Chương 13 Mô hình hóa và mô phỏng hệ thống thay đổi theo thời gian 318 Chương 13 MÔ HÌNH HÓA VÀ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN 13 1 Mở đầu Tất cả các phần tử trong hệ thống và mô hình đã đư[.]
Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 318 Chương 13 MƠ HÌNH HĨA VÀ MƠ PHỎNG HỆ THỐNG THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN 13.1 Mở đầu Tất phần tử hệ thống mơ hình nghiên cứu cố định không thay đổi theo thời gian Trong chương trước, ta thảo luận chi tiết việc mơ hình hóa mơ mơ hình tuyến tính bất biến LTIV Chương ta nghiên cứu phần tử hệ thống truyền thông mức cao là: mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian LTV Ta xét nhiều ví dụ để minh họa tính phụ thuộc vào thời gian hệ thống, điển hình kênh thay đổi theo thời gian hệ thống thông tin di động Giả định tính bất biến theo thời gian hiểu tính chất hệ thống khơng thay đổi theo thời gian Nếu ta mơ hình hóa hệ thống bất biến theo thời gian hàm truyền đạt, tính bất biến theo thời gian xác định hàm truyền đạt (cả biên độ pha) khơng đổi, hàm thời gian Chẳng hạn: xét mơ hình lọc Butterworth bậc có độ rộng băng thơng dB 1MHz Tính bất biến theo thời gian nghĩa bậc độ rộng băng thông lọc không thay đổi, hàm thời gian Bộ lọc không thay đổi theo thời gian giá trị tất phần tử vật lý, điện trở, tụ điện, tham số phần tử tích cực hệ số khuếch đại khuếch đại, không thay đổi theo thời gian Trong giả định bất biến theo thời gian trì khoảng thời gian ngắn, xét khoảng thời gian dài lão hóa làm cho chúng trở nên thay đổi theo thời gian Từ quan điểm thực tế, dù hệ thống xét có bất biến theo thời gian hay khơng, khơng phụ thuộc vào hệ thống mà cịn phụ thuộc vào chất toán giải Dù có sử dụng mơ hình hệ thống bất biến theo thời gian hay phụ thuộc vào thời gian chúng thường xác định tốc độ mà đặc tính hệ thống mơ hình hóa thay đổi so với thông số khác hệ thống (chẳng hạn tốc độ ký hiệu) Ví dụ: số thời gian liên quan đến tính thay đổi thời gian lớn so với tốc độ ký hiệu mơ hình bất biến theo thời gian hiệu chỉnh Nói cách khác, tham số hệ thống thay đổi tốc độ gần với tốc độ ký hiệu mơ hình thay đổi theo thời gian hợp lệ Vì vậy, dẫn đến khái niệm thay đổi "nhanh" hay "chậm" so với tốc độ ký hiệu số thuộc tính khác hệ thống ảnh hưởng đến việc lựa chọn mơ hình thay đổi theo thời gian hay khơng thay đổi theo thời gian Để tường minh, ta khảo sát toán qua hai trường hợp điển hình 13.1.1 Hệ thống thay đổi theo thời gian điển hình Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 319 Trường hợp 1: Xét hệ thống truyền thơng vơ tuyến viba ăng ten phát thu đặt tháp viba cố định, "kênh" ăng ten phát thu khơng khí việc thay đổi đặc tính kênh điều kiện khơng khí thay đổi, điển hình có số thời gian phút Nếu tuyến thông tin hoạt động tốc độ ký hiệu 100 Mbit/s số thời gian liên quan đến thay đổi kênh dài so với thời gian ký hiệu 10 -8s Khi này, kênh gần giữ nguyên trạng thái hàng triệu ký hiệu truyền qua tuyến Nếu mục đích mơ ước tính BER, kênh giả định trạng thái "tĩnh" sử dụng mơ hình bất biến theo thời gian lần ước tính BER Tất nhiên, kết ước tính BER có giá trị trạng thái kênh cụ thể Tính cách kênh thời gian dài, ảnh hưởng lên hiệu hệ thống thời gian dài, ước lượng cách phân tích hiệu hệ thống chuỗi "chớp ảnh" điều kiện kênh tĩnh, sử dụng mơ hình bất biến theo thời gian khác cho chớp ảnh Điều minh họa hình 13.1, thể mơ triển khai cho giá trị suy hao kênh Từ mơ có phép đo hiệu "xác suất ngừng hoạt động", mơ tả phần thời gian hiệu kênh giảm số ngưỡng BER Nếu mô 10000 chớp ảnh kênh 100 số điều kiện kênh tạo BER ứng với hiệu hệ thống khơng thỏa mãn, ví dụ BER > 10-3 xác suất ngừng hoạt động (100/10000) = 0,01 ngưỡng BER cụ thể Suy hao kênh Thời gian (giây) Hình 13.1: Các chớp ảnh kênh thay đổi chậm theo thời gian Trường hợp 2: Xét hệ thống thông tin di động gồm trạm gốc cố định người dùng di động Các đặc tính kênh truyền thơng máy phát máy thu thay đổi theo thời gian, tham số kênh suy hao trễ thay đổi theo thời gian chuyển động tương đối trạm gốc người dùng di động Ngoài ra, thay đổi điều kiện khơng khí góp phần vào chất thay đổi theo thời gian kênh Nếu