2021 xstk c4 uoc luong

Chương 4: Ước lượng tham sô Instructor: Nguyen Thi Bich Thuy Nội dung v Ước lượng điểm v Ước lượng khoảng § § § Khoảng tin cậy độ tin cậy Bài toán 1: ước lượng khoảng kỳ vọng phân phối chuẩn Bài toán 2: Ước lượng khoảng tỷ lệ §1 Ước lượng điểm 1.1 Bài toán ước lượng tham số v Cho BNN X có quy luật phân phối xác suất biết có giá trị θ chưa biết X ∼ F ( x,θ ) Ta phải xác định giá trị θ dựa mẫu quan sát Q trình gọi q trình ước lượng tham số Giá trị tìm trình ước lượng gọi ước lượng điểm θ kí hiệu θˆ v v v θˆ = g ( X ,…, X n ) Một ước lượng điểm gọi tốt gần với giá trị thực Mỗi ước lượng điểm ĐLNN Ví dụ Thống kê θˆ Giá trị thực θ n X = ∑ Xi n i=1 Kì vọng Phương sai D( X ) = σ n Sˆ = ∑ ( X i − X )2 = X − X n i=1 ( n n 2 2 S = ( X − X ) = X − X ∑ n − i=1 i n −1 X f = n E( X ) = µ ) Phương sai D( X ) = σ Xác suất p Ước lượng điểm 1.2 Các loại ước lượng v A) Ước lượng không chệch Hàm thống kê θˆ = g θ E(θˆ ) = θ - ( X ,…, X ) ƯL không chệch n n Ví dụ 1: thống kê X = ∑ X i ước lượng không n i=1 chệch kỳ vọng E( X ) = θ = µ - Ví dụ 2: Xác suất xuất kiện A P(A)= p Giả sử tiến hành dãy gồm n phép thử độc lập gọi X số lần xuất A Tần suất X ƯL không chệch f = xác suất p n Ví dụ 3: Phương sau mẫu chưa hiệu chỉnh ước lượng chệch D( X ) = σ n −1 Vì E Sˆ = σ ≠σ2 n v ( ) Phương sau mẫu hiệu chỉnh ước lượng không chệch phương sai S2 = ( ) ( ) n ˆ2 n S → E S2 = E Sˆ = σ n −1 n −1 b) Ước lượng vững v Định nghĩa: Thống kê θˆ = g ( X ,…, X n ) gọi ƯL vững θ với ε >0 nhỏ tuỳ ý cho trước v Kết n X = ∑ Xi n i=1 X f = n S lim P ⎡ θˆ − θ < ε ⎤ = ⎣ ⎦ n→∞ Là ƯL vững E( X ) = θ = µ Là ƯL vững của xác suất p ƯL vững phương sai D( X ) = σ c) Ước lượng hiệu v Thống kê θˆ gọi ước lượng hiệu θ ước lượng khơng chệch có phương sai bé v Kết n X = ∑ X i ƯL hiệu kì vọng E( X ) = θ = n i=1 X f = n ƯL hiệu xác suất p µ Kết Tham số 𝜇 𝜎! p Một ước lượng không chệch " X S! (S& ! ước lượng chệch ) f Ước lượng vững " X Ước lượng hiệu " X S! f f 10 §2 Ước lượng khoảng 11 2.1 Khoảng tin cậy độ tin cậy v a) Định nghĩa: Giả sử BNN gốc X có hàm phân phối X~F 𝑥, 𝜃 , 𝜃 tham số chưa biết Gọi a' , b) ước lượng điểm 𝜃 ˆ ⎤ gọi khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) ⎡ a, ˆ b ⎣ ⎦ với độ tin cậy P P a' ≤ 𝜃 ≤ b) = P; < P < v b) Nhận xét: Với xác suất P cho trước có vơ số khoảng tin cậy l = bˆ − aˆ l min; P max gọi độ rộng khoảng tin cậy 12 2.2 Bài toán 1: Ước lượng khoảng kỳ vọng phân phối chuẩn (trung bình tổng thể) v ( ) Giả sử X ∼ N µ ,σ với độ tin cậy P cho trước tìm khoảng tin cậy µ Trường hợp 1: Đã biết σ = σ 02 ⎡ σ σ ⎤ ; X + Uα ;α = 1− P ⎢ X − U α2 ⎥ n n⎦ ⎣ 0 Trường hợp 2: chưa biết σ 2 ⎡ S S ⎤ ; X + tα ⎢ X − tα ⎥ ; α = 1− P ,n−1 ,n−1 n n ⎥⎦ ⎢⎣ 2 13 Ví dụ 1: v v Đo số mỡ sữa bị lai ta có kết sau: Chỉ số mỡ 3-3,6 3,6-4,2 4,2- 4,8 4,8- 5,4 5,4-6 6-6,6 Số 10 35 43 22 12 Biết số mỡ sữa bị có phân phối chuẩn ( ) X ∼ N µ ,σ v a) Hãy ước lượng không chệch v µ ,σ b) Hãy tìm khoảng tin cậy số mỡ trung bình giống bị lai với độ tin cậy 98% 14 Chỉ số mỡ 3-3,6 3,6-4,2 4,2- 4,8 4,8- 5,4 5,4-6 6-6,6 Số 10 35 43 22 12 v Thu gọn số liệu Chỉ số mỡ Số v 3,3 n=125; x3 = 3,9 10 ! !"