Tài liệu ôn thi cấp tốc môn toán học

ðiều kiện để phương trình cĩ nghiệm trong khoảng a; b a ðịnh lý 1 Hàm số fx liên tục trên [a; b] thỏa fa.fb< thì phương trình fx = 0 cĩ nghiệm trong a; b ngược lại khơng đúng.. Hệ phươ

Trang 1

ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009

Cho phương trình bậc hai ax2 +bx+ =c 0 (a ≠0) (3) cĩ ∆ =b2−4ac

1) ∆ < : (3) vơ nghiệm 0 2) ∆ = : (3) cĩ nghiệm kép 0 x b

ðịnh lý Vi–et (thuận và đảo)

1) Cho phương trình ax2+bx+ = cĩ hai nghiệm c 0 x , x thì 1 2 1 2

1 2

b

S x x

ac

Bước 1 Nhẩm 1 nghiệm x = α của (4) (bấm máy tính)

Bước 2 Chia ax3 +bx2 +cx+ cho ( x − α ) (dùng sơ đồ Horner), đưa (4) về phương trình tích: d

Trang 2

7.2 Phương trình bậc bốn đặc biệt

a) Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 (a≠0) (5)

Phương pháp giải: ðặt t = x2, t≥ (5) ⇔ at0 2

+ bt + c = 0

b) Phương trình cĩ dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + c = b + d (6)

Phương pháp giải: ðặt t = (x + a)(x + c), đưa (6) về phương trình bậc 2 theo t

Bước 1 Lập trục xét dấu chung cho P(x) và Q(x)

Bước 2 Dựa vào trục xét dấu để kết luận nghiệm

9 ðiều kiện để phương trình cĩ nghiệm trong khoảng (a; b)

a) ðịnh lý 1

Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thỏa f(a).f(b)< thì phương trình f(x) = 0 cĩ nghiệm trong (a; b) (ngược lại khơng đúng) 0

b) ðịnh lý 2

Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và cĩ f (x)/ > (hoặc 0 f (x)/ < ) trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x)0 = cĩ khơng 0

quá 1 nghiệm trong (a, b)

II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ

Trang 3

a = a

2 Hàm số logarit y = log a x (0< ≠a 1): y = log a x ⇔ x = a y

1) Miền xác định D=(0;+∞) 2) Miền giá trị G = ℝ3) 0 < a < 1: Hàm nghịch biến trên D

Một số cơng thức cần nhớ (giả sử các điều kiện được thỏa)

1) alog x a = ; x 2) eln x = ; x 3) alog c b =clog a b ; 4) log xa 2n =2n log xa ;

log a

c

log blog b

log a

= ; 8) log b.log ca b =log ca ;

Trang 4

c b

2 2

a cD

2) D=0, Dx ≠ hoặc 0 Dy ≠ : Hệ phương trình vơ nghiệm 0

3) D = Dx = Dy = 0: Hệ cĩ vơ số nghiệm thỏa a1x + b1y = c1 hoặc a2x + b2y = c2

1 Hệ phương trình đẳng cấp

Phương pháp chung

1) Nhận xét y = 0 cĩ thỏa hệ phương trình khơng, nếu cĩ tìm x và thu được nghiệm

2) Với y ≠ , đặt x0 =ty thay vào hệ phương trình giải tìm t, y và x

3 Hệ phương trình đối xứng loại II

a Dạng 1 (đổi vị trí x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia)

Cách 2 (nếu cách 1 khơng thực hiện được)

Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ mới tương đương gồm hai phương trình tích (thơng thường tương đương với 4

4 Hệ phương trình chứa mũ – logarit và dạng khác

Tùy từng trường hợp cụ thể chọn phương pháp thích hợp (thường dùng phương pháp thế)

≥ ðẳng thức xảy ra khi a = b

Trang 5

Mỗi biểu thức dạng a+bi, trong đĩ a, b ∈ ℝ , i2 = − được gọi là một số phức 1

ðối với số phức z= +a bi, ta nĩi a là phần thực, b là phần ảo của z

Tập hợp các số phức ký hiệu là ℂ={a+bi a, b∈ ℝ, i2 = −1}

b) Số phức bằng nhau

a+bi = +c di ⇔a = và c b =d

c) Biểu diễn hình học số phức

Mỗi số phức z= +a bi hồn tồn

được xác bởi một cặp số thực (a; b)