người dùng di động chuyển động nhanh tốc độ ký hiệu khoảng 10.000 ký hiệu/s, tốc độ (tại điều kiện kênh thay đổi) so sánh với tốc độ ký hiệu Trong trường hợp dùng mơ hình kênh thay đổi theo thời gian 13.1.2 Mơ hình hóa giải pháp mơ Cũng hệ thống tuyến tính bất biến LTIV, hệ thống tuyến tính thay đổi theo thời gian LTV mơ hình hóa mơ miền thời gian miền tần số Giải pháp miền thời gian dẫn đến mơ hình phải chứa cấu trúc đường trễ rẽ nhánh có độ lợi Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 320 nhánh thay đổi theo thời gian Mơ hình dễ để thực cho mục đích mơ tính toán hiệu đáp ứng xung kim thay đổi theo thời gian tương đối ngắn Nhiều khái niệm mơ hình hóa mơ đề cập chương trước cho hệ thống tuyến tính bất biến LTIV áp dụng cho hệ thống tuyến tính thay đổi theo thời gian LTV, có vài điểm khác biệt quan trọng Cần phải đặc biệt lưu ý tốc độ lấy mẫu lẽ cần phải tăng tốc độ lấy mẫu nở rộng băng thông từ tính cách thay đổi theo thời gian Nguồn gốc nở rộng băng thông trải rộng "doppler" hệ thống thơng tin di động Ngồi ra, phải thận trọng đơn giản hóa sơ đồ khối hệ thống LTV, khối LTV khơng tn theo tính chất giao hốn thứ tự thực đổi khối LTV với xét cho khối LTIV Tuy nhiên, hệ thống thay đổi theo thời gian có tính tuyến tính, áp dụng xếp chồng, tích chập sử dụng số kỹ thuật phân tích miền thời gian miền số triển khai cho hệ thống LTIV vào việc mơ hình hóa mô hệ thống LTV với sửa đổi không đáng kể Ta dùng phương pháp biểu diễn tín hiệu hệ thống thơng thấp tương đương triển khai mơ hình mơ kỹ thuật mô cho hệ thống thay đổi theo thời gian 13.2 Các mơ hình cho hệ thống tuyến tính thay đổi theo thời gian LTV Trong miền thời gian, hệ thống LTIV mô tả đáp ứng xung kim đường bao phức h( ) , h( ) định nghĩa đáp ứng hệ thống thời điểm xung kim đặt vào hệ thống thời điểm t = Biến thể “ thời gian trôi qua”, hiệu số thời gian thời điểm đo đáp ứng xung kim thời điểm đưa xung kim vào hệ thống Quan hệ vào/ra đường bao phức hệ thống LTIV cho tích chập quen thuộc y (t ) h( ).x(t )d (13.1) Trong x(t ) y(t ) trình bày đường bao phức vào/ra hệ thống Biến đổi Fourier ngược (13.1) tạo quan hệ vào/ra hệ thống LTIV miền tần số Y ( f ) X ( f )H ( f ) (13.2) Trong H ( f ) hàm truyền đạt hệ thống, X ( f ) Y ( f ) biến đổi Fourier đầu vào/ tương ứng Tìm đầu y(t ) cách biến đổi ngược Y ( f ) y (t ) Y ( f )e j 2 ft df X ( f ) H ( f )e (13.3) j 2 ft df Các biểu thức dùng điểm bắt đầu để rút mơ hình cho hệ thống thay đổi thời gian Chương 13: Mô hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 321 13.2.1 Mô tả hệ thống LTV miền thời gian Các hệ thống thay đổi theo thời gian đặc điểm hóa miền thời gian đáp ứng xung kim Với hệ thống thay đổi theo thời gian, đáp ứng xung kim có dạng h( , t ) định nghĩa đáp ứng hệ thống đo thời điểm t xung kim đặt vào hệ thống thời điểm sớm giây Nói cách khác, xung kim đưa vào hệ thống thời điểm t đo đáp ứng hệ thống thời điểm t, sau "thời gian trôi" là Do tính thay đổi theo thời gian, nên đáp ứng xung kim thay đổi hàm hai biến t vµ t t thời điểm xung kim đặt vào hệ thống t thời điểm đo đầu hệ thống Với hệ thống bất biến theo thời gian, đáp ứng xung hàm thời gian trôi ký hiệu h( ) Lưu ý rằng, đáp ứng xung hệ thống thay đổi theo thời gian hàm đối số, đáp ứng xung hệ thống bất biến theo thời gian có đối số Hình 13.2 phác hoạ đáp ứng xung hệ thống thay đổi không thay đổi theo thời gian Đầu vào Đầu vào h ( , t1 ) h ( , t2 ) h ( ) h( ) t1 Đầu vào Dạng hàm không thay đổi h( ) t2 Đầu vào h ( , t2 ) h( , t) h( , t) h ( , t1 ) t t1 h ( , t1 ) t2 a) Đáp ứng xung kim hệ thống không thay đổi theo thời gian t1 t1 t2 Dạng hàm thay đổi t h ( , t2 ) t2 b) Đáp ứng xung kim hệ thống thay đổi theo thời gian Hình 13.2: Đáp ứng xung kim hệ thống thay đổi không thay đổi theo thời gian Trong đáp ứng xung hệ thống LTIV trì dạng hàm khơng phụ thuộc vào thời điểm đưa xung kim vào đầu vào, đáp ứng xung hệ thống LTV lại phụ thuộc vào thời điểm đưa xung kim hệ thống Nói cách khác, Với hệ thống LTIV, thì: h( , t1 ) h( , t2 ) h( ) (13.4) Với hệ thống LTV, thì: h( , t1 ) h( , t2 ) (13.5) Ngoài ra, đáp ứng hệ thống LTIV đầu vào tùy ý trì giống bất chấp