nên giới hạn Câu 13 Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn  ? n  3n3  2n  3n n3  2n  lim lim lim n2  n n3  3n n  2n A C B Lời giải D lim n2  n  1  2n Chọn A thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com n  3n  n2  n Phân thức có bậc tử thức cao bậc mẫu thức, đồng thời hệ số lũy thừa bậc cao tử thức hệ số lũy thừa bậc cao mẫu thức dương nên suy giới hạn dãy số tương ứng  n3  2n  1  (Phân thức n  2n có bậc tử bậc mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng Phân 2n  3n thức n  3n có bậc tử thấp bậc mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng n2  n 1 Phân thức  2n có bậc tử lớn bậc mẫu hệ số lũy thừa bậc cao tử hệ số lũy thừa bậc cao mẫu trái dấu nên giới hạn dãy số tương ứng   ) Câu 14 lim  n2  n 1  n3  3n  A  bằng: B C  D   Lời giải Chọn A lim Câu 15  n2  n 1  lim  3.2 n 1  5.3n  n  A    n3  3n  lim   bằng: B     n  n 1  n  n  C n3  3n      D  Lời giải Chọn A n  n  2 lim  3.2 n 1  5.3n  n  3n       n       3  thuvienhoclieu.com Trang 12