ðiểm M(a; b) trong hệ tọa độ vuơng gĩc

Oxy được gọi là điểm biểu diễn số phức

z= +a bi

d) Mơđun của số phức

Giả sử số phức z= +a bi được biễu

diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng

1) Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn

hai số phức liên hợp đối xứng với nhau

qua trục Ox

2) z= +a bi ⇒ = −z a bi ⇒ = +z a bi hay z=z

3) z = a2 + −( b)2 = a2 +b2 = z

f) Các phép tính cơ bản

1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; 4) z+ =z (a+bi)+(a−bi)=2a;

i) Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 = −1 trong kết quả nhận được

ii) Phép cộng và phép nhân các số phức cĩ tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực

iii) Trong thực hành, để tính thương c di

a bi

++ , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a+bi 4i) Số thực a âm cĩ hai căn bậc hai là ±i a

g) Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a, b, c ∈ℝ , a≠0 Biệt số của phương trình là ∆ =b2−4ac

a) Khi ∆ = 0, phương trình cĩ một nghiệm thực b

x2a

= −

Trang 6

b) Khi ∆ > , phương trình cĩ hai nghiệm thực phân biệt xác định bởi cơng thức 0 x1,2 b

2 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

a) Dạng lượng giác của số phức

i) Cho số phức z khác 0 cĩ điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M Số đo (radian) của gĩc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối

OM được gọi là một acgumen của z

ii) Cho số phức z cĩ mođun r và acgumen là φ thì z = r(cosφ + isinφ) được gọi là dạng lượng giác của z

b) Nhân và chia hai số phức

Cho hai số phức z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r’(cosφ’ + isinφ’), ta cĩ:

zz’ = r.r’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)] và z ' r '

[cos( ' ) i sin( ' )]

z = r ϕ − ϕ + ϕ − ϕ (r > 0)

c) Cơng thức Moivre: zn =r (cos nn ϕ +i sin n )ϕ

d) Căn bậc hai của số phức

Số phức z dưới dạng lượng giác (r > 0) cĩ hai căn bậc hai là: r cos i sin

I CUNG VÀ GĨC – CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Quan hệ giữa độ và radial (rad)

0180

1 rad, 1 rad180

3 Biểu diễn cung – gĩc lượng giác

Nếu cung (hoặc gĩc) lượng giác AM cĩ số đo là k2

4 Bảng giá trị lượng giác của cung (gĩc) đặc biệt

2

22

5.1 Cung (gĩc) đối nhau

1) cos( x)− = cos x; 2) sin( x)− = −sin x; 3) tan( x)− = −tan x; 4) cot( x)− = −cot x

5.4 Cung (gĩc) hơn kém nhau π

1) cos(x+ π = −) cos x; 2) sin(x+ π = −) sin x; 3) tan(x+ π =) tan x; 4) cot(x+ π =) cot x

Trang 7

5.5 Cung (gĩc) hơn kém nhau

2π

8 Cơng thức nhân đơi

1) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x; 2) sin2x = 2sinxcosx; 3)

2

2 tan xtan 2x

3 tan x tan xtan 3x

=

2 2

5) sin x+cos x = 2 sin x( + π/ 4)= 2 cos x( − π/ 4);

6) sin x−cos x= 2 sin x( − π/ 4)= − 2 cos x( + π/ 4)

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản

= − ⇔ = − + π ∈Z

Trang 8

2 Các dạng phương trình lượng giác

2.1 Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác

1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0

3) a.tan2x + b.tanx + c = 0 4) a.cot2x + b.cotx + c = 0 Phương pháp giải tốn

Bước 1 ðặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tanx, t = cotx) và điều kiện của t (nếu cĩ)

Bước 2 ðưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0

Chú ý

Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường

trịn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu cĩ)

2.2 Dạng bậc nhất theo sinx và cosx

asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0)

Phương pháp giải tốn

Cách 1 Chia hai vế (*) cho a và đặt b

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)

≠ + π , chia hai vế của (*) cho cos2x: (*) ⇔ atan2x + btanx + c = 0

Cách 2 Dùng cơng thức hạ bậc và nhân đơi, ta đưa (*) về bậc nhất theo sin2x và cos2x

b) ðẳng cấp bậc cao (giải tương tự)