thời điểm đưa tín hiệu vào hệ thống ngoại trừ trễ thời gian Nếu thời điểm t đó, ta đưa tín hiệu x(t ) vào hệ thống bất biến nhận đầu y(t ) , đầu vào đưa vào hệ thống thời điểm chậm t0 x(t t0 ) , ta nhận đầu hệ thống phiên bị trễ y(t t0 ) y(t ) Trong hệ thống thay đổi theo thời gian, đáp ứng hệ thống đầu vào giống hồn tồn khác đầu vào giống đặt vào hệ thống thời điểm khác Chương 13: Mơ hình hóa mô hệ thống thay đổi theo thời gian 322 Cần lưu ý rằng, khác biệt quan trọng đáp ứng xung kim hệ thống LTIV & LTV là: đáp ứng xung kim hệ thông LTIV hàm thời gian trôi khơng phụ thuộc vào thời điểm đưa tín hiệu vào hệ thống, đáp ứng xung kim hệ thống LTV hàm hai biến (thời gian trôi thời điểm quan sát t) Hai biến thời gian t h( , t ) đặc điểm hóa cho hai khía cạnh khác hệ thống Biến có vai trị giống biến đáp ứng xung kim h( ) hệ thống bất biến theo thời gian biến đổi Fourier theo biến dẫn đến khái niệm hàm truyền đạt, đáp ứng tần số, độ rộng băng tần Đối với hệ thống LTV, triển khai khái niệm hàm truyền đạt cách biến đối Fourier hàm đáp ứng xung kim h( , t ) theo biến nhận hàm truyền đạt H ( f , t ) , hàm truyền đạt biến đổi theo thời gian: H ( f ,t) h( , t )e j 2 f d (13.6) Nếu hệ thống “thay đổi chậm theo thời gian”, khái niệm đáp ứng tần số độ rộng băng tần áp dụng cho H ( f , t ) Trong hệ thống LTIV đặc trưng hóa hàm đáp ứng xung kim hàm truyền đạt, hệ thống LTV đặc trưng hóa họ hàm đáp ứng xung họ hàm truyền đạt, với hàm ứng với giá trị t Nếu h( , t ) h( ) , tương ứng H ( f , t ) H ( f ) , hệ thống hệ thống bất biến theo thời gian Biến t h( , t ) H ( f , t ) mô tả chất thay đổi theo thời gian hệ thống Sự phụ thuộc mạnh mẽ vào t, thay đổi nhanh theo t, cho thấy hệ thống thay đổi nhanh theo thời gian Thông thường, chất thay đổi theo thời gian hệ thống mơ hình hóa tượng ngẫu nhiên, h( , t ) xử lý trình ngẫu nhiên theo t Nếu trình dừng, thay đổi theo thời gian mơ hình hóa hàm tự tương quan miền thời gian hàm mật độ phổ công suất PSD miền tần số Hằng số thời gian hàm tự tương quan độ rộng băng tần hàm mật độ phổ công suất thông số then chốt mơ tả hệ thống có đáp ứng xung kim h( , t ) thay đổi nhanh hay chậm theo thời gian Từ định nghĩa đáp ứng xung kim hệ thống LTV, dễ dàng thấy quan hệ vào/ra biểu diễn tích chập sau: y (t ) h( , t ) x(t )d h(t ) x( )d (13.7) Phiên miền tần số quan hệ vào/ra có phần phức tạp thấy phần sau 13.2.2 Mô tả hệ thống LTV miền tần số Như điểm bắt đầu để mô tả hệ thống LTV miền tần số, ta định nghĩa biến đổi Fourier hai chiều h( , t ) là: Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian H ( f1 , f ) h( , t )e j 2 f1 f t d dt 323 (13.8) Trong trình định nghĩa biến đổi Fourier hai chiều, thường giả định hàm đáp ứng xung kim có lượng hữu hạn nhằm đảm bảo tồn phép biến đổi Fourier Tuy nhiên ta thấy rằng, để mơ hình hóa kênh, h( , t ) coi trình ngẫu nhiên dừng theo t khơng tồn biến đổi Fourier h( , t ) theo t Tất nhiên, hàm tự tương quan tồn thủ tục phù hợp để định nghĩa hàm tự tương quan h( , t ) theo biến t, sau lấy biến đổi Fourier hàm tự tương quan nhận biểu diễn miền tần số Kết ta có hàm mật độ phổ cơng suất q trình ngẫu nhiên Cần phải lưu ý rằng, hệ thống bất biến theo thời gian, h( , t ) h( ) H ( f1 , f ) H ( f1 ). ( f ) Lấy biến đổi Fourier ngược H ( f1 , f ) được: H( f , f h ( , t ) )e j 2 f1 f2t df1df (13.9) Thay h( , t ) vào (13.7) ta có: Y( f ) H f , f f .X f df 1 1 (13.10) y (t ) Y ( f )e j 2 ft df (13.11) Trong "hàm truyền đạt" hai chiều định nghĩa (13.8), biến tần số f1 liên quan với biến thời gian xét tương tự biến tần số hàm truyền đạt H ( f ) hệ thống LTIV Tuy nhiên, quan hệ vào/ra hệ thống LTV miền tần số cho (13.10) chứa phép tích chập miền tần số biến thứ hàm truyền đạt H ( f1 , f ) Phép tích chập giải thích ảnh hưởng chất thay đổi theo thời gian hệ thống miền tần số Hệ thống LTIV Nếu đưa vào hệ thống LTIV đơn mang fc+f0 x(t ) A cos 2 f c f t (13.12) có đường bao phức x(t ) A e j 2 f0t (13.13) quan hệ vào/ra miền tần số cho X ( f ) A. f f0 (13.14) Y ( f ) H ( f ) X ( f ) H ( f0 ) A. f f0 (13.15) Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 324 Đầu đường bao phức hệ thống miền thời