Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TRêng ®¹i häc vinh CHẾ THỊ KIM PHỤNG VỀ MỞ RỘNG PHÂN BẬC CỦA NHÓM PHẠM TRÙ BỆN LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc NGHỆ AN 2014 e Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TRêng ®¹i häc vinh CHẾ THỊ KIM PH[.]
Bộ giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - CHẾ THỊ KIM PHỤNG VỀ MỞ RỘNG PHÂN BẬC CỦA NHĨM PHẠM TRÙ BỆN Ln ¸n tiÕn sÜ to¸n häc NGHỆ AN - 2014 e Bé giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - CHẾ THỊ KIM PHỤNG VỀ MỞ RỘNG PHÂN BẬC CỦA NHÓM PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Ln ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: PGS TS NGUYỄN TIẾN QUANG PGS TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN - 2014 e i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu đồng tác giả Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Chế Thị Kim Phụng e ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Tiến Quang Thầy Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin cảm ơn NCS Phạm Thị Cúc cộng tác viết báo chung thảo luận tốn có liên quan Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, thành viên Bộ mơn Đại số, Khoa Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Vinh nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Sư phạm Tốn học Phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh, - Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gịn, - Khoa Tốn học, Trường Đại học Đồng Tháp, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình người bạn thân thiết ln giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Chế Thị Kim Phụng e MỤC LỤC Mục lục Một số ký hiệu dùng luận án Bảng thuật ngữ Sơ đồ mối liên hệ khái niệm Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù monoidal 16 16 1.2 Nhóm phạm trù bện phạm trù Picard 1.3 Nhóm phạm trù phân bậc 19 22 1.4 Đối đồng điều Γ-môđun 25 1.5 Nhóm phạm trù phân bậc bện phạm trù Picard phân bậc 26 1.6 Kết luận Chương 29 Hệ nhân tử phạm trù Picard phân bậc 30 2.1 Hệ nhân tử lấy hệ tử phạm trù Picard 31 R 2.2 Hệ nhân tử lấy hệ tử phạm trù Picard (M, N, h) 35 2.3 Mở rộng Γ-môđun 41 2.4 Kết luận Chương 46 Môđun chéo bện nhóm phạm trù chặt chẽ bện 47 3.1 Mơđun chéo bện nhóm phạm trù chặt chẽ bện 48 3.2 Môđun chéo aben phạm trù Picard chặt chẽ 55 3.3 Mở rộng aben kiểu môđun chéo aben 59 3.4 Kết luận Chương 66 Γ-môđun chéo bện nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện 67 4.1 Γ-mơđun chéo bện nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện 68 4.2 Mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben 77 4.3 Kết luận Chương 84 e Mở rộng nhóm đẳng biến nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 85 5.1 Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 5.2 Hạt nhân đẳng biến 86 87 5.3 Phân lớp mở rộng nhóm đẳng biến mở rộng tâm 90 5.4 Hợp thành nhóm phạm trù phân bậc với Γ-đồng cấu 93 5.5 Kết luận Chương 96 Kết luận chung 97 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 98 Tài liệu tham khảo 99 Chỉ mục 103 e MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ký hiệu AbCross BrCross n HΓ,ab Nghĩa phạm trù môđun chéo aben phạm trù môđun chéo bện phạm trù rời rạc mở rộng tích chéo hệ nhân tử F tập lớp tương đương mở rộng nhóm A Π hàm tử monoidal nhóm phạm trù phân bậc nhóm phạm trù Γ-phân bậc kiểu (M, N, h) tập lớp đồng luân hàm tử từ C đến C tập mũi tên từ vật X đến vật Y nhóm đối đồng điều aben thứ n nhóm nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n nhóm nhóm đối đồng điều aben thứ n Γ-mơđun n HΓ,s nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n Γ-môđun idX n ZΓ,ab mũi tên đồng vật X (Γ-)môđun chéo bện (aben) tập mũi tên phạm trù C tập vật phạm trù C nhóm phạm trù bện nhóm phạm trù bện kiểu (M, N, h) nhóm phạm trù