2.4 Dạng đối xứng đối với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)

Bước 1 ðặt t = sinx + cosx = 2 sin x

Khơng cĩ cách giải tổng quát, tùy từng bài tốn cụ thể ta dùng cơng thức biến đổi để đưa về các dạng đã biết cách giải

III GIẢI TỐN TRONG TAM GIÁC

1 Liên hệ các gĩc trong tam giác ABC

2 Các định lý trong tam giác ABC Trong ∆ABC, ta ký hiệu:

1) a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện các gĩc A, B, C

2) R, r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp

3) a b c

p

2

+ +

= là nửa chu vi ∆ABC

4) ma, mb, mc lần lượt là độ dài các trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C

5) ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao xuất phát từ các

đỉnh A, B, C

6) S là diện tích của ∆ABC

Trang 9

3 Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến

Chú ý

ðồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ ðồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

II ðẠO HÀM – VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

2 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp (hàm số được cho bởi 1 cơng thức)

ðạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản ðạo hàm của hàm số hợp u = u(x)

1) ( )/

1

xα = α.xα−

2) / 2

Trang 10

u.ln a

=

3 Vi phân

/df(x)=f (x)dx hay dy =y dx/

III HÀM SỐ ðƠN ðIỆU – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

+ , các hàm số cịn lại (bậc 3, bậc 4, bậc 2/1) ta dùng kết quả sau:

f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) ⇔ f (x)/ ≥ ∀ ∈0 x (a; b)

f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) ⇔f (x)/ ≤ ∀ ∈0 x (a; b)

2 Cực trị của hàm số

ðịnh lý 1 Cho y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa x0 Nếu f(x) đạt cực trị tại x0 và cĩ đạo hàm tại x0 thì f (x )/ 0 = 0

Chú ý

a) Hàm số cĩ thể đạt cực trị tại x0 nhưng khơng cĩ đạo hàm tại x0

b) Hàm số cĩ f (x )/ 0 = nhưng cĩ thể khơng đạt cực trị tại x0 0

ðịnh lý 2 Cho hàm số f(x) cĩ đạo hàm trong khoảng chứa x0

a) Nếu f (x) đổi dấu từ + sang – tại / x=x0 thì f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu f (x) đổi dấu từ – sang + tại / x=x0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0

ðịnh lý 3 Cho hàm số f(x) cĩ đạo hàm đến cấp hai liên tục trong khoảng chứa x0

a) Nếu

/ 0 //

Bước 1 Chia y cho y ta được / y=(px+q)y/ + α + β (*) x

Bước 2 Thế tọa độ của A và B vào (*) ta cĩ: ( )

Trang 11

IV GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] ðể tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Giải phương trình f (x)/ = (tìm điểm tới hạn) Giả sử cĩ n nghiệm x0 1; x2; …; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngồi đoạn [a; b])

b) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXð của hàm số trước khi làm bước 1

c) Cĩ thể đổi biến số t=t(x) và viết y=f(x)=g(t(x))

Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì:

2 Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên ℝ

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D=(a; b) hoặc D = ℝ ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Giải f (x)/ =0 (tìm điểm tới hạn) Giả sử cĩ n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc D (ta loại các nghiệm khơng thuộc D)

1) min f(x ), f(x ), , f(x ){ 1 2 n }<min L , L{ 1 2}⇒ fmin =min f(x ), f(x ), , f(x ){ 1 2 n } (1)

2) max f(x ), f(x ), , f(x ){ 1 2 n }>max L , L{ 1 2}⇒ fmax =max f(x ), f(x ), , f(x ){ 1 2 n } (2)

3) Nếu khơng thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số khơng đạt min (hoặc max)

Chú ý: Cĩ thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3

V TIẾP TUYẾN VỚI ðỒ THỊ HÀM SỐ

1 Tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc đường cong (C): y = f(x)

Bước 1 Kiểm tra điểm M thuộc đường cong (C)

Bước 2 Áp dụng cơng thức / ( )

y−y =f (x ) x−x

2 Tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) biết hệ số gĩc là k

Bước 1 Giải phương trình f (x)/ =k⇒x0 ⇒y0 ⇒M(x ; y )0 0 là tiếp điểm

Bước 2 Áp dụng cơng thức y−y0 =k x( −x0)