gian định nghĩa là: j f0t H f y (t ) A H ( f ) e (13.16) Và tín hiệu thơng dải miền thời gian cho bởi: y (t ) A H ( f ) cos 2 ( f c f )t H ( f ) (13.17) Quan hệ (13.13) (13.16) hệ thống LTIV cho thấy rằng, đưa vào hệ thống đơn mang phức tần số f0, hệ thống tạo đơn mang đầu tần số f0 Biên độ pha đơn mang đầu bị ảnh hưởng đáp ứng biên độ đáp ứng pha hệ thống tần số f0 Điều minh hoạ hình 13.3 X(f ) H( f ) A ( f f ) Y( f ) H ( f ) A ( f f ) H ( f0 ) f f0 f f0 a) Đầu vào f f0 b) Hàm truyền đạt c) Đầu Hình 13.3: Đáp ứng hệ thống LTIV đầu vào đơn mang Hệ thống LTV Ta xét trạng thái hệ thống thay đổi theo thời gian Với đầu vào (13.13), đầu hệ thống LTV miền tần số là: Y( f ) H ( f , f f ).X ( f ).df H ( f , f f ) A. ( f 1 1 1 f ).df1 A.H ( f , f - f ) (13.18) - Phương trình cho thấy, đầu không chứa đơn mang đơn mà gồm dải tần số Một minh họa cho hình 13.4 Lưu ý rằng, hệ thống bất biến theo thời gian, h( , t ) h( ) , H ( f1 , f ) H ( f1 ). ( f ) (13.18) tạo Y ( f ) H ( f0 ) A. ( f f ) giống (13.15) A ( f f ) Đầu vào Đầu ~ H ( f0 , f f0 ) A B f f0 f f f Hình 13.4: Đáp ứng hệ thống LTV đầu vào đơn mang Tổng quát, đầu hệ thống LTV tương ứng với đơn mang đầu vào tần số f0 bị dịch tần số bị trải rộng Trong kịch kênh truyền thông di động, điều coi dịch Doppler trải rộng Doppler tạo chuyển động tương đối ăng ten phát ăng ten thu, thay đổi khác kênh Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 325 13.2.3 Các tính chất hệ thống LTV Một vài tính chất hệ thống LTIV hữu hiệu để đơn giản hố mơ hình mơ hệ thống truyền thơng Ví dụ việc kết hợp hàm truyền đạt khối mắc song song, khối mắc nối tiếp, kết hợp khối nối tiếp song song Những phép toán dựa tính chất kết hợp, phân phối giao hốn hệ thống LTIV Những tính chất kiểm tra cho hệ thống LTV Tính kết hợp Để kiểm tra tính chất kết hợp cách chi tiết, xét hệ thống cho hình 13.5(a) w(t ) x(t ) h1 ( , t ) y (t ) y (t ) x(t ) h2 ( , t ) h ( , t ) b) Hệ thống tương đương a) Kết nối chuỗi Hình 13.5: Kết nối nối tiếp hệ thống tương đương Đầu khối hình 15.5(a) cho bởi: h ( , t ).x(t )d w(t ) 1 h (t , t ).x( )d 1 1 (13.19) Đầu khối thứ là: y (t ) h ( 2 , t ).w t d (13.20) Thay w(t ) vào (13.20) ta được: y (t ) h2 ( , t ) h1 (t , t ).x( )d d (13.21) Có thể viết là: y (t ) x( ) h1 (t , t ) h2 ( , t )d d (13.22) h ( t ,t ): Đáp ứng xung kim toµn bé cđa hƯ thèng Đại lượng bên ngoặc vng đáp ứng xung kim tồn hệ thống h (t , t ) Thay t , ta đáp ứng xung kim chung khối nối tầng là: h ( , t ) h ( , t ).h2 ( , t ) d (13.23) Ở dạng đơn giản ta có: h ( , t ) h ( , t )h ( , t )d (13.24) Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 326 Sử dụng phương trình trước định nghĩa tính chất kết hợp cho hệ thống LTV là: x( ) h1 ( ) h2 ( ) x( ) h1 ( ) h2 ( ) x( ) h1 ( ) h2 ( ) (13.25) Đáp ứng xung kim toàn là: h( , t ) h1 ( , t ) h2 ( , t ) h ( , t ) (13.26) h ( , t )h ( , t )d (13.27) Như thấy hình 13.5(b) Tính giao hốn Trong kết hợp đáp ứng hai khối LTV nối (13.27) khơng thể thay đổi thứ tự khối LTV cho Việc đổi chỗ hai khối cho tạo đáp ứng xung kim tổng thể tích chập đáp ứng xung kim riêng biệt Vì vậy, g ( , t ) h2 ( , t ) h1 ( , t ) = h2 ( , t )h1 ( , t ) d (13.28) Tổng quát, h( , t ) g ( , t ) Vì dạng tổng quát, việc thay đổi thứ tự LTV khơng phải phép tốn hợp lệ Ví dụ cho hình 13.6, cho ta minh chứng tính chất giao hốn khơng dùng khối LTV, nghĩa với hệ thống LTV thì: h1 ( , t ) h2 ( , t ) h2 ( , t ) h1 ( , t ) (13.29) Tuy nhiên, tính chất giao hoán áp dụng cho khối LTIV, nghĩa là: h1 ( ) h2 ( ) h2 ( ) h1 ( ) x(t ) t t2 (13.30) d () dt y (t ) 2t t x(t ) t y (t ) t d () dt t Hình 13.6: Ví dụ đổi thứ tự khối LTV (tính giao hốn khơng áp dụng hệ thống LTV) Tính phân phối Ta kiểm lại tính chất phân phối: x( ) h1 ( , t ) h2 ( , t ) x( ) h1 ( , t ) x( ) h2 ( , t ) (13.31) Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 327 Tương đương với: h1 ( , t ) h2 ( , t ) h3 ( , t ) h1 ( , t ) h2 ( , t ) h1 ( , t ) h3 ( , t ) (13.32) Đối với hệ thống LTV Một ví dụ việc đơn giản hố sơ đồ khối mô hệ thống LTV từ tính chất kết hợp tính chất phân phối cho hình 13.7, đó: h( , t ) h1 ( , t ) h2 ( , t ) h1 ( , t ) h3 ( , t ) (13.33) Trong hình 13.7(b) Đáng tiếc, việc đơn giản hoá dẫn đến hiệu tính tốn khối LTIV lại khơng áp dụng trực tiếp cho khối LTV Sơ đồ khối có chứa hồi tiếp khơng thể đơn giản hố h2 ( , t ) x(t ) y (t ) h1 ( , t ) x(t ) h ( , t ) y (t ) h3 ( , t ) a) Các kết nối nối tiếp song song b) Hệ thống tương đương Hình 13.7: Các kết nối song song /nối tiếp hệ thống tương đương Ví dụ 13.1: Giả sử đầu vào hệ thống LTV hàm mũ phức biên độ đơn vị có tần số 1kHz Nói cách khác: x(t ) e j 2000 t (13.34) Tương ứng miền tần số là: X ( f ) f 1000 (13.35) Hệ thống định nghĩa h( , t ) , giả thiết có đáp ứng xung kim thay đổi theo thời gian (13.36) h( , t ) a1 (t ). a2 (t ). T a3 (t ). 2T Trong T 1ms suy hao thay đổi theo thời gian a i (t ) cho bởi: a1 (t ) 1 cos 100 t (13.37) a2 (t ) 0, cos 200 t (13.38) a3 (t ) 0, cos 300 t (13.39) Hình 13.8 minh họa 10 “chớp ảnh” đáp ứng xung kim h( , t ) cách ms bắt đầu t = s Ta thấy rằng, hệ thống hàm thời gian trôi thời điểm quan sát t Biểu đồ loại thường sử dụng để mô tả loại kênh thay đổi theo thời gian hệ thống truyền thông vô tuyến Chương 13: Mô hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 328 Đáp ứng tần số thay đổi theo thời gian kênh có cách thực biến đổi Fourier chiều định nghĩa (13.8) Thế đáp ứng xung kim định nghĩa (13.36) vào (13.8) ta được: ~ h( , t ) t ms Hình 13.8: Minh họa h( , t ) hàm t H ( f1 , f ) cos(100 t ) ( ) e j 2 f1 e j 2 f2t d dt 0,7 cos(200 t) ( -T) e -j2 f1 e j 2 f2t d dt (13.40) - - 0,3 cos(300 t) ( -2T) e -j2 f1 e j 2 f2t d dt - - Sau áp dụng tính chất chọn lọc điều chế biến đổi Fourier, tìm hàm truyền đạt: 0, H ( f1 , f ) ( f 50) ( f 100)e j 2 f1T 2 (13.41) 0,3 j 4 f1T ( f 150)e Đáp ứng độ lớn cho hình 13.9 Lưu ý rằng, khác với hệ thống LTIV, hàm truyền đạt hệ thống LTV phụ thuộc vào hai tần số f1 f2 f1 H ( f1 , f ) 0,5 f2 -150 -100 -50 50 100 150 Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 329 Hình 13.9: Biến đổi Fourier đáp ứng xung kim thay đổi theo thời gian Đầu hệ thống định nghĩa (13.10) Thay (13.35) (13.41) vào (13.10) ta được: Y( f ) ( f f1 ) 50. f1 1000 df1 0,7 ( f f1 ) 100. ( f1 1000)e j 2 f1T df1 (13.42) 0,3 ( f f1 ) 150 f1 1000 e j 4 f1 T df1 Đã sử dụng tính chất dịch hàm delta, lấy tích phân ta được: 0,7 Y ( f ) f 1000 50 ( f 1000 100)e j 2000 T 2 0,3 + ( f 1000 150)e j 4000 T (13.43) Y( f ) 0,5 f 50 f 1000 Hình 13.10: Đầu hệ thống Đáp ứng hệ thống thay đổi theo thời gian đầu vào giả định minh họa hình 13.10 Ta thấy rằng, đầu vào đơn mang tần số 1000 Hz bị dịch tần bị trải rộng miền tần số đáp ứng xung kim kênh biến đổi theo thời gian gây Ảnh hưởng việc mở rộng phổ (trải phổ) sáng tỏ phần sau 13.3 Mơ hình q trình ngẫu nhiên Trong nhiều hệ thống thay đổi theo thời gian, đặc tính hệ thống thay đổi cách ngẫu nhiên hàm thời gian Ví dụ thay đổi đặc tính phần cứng (do linh kiện bị lão hóa), thay đổi đặc tính kênh vơ tuyến (chẳng hạn thay đổi điều kiện mơ trường khí quyển) Những thay đổi theo thời gian thường mơ hình hóa q trình ngẫu nhiên Nếu mơ hình tuyến tính, thay đổi ngẫu nhiên đặc tính hệ thống hàm thời gian xử lý cách coi đáp ứng xung kim h( , t ) trình ngẫu nhiên theo thời gian t Giải pháp sử dụng mở rộng để mơ hình hóa cho kênh vơ tuyến di động Chi tiết hóa cho loại mơ hình kênh khác đề cập chương sau, giới thiệu vắn tắt nhằm triển khai mơ hình mơ chung cho hệ thống thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian (trong phần này, ta Chương 13: Mơ hình hóa mô hệ thống thay đổi theo thời gian 330 sử dụng hàm chữ nhỏ thời gian để biểu thị cho trình ngẫu nhiên theo lệ thường chữ hoa dùng để biểu thị biến ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên Các chữ hoa sử dụng để biểu thị biến đổi Fourier) Ví dụ đơn giản: Xét hệ thống có đầu phiên đầu vào bị suy hao bị trễ, suy hao thay đổi ngẫu nhiên hàm thời gian Hệ thống đặc trưng hóa đáp ứng xung kim: h( , t ) a(t ) ( t0 ) (13.44) Trong a(t ) suy hao thay đổi theo thời gian t0 trễ Quan hệ vào/ra cho bởi: y ( , t ) h( , t ) x(t )d a(t ) x(t t ) (13.45) Suy hao a(t) mơ hình hóa q trình ngẫu nhiên dừng khơng dừng Mơ hình thích hợp q trình ngẫu nhiên dừng, mơ hình dẫn đến hàm tự tương quan