phân bậc bện tập lớp vật đẳng cấu phạm trù C tập tự mũi tên vật đơn vị I phạm trù thu gọn phạm trù P phạm trù thu gọn nhóm n-đối chu trình aben nhóm nhóm n-đối chu trình aben Γ-mơđun n ZΓ,s nhóm n-đối chu trình đối xứng Γ-mơđun Zsn nhóm n-đối chu trình đối xứng nhóm kết thúc chứng minh Dis M ∆(F) Ext(Π, A) (F, Fe, F∗ ) G R Γ (M, N, h) Hom[C, C ] Hom(X, Y ) n Hab Hsn M Mor(C) Ob(C) P R (M, N, h) P π0 (C) π1 (C) = Aut(I) P(h) Red N n Zab e BẢNG THUẬT NGỮ Tiếng Việt cản trở định lý phân lớp đối đồng điều đối xứng Γ-môđun chéo Γ-môđun chéo aben Γ-môđun chéo bện Γ-môđun chéo đối xứng giả hàm tử hàm tử monoidal hàm tử monoidal đối xứng hạt nhân đẳng biến hệ nhân tử lý thuyết cản trở lý thuyết Schreier môđun chéo môđun chéo aben môđun chéo bện môđun chéo đối xứng môđun chéo đẳng biến môđun chéo đẳng biến aben môđun chéo đẳng biến bện môđun chéo đẳng biến đối xứng mở rộng Γ-môđun mở rộng nhóm đẳng biến mở rộng tâm nhóm phạm trù nhóm phạm trù bện nhóm phạm trù phân bậc bện nhóm phạm trù chặt chẽ nhóm phạm trù đối xứng Tiếng Anh obstruction classification theorem symmetric cohomology Γ-crossed module abelian Γ-crossed module braided Γ-crossed module symmetric Γ-crossed module pseudofunctor monoidal functor symmetric monoidal functor equivariant kernel factor set obstruction theory Schreier theory crossed module abelian crossed module braided crossed module symmetric crossed module equivariant crossed module abelian equivariant crossed module braided equivariant crossed module symmetric equivariant crossed module Γ-module extension equivariant group extension central extension categorical group braided categorical group braided graded categorical group strict categorical group symmetric categorical group e nhóm phạm trù phân bậc đối xứng nhóm phạm trù phân bậc nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện phạm trù monoidal phạm trù monoidal đối xứng phạm trù Picard phạm trù Picard chặt chẽ phạm trù Picard phân bậc phạm trù Picard phân bậc chặt chẽ phạm trù tenxơ bện phép biến đổi tự nhiên ràng buộc ràng buộc đơn vị ràng buộc giao hốn ràng buộc kết hợp tích chéo tương đương monoidal e symmetric graded categorical group graded categorical group strict graded categorical group braided strict graded cate-group monoidal category symmetric monoidal category Picard category strict Picard category graded Picard category strict graded Picard category braided tensor category natural transformation constraint unit constraint commutativity constraint associativity constraint crossed product monoidal equivalence SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHÁI NIỆM Nhóm phạm trù phân bậc bện o o Nhóm phạm trù bện Nhóm phạm trù bện o O ? o Phạm trù Picard ? _ Phạm trù Picard phân bậc ?_ ?_ Nhóm phạm trù o chặt chẽ O bện ? o ? _ Phạm trù Picard Phạm trù Picard / Môđun chéo bện O ? / Môđun chéo aben chặt chẽ Mở rộng aben o ? _ Mở rộng aben kiểu mơđun chéo aben Nhóm phạm trù phân bậc bện o O ? Phạm trù Picard phân bậc o Nhóm phạm trù phân ? _ bậc chặtO chẽ bện o / Γ-môđun chéo bện O ? ? _ Phạm trù Picard o ? / Γ-môđun chéo aben phân bậc chặt chẽ Mở rộng Γ-môđun o ? _ Mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben e ... e nhóm phạm trù phân bậc đối xứng nhóm phạm trù phân bậc nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện phạm trù monoidal phạm trù monoidal đối xứng phạm trù Picard phạm trù. .. NIỆM Nhóm phạm trù phân bậc bện o o Nhóm phạm trù bện Nhóm phạm trù bện o O ? o Phạm trù Picard ? _ Phạm trù Picard phân bậc ?_ ?_ Nhóm phạm trù o chặt chẽ O bện ? o ? _ Phạm trù Picard Phạm trù. .. trù C nhóm phạm trù bện nhóm phạm trù bện kiểu (M, N, h) nhóm phạm trù phân bậc bện tập lớp vật đẳng cấu phạm trù C tập tự mũi tên vật đơn vị I phạm trù thu gọn phạm trù P phạm trù thu gọn nhóm