3 Tiếp tuyến đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ) với đường cong (C): y = f(x) (M cĩ thể thuộc (C))

Bước 1 Tiếp tuyến qua điểm M cĩ dạng (d): y = k(x – x0) + y0

Bước 2 (d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm: f(x)/ k(x x )0 y (1)0

Bước 3 Giải hệ phương trình trên bằng cách thế k từ (2) vào (1), giải x và thế trở lại (2) để tìm k

Cuối cùng thế k vào phương trình của (d)

VI ðỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI

1 ðồ thị hàm số y = f x (hàm số chẵn) ( )

Gọi (C) : y =f(x) và (C ) : y1 =f x( ) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Vẽ đồ thị (C) và chỉ giữ lại phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung

Bước 2 Lấy đối xứng phần đồ thị ở bước 1 qua trục tung ta được đồ thị (C1)

2 ðồ thị hàm số y = f(x)

Gọi (C) : y =f(x) và (C ) : y2 = f(x) ta thực hiện các bước sau:

Trang 12

a.b a b cos(a, b) cos(a, b)

Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) cĩ dạng Ax+By+C=0 A( 2 +B2 >0)

1) u = −( B; A) hoặc u =(B; A)− là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d)

2) n =(A; B) là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d)

3) (d) đi qua M (x ; y )0 0 0 và n =(A; B) thì (d): pt(d) : A(x−x )0 +B(y−y )0 =0

1.2 Phương trình tham số (ptts)

(d) đi qua M (x ; y )0 0 0 và cĩ VTCP u =(u ; u )1 2 thì 0 1

x x u tptts(d) : (t )

Trang 13

2 Một số tính chất

Cho hai đường thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0

2.1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1.2 Phương trình tổng quát (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0, R = a2 +b2−c

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn

Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta cĩ 3 vị trí tương đối sau đây:

1) (d) tiếp xúc (C) ⇔ d(I; (d)) = R

2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ d(I; (d)) < R

3) (d) khơng cắt (C) ⇔ d(I; (d)) > R

3 Vị trí tương đối của hai đường trịn

Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta cĩ 5 vị trí tương đối sau đây:

1) (C1) và (C2) ngồi nhau ⇔ I1I2 > R1 + R2

2) (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) ⇔ I1I2 = R1 + R2

3) (C1) cắt (C2) tại hai điểm phân biệt ⇔ R1−R2 <I I1 2<R1+R2

4) (C1) tiếp xúc trong với (C2) ⇔I I1 2 = R1−R2

5) (C1) và (C2) chứa nhau ⇔I I1 2 < R1−R2

IV CÁC ðƯỜNG CONIC

1 ELIP

1.1 ðịnh nghĩa

Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c và hằng số 2a (a > c > 0) Tập (E) là một elip nếu M∈(E)⇔MF1 +MF2 =2a

1) F1, F2 là 2 tiêu điểm 2) F1F2 = 2c là tiêu cự

3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 đỉnh của elip

1.3 Bán kính qua tiêu điểm

Cho điểm M thuộc

1.6 Tiếp tuyến với elip

ðiều kiện tiếp xúc

Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và elip

Trang 14

= −

3.4 ðiều kiện tiếp xúc: 2AC = B 2 p

3.5 Các dạng parapol khác: y 2 = – 2px, x 2 = 2py, x 2 = – 2py (p > 0)

Chương II CÁC TÍNH CHẤT VÀ CƠNG THỨC CƠ BẢN TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1 Quan hệ song song

Trong khơng gian cho các đường thẳng a, b, c và mặt phẳng (P), (Q), (R) Ta cĩ:

Trang 15

= = π (R: bán kính đáy, h: độ dài đường cao)

4) Thể tích khối trụ: V=Sh= πR h2 (R: bán kính đáy, h: độ dài đường cao)

1) Diện tích xung quanh hình nĩn: Sxq = πRl (R: bán kính đáy, l: độ dài đường sinh)

2) Diện tích tồn phần hình nĩn: Stp = πR(R+ (R: bán kính đáy, l: độ dài đường sinh) l)

3) Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = π2 Rh (R: bán kính đáy, h: độ dài đường cao)

4) Diện tích tồn phần hình trụ: Stp = π2 R(R+h) (R: bán kính đáy, h: độ dài đường cao)

5) Diện tích mặt cầu: S= π4 R2 (R: bán kính đáy)

Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG KHƠNG GIAN

Trang 16

16) Diện tích ∆ABC là ABC 1

và nằm trên ( )α (hoặc các mặt phẳng chứa a, b song song với ( )α ) là cặp

vector chỉ phương (VTCP) của ( )α

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( )α đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận n =(A; B; C) làm pháp vectơ thì phương trình tổng quát của ( )α :

α + + = (gọi là phương trình theo đoạn chắn)

4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng ( )α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và ( ) : A xβ 2 +B y2 +C z2 +D2 = cĩ các pháp vector tương 0ứng là nα =(A ; B ; C , n1 1 1) β =(A ; B ; C2 2 2)

Trang 17

III ðƯỜNG THẲNG

1 ðịnh nghĩa

Vector u ≠0 được gọi là vector chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu u

nằm trên d hoặc đường thẳng chứa u

song song với d

Chú ý

ðường thẳng trong khơng gian khơng cĩ pháp vector

2 Phương trình tham số của đường thẳng

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 cĩ VTCP là u , u1 2

Chú ý: Ta cĩ thể xét hệ phương trình của d1 và d2 để suy ra vị trí tương đối như sau:

1) Hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất ⇔ d1 cắt d2

2) Hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm ⇔ d1 trùng d2

3) Hệ phương trình vơ nghiệm và a , a1 2

cùng phương ⇔ d1 song song với d2

4) Hệ phương trình vơ nghiệm và a , a1 2

khơng cùng phương ⇔ d1 và d2 chéo nhau

6 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M và cĩ VTCP u

, mặt phẳng ( )α cĩ VTPT n

1) d cắt ( )α ⇔ u.n ≠0 (hoặc hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất)

2) d ( ) α ⇔ u.n =0 và M∉ α (hoặc hệ phương trình vơ nghiệm) ( )

3) d⊂ α ⇔( ) u.n =0 và M∈ α (hoặc hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm) ( )

Chú ý: Ta cĩ thể tìm hình chiếu H của M trên d và d(M, d) = MH

c) Khoảng cách giữa d 1 song song d 2(MMMM1111∈d , Md , Md , Md , M1111 2222 ∈dddd2222): d(d 1 , d 2 ) = d(M 1 , d 2 ) = d(M 2 , d 1 )

d) Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) song song (MMMM∈dddd : d[d, (P)] = d[M, (P)] )

e) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) song song (MMMM1111∈( )P , MP , MP , MP , M2222∈( )QQQQ ):

d[(P), (Q)] = d[M 1 , (Q)] = d[M 2 , (P)]

Trang 18

f) Khoảng cách giữa d 1 chéo d 2 : 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 Phương trình chính tắc của mặt cầu

Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R cĩ phương trình chính tắc là: (S): (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2

2 Phương trình tổng quát của mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a; b; c), bán kính R = a2 +b2+c2 − >d 0

3 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R ta cĩ:

a) Mặt phẳng khơng cắt mặt cầu ⇔ d I,(P) >R

b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu ⇔d I,(P) =R

c) Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường trịn ⇔d I,(P) <R

Chú ý: Khi I∈( )P thì giao tuyến là đường trịn lớn cĩ bán kính bằng bán kính mặt cầu

Cx

∫

1) ∫ adu=au+C, a∈ℝ2)

Cu

∫

Trang 19

2

1

dx tan x Ccos x = +

2

du

tan u Ccos u = +

Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (α β và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đĩ, với ; ) a, b∈ α β ta gọi ( ; )

hiệu F(b)−F(a) là tích phân từ a đến b của f(x)

Ký hiệu:

b

b a a

b af(x)≤ ∀ ∈0 x a; b ⇒∫ f(x)dx≤0; 7)

m≤f(x)≤M x∀ ∈ a; b⇒m(b−a)≤∫ f(x)dx≤M(b−a);

9) Nếu t biến thiên trên [a; b] thì

t aG(t)=∫ f(x)dx là một nguyên hàm của f(t) thỏa G(a) = 0

Trang 20

3 Các kết quả cần nhớ

1) Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a a

∫ ta thực hiện như sau:

Bước 1 ðặt u =f(x), dv=g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du =u (x)dx/ khơng

quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

b avdu

IV TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI

Giả sử cần tính tích phân

b a

I =∫ f(x) dx, ta thực hiện các bước sau:

S= ∫ f(x)−g(x) dx

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	653,17 KB