mật độ phổ cơng suất Việc mơ hình hóa a(t) q trình dừng cho phép thể mơ hình đáp ứng xung kim thay đổi theo thời gian Nếu đưa x(t ) vào hệ thống trình ngẫu nhiên dừng, hàm tự tương quan mật độ phổ công suất đầu là: Ryy ( ) E y* (t ) y (t ) (13.46) Ryy ( ) E a* (t ).x* (t t0 ) a(t ).x(t t0 ) (13.47) Giả sử trình đầu vào x(t ) suy hao a(t ) không tương quan nhau, hàm tự tương quan đầu rút gọn dạng đơn giản: Ryy ( ) Raa ( ).Rxx ( ) (13.48) Bằng cách biến đổi Fourier hàm tự tương quan trên, ta mật độ phổ công suất PSD đầu là: S yy ( f ) Saa ( f ) S xx ( f ) (13.49) Phép tích chập phương trình dẫn dến dịch phổ trải phổ Nếu đầu vào hàm số mũ phức pha ngẫu nhiên: x(t ) Ae j 2 f0t , phân bố khoảng , tự tương quan đầu vào là: Rxx ( ) A2 e j 2 f0 (13.50) Từ mật độ phổ cơng suất PSD đầu vào là: S xx ( f ) A2 ( f f0 ) Mật độ phổ công suất PSD đầu là: (13.51) Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian S yy ( f ) A2 Shh ( f f ) 331 (13.52) Như minh họa hình 13.11 PSD đầu PSD đầu vào S yy ( f ) A2 Shh ( f f ) S xx ( f ) A ( f f ) B f f0 f0 f Hình 13.11: Trải phổ hệ thống thay đổi theo thời gian Hệ thống LTIV tạo mật độ phổ công suất đầu dạng: S yy ( f ) A2 ( f f0 ) H ( f0 ) (13.53) Sự khác hệ thống LTV hệ thống LTIV trải phổ hệ thống LTV Đối với hệ thống LTV, mô phải đặc biệt lưu ý tốc độ lấy mẫu, phải tăng hai lần độ rộng băng tần giãn độ rộng băng trải phổ gây Phiên tổng qt mơ hình thay đổi theo thời gian coi h( , t ) trình ngẫu nhiên dừng theo t có hàm tự tương quan: Rhh ( , , ) E h* ( , t )h ( , t ) (13.54) Mơ hình sử dụng phổ biến cho h( , t ) trình Gausơ dừng trung bình khơng dẫn đến hàm mật độ xác xuất Rayleigh cho h ( , t ) Trong mơ hình thường giả sử h ( , t ) h ( , t ) không tương quan , nói cách khác: Rhh ( , , ) E h* ( , t ).h ( , t ) Rhh ( , ). ( ) (13.55) Khi này, hàm tự tương quan đầu hệ thống là: Ryy ( ) E y* (t ) y (t ) (13.56) Thay y(t ) vào ta được: Ryy ( ) E h* ( , t ) x* (t )d h ( , t ) x(t )d (13.57) Đổi thứ tự phép lấy kỳ vọng tích phân dẫn đến: Ryy ( ) E h ( , t )h( * , t ) x* (t ) x(t ) d 1d (13.58) Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 332 Giả sử x(t ) h(t ) độc lập, đạt được: Ryy ( ) E h ( , t )h( * , t ) E x* (t ) x(t ) d 1d (13.59) Thừa nhận phép kỳ vọng hàm tự tương quan dựa vào (13.55) cho ta dạng đơn giản: Ryy ( ) R hh ( , ) ( ) Rxx ( ) d 1d (13.60) Thực lấy tích phân theo dùng tính chất chọn lọc ta được: Ryy ( ) Rxx ( ) Rhh ( , )d (13.61) Có thể biểu diễn bởi: Ryy ( ) Rxx ( ) R hh ( ) (13.62) Trong đó: R hh ( ) R hh ( , )d (13.63) Mật độ phổ công suất đầu tìm cách biến đổi Fourier (13.62) dẫn đến tích chập: S yy ( f ) S xx ( f ) S hh ( f ) (13.64) Trong tích chập Lưu ý Shh ( f ) mật độ phổ cơng suất "được trung bình hóa" biến đổi Fourier hàm tự tương quan "được trung bình hóa" định nghĩa (13.63) Lưu ý rằng, mật độ phổ cơng suất đầu tích chập mật độ phổ công suất đầu vào mật độ phổ cơng suất "được trung bình hóa" q trình ngẫu nhiên mà mơ hình hóa cho thay đổi theo thời gian Ngược lại, quan hệ mật độ phổ công suất hệ thống LTIV cho bởi: S yy ( f ) S xx ( f ) H ( f ) (13.65) Một lần đầu vào đơn mang, hệ thống LTIV tạo đầu đơn mang tần số đầu vào, đầu hệ thống LTV bị dịch phổ tần trải rộng phổ tần 13.4 Mơ hình mơ cho hệ thống LTV Cho trước mô tả hệ thống LTV dạng đáp ứng xung kim h( , t ) , ta rút mơ hình mơ cách sử dụng định lý lấy mẫu với giả thiết tín hiệu đưa vào kênh có băng tần giới hạn Ta quan hệ vào/ra cho tích chập: Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 333 h( , t ) x(t )d y (t ) Và sử dụng định lý lấy mẫu để biểu diễn đầu vào theo giá trị mẫu Từ định lý lấy mẫu cho thấy, tín hiệu thơng thấp w( ) có băng tần giới hạn B Hz biểu diễn theo giá trị mẫu là: sin 2 B( nT ) (13.66) w( ) w nT 2 B( nT ) n Trong 1/T tốc độ lấy mẫu với tốc độ Nyquist 2B Chọn tốc độ lấy mẫu nhỏ 2B để giảm thiểu tải tính tốn cho mơ hình mơ Sử dụng cách biểu diễn trên, với x(t ) w( ) , ta thay x(t ) tích chập x(t ) x t nT sin 2 B( nT ) n 2 B( nT ) (13.67) Dẫn đến: sin 2 B( nT ) h ( , t ) x t nT d 2 B( nT ) n sin 2 B( nT ) x t nT h ( , t ) d n - 2 B( nT ) y ( ) (13.68) Vì vậy, ta viết: y (t ) x(t nT ) g n n (t ) (13.69) Trong đó: g n (t ) sin 2 B( nT ) d 2 B( nT ) h( , t ) (13.70) Các phương trình (13.69) (13.70) định nghĩa mơ hình mơ cho hệ thống thay đổi theo thời gian Mơ hình đường trễ nhánh TDL Mơ hình cho (13.69) thực dạng đường trễ nhánh TDL cho hình 13.12, với hàm độ lợi nhánh định rõ (13.70) dạng tổng quát, hàm độ lợi nhánh trình ngẫu nhiên chúng bị tương quan nhau, nghĩa g n (t ) g m (t ) bị tương quan Đơn giản hóa mơ hình đường trễ rẽ nhánh TDL Mơ hình cho đơn giản hóa theo nhiều cách sử dụng giả định phép tính xấp xỉ Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 334 Thứ nhất, thường giả định trình độ lợi nhánh khơng tương quan Chúng xấp xỉ bởi: (13.71) gn (t ) Th nT , t Trong phép tính gần này, hàm độ lợi nhánh biểu diễn giá trị mẫu đáp ứng xung kim thay đổi theo thời gian h( , t ) , việc lấy mẫu thực biến đáp ứng xung kim Thứ hai, phép tính gần thứ bao gồm việc cắt đáp ứng xung kim Nếu: E h ( , t ) 0, mT Thì phép lấy tổng (13.69) cắt giảm 2m+1 số hạng sau: n x(t nT ) g n (t ) m x(t nT ).g (t ) (13.72) n n m Và mơ hình đường trễ rẽ nhánh có hữu hạn nhánh thấy hình 13.12 Tổng số nhánh nên giữ mức nhỏ để tối đa hóa hiệu tính tốn mơ hình Cuối cùng, hệ thống bất biến, h( , t ) h( ) , độ lợi nhánh trở thành số: gn (t ) gn Th(nT ) Nói cách khác, độ lợi nhánh giá trị mẫu đáp ứng xung kim hệ thống LTIV, mơ hình đường trễ rẽ nhánh rút gọn thành mơ hình bất biến xung kim, lọc FIR thực tích chập miền thời gian (xem hình 5.4 chương 5) x(t ) g m (t ) g (t ) g m (t ) y (t ) Hình 13.12: Mơ hình đường trễ nhánh TDL Theo khía cạnh khác TDL đáng quan tâm Mơ hình TDL cho hình 13.12 có tín hiệu vào/ra x(t ) y(t ) liên tục theo thời gian Tuy nhiên, mô ta phải dùng giá trị mẫu x(t ) vµ y (t ) Việc lấy mẫu thường thực với tốc độ lấy mẫu từ đên 16 lần độ rộng băng tần, độ rộng băng tần phải tính đến ảnh hưởng trải phổ chất thay đổi theo thời gian hệ thống gây Các ảnh hưởng thấy biểu thức (13.52) (13.64) Lưu ý rằng, tốc độ Nyquist 2B sử dụng để rút Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 335 mơ hình đường trễ rẽ nhánh TDL khoảng cách nhánh T = 1/2B, >>Ts, Ts chu kỳ lấy mẫu cho tín hiệu vào/ra Tất nhiên, rút mơ hình đường trễ rẽ nhánh TDL có khoảng cách nhánh nhỏ Ts, mơ khơng mang lại hiệu tính tốn khơng cần thiết để cải thiện độ xác Tạo q trình độ lợi nhánh Các trình độ lợi nhánh q trình ngẫu nhiên dừng có hàm mật độ xác suất mật độ phổ công suất cho trước Mơ hình đơn giản cho q trình độ lợi nhánh coi chúng trình Gausơ phức trung bình khơng, khơng tương quan có phương sai khác mật độ phổ công suất Trong trường hợp này, trình độ lợi nhánh tạo cách lọc trình Gausơ trắng cho hình 13.13 Độ lợi Đầu vào: Đầu vào nhánh x(t iT ) H( f ) Quá trình Gausơ phức phương sai đơn vị g i (t ) n(t ) Đầu nhánh Hình 13.13: Tạo trình độ lợi nhánh thứ i, t = kTs Hàm truyền đạt lọc chọn cho tạo mật độ phổ công suất mong muốn nghĩa H(f) chọn cho: S gg ( f ) S nn ( f ) H ( f ) H ( f ) (13.73) Trong S nn ( f ) mật độ phổ công suất trình tạp âm đầu vào, đặt 1, S gg ( f ) mật độ phổ cơng suất cụ thể q trình độ lợi nhánh Độ lợi khơng đổi (tĩnh) hình 13.13 giải thích cho mức cơng suất khác phương sai nhánh khác (lưu ý đến quan hệ phương sai công suất q trình ngẫu nhiên) Nếu mật độ phổ cơng suất độ lợi nhánh khác nhau, dùng lọc khác cho nhánh khác Có số cách thực lọc định dạng phổ (cũng xem lọc doppler mơ hình kênh) Bộ lọc FIR miền thời gian cách phổ biến mật độ phổ cơng suất (doppler) làm phân tán phổ thực dạng lặp Khi tạo trình độ lợi nhánh, cần lưu ý độ rộng băng tần trình độ lợi nhánh hệ thống thay đổi chậm theo thời gian nhỏ so với độ rộng băng tần hệ thống độ rộng băng tần tín hiệu truyền qua hệ thống Trong trường hợp này, lọc độ lợi nhánh nên thiết kế thực tốc độ lấy mẫu thấp Phép nội suy dùng đầu lọc để tạo mẫu dày đặc tốc độ phù hợp với tốc độ lấy mẫu tín hiệu đến nhánh Việc thiết kế lọc tốc độ lấy mẫu cao dẫn đến khơng hiệu tính tốn tính ổn định Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 336 13.5 Thực mô Matlab Ta kết thúc chương chương trình Matlab điển hình minh họa khái niệm trình bày chương 13.5.1 Mơ tượng trải