# 4,5 35 ∑&$%! n$ x$ = 5,1 43 ! !"# 5,7 22 6,3 12 3,3.3 + 3,9.10 + ⋯ + 6,3.12 = 5,0136 v v v 𝑠= = ! ∑&$%! n$ x$" ( '(! − n x3 ") = ! " + 3,9" 10 + ⋯ +6,3" 12 − 125 5,1036" ) (3,3 !") =0,7013 v Ước lượng không chệch 𝜇 5,0136; ước lượng không chệch 𝜎 " 0,70132=0,4918 b)Khoảng tin cậy số mỡ trung bình: s s xD − t '(!;+ ; xD − t '(!;+ " n " n 𝛼 P = 0,98 → 𝛼 = − 0,98 = 0,02 → = 0,01 Tìm t '(!;! = t!");,,,! = 2,326 Thay số " 5,0136 − 2.36 0,7013 125 ; 5,0136 + 2.36 0,7013 125 Hay 4,8677; 5,1595 Vậy khoảng tin cậy số mỡ trung bình với độ tin cậy 0,98 4,8655; 5,1616 16 v v v Cận trái = 5,0136 − 2.326 Cận phải = ,,.,!/ =4,8677 !"# ,,.,!/ 5,0136 + 2.326 !"# =5,1595 Vậy khoảng tin cậy số mỡ trung bình với độ tin cậy 0,98 4,8655; 5,1616 17 2.3 Bài toán ƯL khoảng xác suất (tỉ lệ p) v v Xác suất cá thể có đặc tính A tổng thể p Mẫu gồm n cá thể có nA cá thể có đặc tính A nA Tần suất f = n 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ U U 2 n ≥ 30 Tỉ lệ p thoả mãn: α /2 α /2 Giải bpt bậc ta có: ⎜ 1+ n ⎟ p − ⎜ f + n ⎟ p + f ≤ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ p1 ≤ p ≤ p2 n ≥ 100, nf ≥ 10, n(1− f ) ≥ 10 Khoảng tin cậy tỷ lệ p: ⎡ f (1− f ) ; f +Uα ⎢ f −Uα n ⎢⎣ 2 f (1− f ) ⎤ ⎥ n ⎥⎦ 18 Ví dụ v ⎡ ⎢ f −Uα ⎢⎣ f (1− f ) ; f +Uα n f (1− f ) ⎤ ⎥ n ⎥⎦ Điều tra tỉ lệ sinh viên làm thêm trường đại học Phát phiếu điều tra 200 sinh viên có 65 bạn trả lời có tham gia làm thêm Hãy ước lượng tỉ lệ sinh viên làm thêm trường đại học với độ tin cậy 0,96 0# Giải: 𝑓 = ",, = 0,325 → − f = 0,675 𝛼 𝑃 = 0,96 → 𝛼 = − P = 0,04 → = 0,02 nên U! = U,,," = 2,06 " 19 65 𝑓= = 0,325 → − f = 0,675 200 𝑃 = 0,96 → 𝛼 = 0,04 → + " = 0,02 nên U! = U,,," = 2,06 " Khoảng tin cậy tỉ lệ f − U! " 1(!(1) : ' f + U! " 1(!(1) ' Thay số 0,325.0,675 0,325.0,675 0,325 − 2,06 ; 0,325 + 2,06 200 200 Hay [0,2568; 0,3932] Vậy khoảng tin cậy tỉ lệ sinh viên làm thêm với độ tin cậy 0,96 [0,2568; 0,3932] 20 Ví dụ v Thời gian giao hàng (giờ) nội thành dịch vụ chuyển phát nhanh biến có phân phối chuẩn Theo dõi ngẫu nhiên thời gian giao hàng tới 60 địa nội thành dịch vụ thu kết quả: Giờ 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 12-13 13-14 Số địa 10 16 13 10 1) Với độ tin cậy 0,95, tìm khoảng tin cậy thời gian giao hàng trung bình nội thành dịch vụ chuyển phát nhanh nói 2) Hãy ước lượng điểm tỉ lệ địa giao hàng chậm ( từ 11h trở lên) 21 v Thu gọn số liệu Giờ 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 Số địa 10 16 13 10 n=60; 𝑠= x3 = ! 0, ∑&$%! n$ x$ = ! 0, 6,5.2 + 7,5.3 + ⋯ +13,5.1 = 10 (6,5" + 7,5" + ⋯ +13,5" − 60.10" ) = 1,5349 59 P = 0,95 → 𝛼 = 0,05 → + " = 0,025 Tìm t '(!;! = t #4;,,,"# = 1,96 " Khoảng tin cậy: xD − t '(!;! " Thay số 10 − 1,96 ; ' xD − t '(!;! " !,#/)4 !,#/)4 ;10 + 1,96 0, 0, ' = 9,6116; 10,884 Vậy khoảng tin cậy thời gian giao hàng trung bình với độ tin cậy 0,95 9,6116; 10,884 22 v B) số đơn giao hàng chậm là: n6 = 10 + + = 16 !0 Ước lượng điểm tỉ lệ giao hàng chậm là: f = 0, 23