rộng Doppler Trường hợp minh họa trải phổ (trải rộng Doppler) xảy hệ thống thay đổi theo thời gian cho (13.64) Hệ thống mô hệ thống đơn giản, đầu vào "đơn mang" thông dải dạng x(t ) cos[2 ( f f1 )t ] tương ứng với tín hiệu tương đương thơng thấp là: x(t ) e j 2 f1t (13.74) Đáp ứng xung kim tương đương thông thấp hệ thống giả định có dạng: h( , t ) a(t ). (t ) (13.75) Là kênh tồn thơng có trễ suy hao phức thay đổi theo thời gian a(t ) Suy hao mơ hình hóa q trình ngẫu nhiên Gausơ trung bình khơng có mật độ phổ công suất là: S aa ( f ) (13.76) ( j 2 f )2 B Trong B độ rộng băng tần doppler Đường bao phức đầu hệ thống thay đổi theo thời gian : y(t ) a(t ).x(t ) (13.77) Mơ mơ hình bao gồm việc tạo giá trị mẫu đơn mang đầu vào nhân với trình Gausơ phức lọc, lọc chọn để có hàm truyền đạt cho ta mật độ phổ công suất theo (13.76) Thấy rõ, phải có lọc có hàm truyền đạt: H (s) (13.78) sB Kết mô minh họa với giá trị tham số f1 = 512 Hz; B = 64 Hz; ; fs = 8.192 mẫu /s độ dài mô = 8.192 mẫu Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 337 Hình 13.14 : Trình bày trình Gausơ lọc miền tần số (trên) miền thời gian (dưới) Các kết mô cho hình 13.14 13.15 Mật độ phổ cơng suất q trình Gausơ lọc giá trị chuỗi Gausơ tương quan miền thời gian tạo lọc hình 13.14 Đơn mang đầu vào biểu diễn theo (13.74) đầu hệ thống thay đổi theo thời gian miền tần số cho hình 13.15 Trải phổ tính chất thay đổi theo thời gian hệ thống thấy khung hình 13.5 Mã chương trình Matlab thực tốn cho NVD13tiv1.m phụ lục 13A Hình 13.15: PSD đơn mang đầu vào đầu hệ thống bị trải rộng 13.5.2 Mơ tính chọn lọc tần số tính thay đổi theo thời gian Trường hợp ta minh họa khía cạnh kênh thay đổi theo thời gian: tính chọn lọc tần số thay đổi theo thời gian Trong trường hợp kênh tồn băng (allpass) hay kênh Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 338 không chọn lọc tần số (đôi gọi kênh phẳng) Tại đây, ta biến đổi mô hình hệ thống cho đáp ứng xung kim tương đương thơng thấp phức có dạng : h( , t ) a1 (t ). ( ) a2 (t ). ( ) (13.79) Thấy rõ, mơ hình mơ hình chọn lọc tần số cách xét phiên bất biến theo thời gian với : h ( , t ) a1 ( t ) a1 a2 ( t ) a2 a1. ( ) a2 ( ) (13.80) h ( ) Dẫn đến hàm truyền đạt với giả thiết = , ta : H ( f ) a1 a2 e j 2 f (13.81) Tính chọn lọc tần số thể chỗ hàm truyền đạt có giá trị khác tần số khác Đầu tương đương thông thấp phức hệ thống thay đổi theo thời gian cho (13.79) : y(t ) a1 (t ).x(t 1 ) a2 (t ).x( ) (13.82) Hình 13.16: Ảnh hưởng thành phần hai thành phần thay đổi theo thời gian Nếu đưa vào hệ thống tín hiệu BPSK, tính thay đổi theo thời gian hệ thống làm suy hao xoay pha tín hiệu BPSK hàm thời gian Bản chất chọn lọc tần số kênh thành phần bị trễ đầu [phương trình (13.79) (13.81)], biểu lộ dạng ISI Cả hai ảnh hưởng tường minh kết mơ cho hình 13.16 Các kết mơ có cách chạy chương trình Matlab NVD13tiv2.m phụ lục 13A với tham số: tốc độ ký hiệu BPSK = 512 bit/s, tốc độ lấy mẫu = 16 Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 339 mẫu/bit, độ rộng băng tần Doppler cho a1 (t ) , a2 (t ) 16 Hz , mẫu (một nửa khoảng thời gian bit) Trong hình 13.16, nửa minh họa ảnh hưởng thành phần thay đổi theo thời gian nửa minh họa ảnh hưởng thành phần Chỉ 500 mẫu (Lưu ý rằng: chương trình cho phụ lục 13A tạo hiển thị PSD đáp ứng xung kim thành phần Như ví dụ trước, mã chương trình Matlab cho phụ lục 13A tạo đồ thị khác Để rõ hơn, cần phải chạy chương trình nhiều lần với giá trị khác tham số mô quan sát, so sánh kết mô tương ứng với việc thay đổi giá trị tham số ... mơ hình cho hệ thống thay đổi thời gian Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 321 13. 2.1 Mô tả hệ thống LTV miền thời gian Các hệ thống thay đổi theo thời gian đặc điểm hóa. .. Chương 13: Mơ hình hóa mơ hệ thống thay đổi theo thời gian 329 Hình 13. 9: Biến đổi Fourier đáp ứng xung kim thay đổi theo thời gian Đầu hệ thống định nghĩa (13. 10) Thay (13. 35) (13. 41) vào (13. 10)... Dạng hàm thay đổi t h ( , t2 ) t2 b) Đáp ứng xung kim hệ thống thay đổi theo thời gian Hình 13. 2: Đáp ứng xung kim hệ thống thay đổi không thay đổi theo thời gian Trong đáp ứng xung hệ thống LTIV