Đang tải... (xem toàn văn)
§¹i häc HuÕ Trêng §¹i häc S Ph¹m trÇn ®ç minh ch©u VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Chuyªn ngµnh §¹i sè vµ lý thuyÕt sè M sè 62 46 01 04 tãm t¾t luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n[.]
Đại học Huế Trường Đại học Sư Phạm trần đỗ minh châu Về tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mà số: 62.46.01.04 tóm tắt luận ¸n tiÕn sÜ to¸n häc HuÕ - 2014 e C«ng trình hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê thị Thanh Nhàn - ĐHKH Thái Nguyên GS.TS Lê Văn Thuyết - Đại học Huế Phản biện 1: Ph¶n biÖn 2: Ph¶n biƯn 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp trường Đại học Huế, số 04, Lê Lợi, thành phố Thừa Thiên Huế, vào hồi ngày tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu luận án tại: -Thư viện quốc gia Việt Nam -Thư viện trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế e Mở đầu Vào năm 1960, A Grothendieck đà giới thiệu lý thuyết đối đồng điều địa phương dựa công trình J P Serre năm 1955 bó đại số Ngay sau đó, lý thuyết nhanh chóng phát triển nhiều nhà toán học giới quan tâm Ngày lý thuyết đối đồng điều địa phương đà trở thành công cụ thiếu nhiều lĩnh vực khác toán học Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp Một kết quan trọng môđun đối đồng điều địa phương tính triệt tiêu Cho M môđun vành giao hoán Noether R Năm 1967, A Grothendieck đà môđun đối đồng điều địa phương triệt tiêu cấp HIi (M ) i > dim Supp M (R, m) vành địa phương, M hữu hạn sinh Hmd (M ) 6= 0, d = dim M Sau đó, ông chứng minh độ sâu M số i bé để Hmi (M ) 6= Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne tiếng khẳng định vành địa phương I iđêan (R, m) víi dim R = n th× HIn (R) = vµ chØ b R b + P) ≥ với iđêan nguyên tố liên kết chiều cao P dim R/(I b Tính chất nhiều người quan vành đầy đủ m-adic R tâm tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương Ngay M hữu hạn sinh HIi (M ) nhìn chung không hữu hạn sinh Vì người ta đặt câu hỏi với điều kiện môđun G Faltings đà đặc trưng số HIi (M ) hữu hạn sinh Năm 1978, i bé để HIi (M ) không hữu hạn sinh Đặc biệt, ông đưa nguyên lý địa phương toàn cục tính hữu hạn sinh môđun đối đồng điều địa phương Một tính chất ý môđun đối đồng điều địa phương tính Artin Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Năm 1971, chứng e minh ngắn gọn sử dụng giải nội xạ tối thiểu nội xạ M tính Artin bao E(R/m), I G Macdonald R Y Sharp đà suy Hmi (M ) Artin với i Sau đó, sử dụng Định lý triệt tiêu Lichtenbaum- Hartshorne, R Y Sharp phát lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thứ hai HId (M ) VỊ sau, L Melkersson ®· chøng minh lại hai kết tính Artin phương pháp sơ cấp Nhiều thông tin hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin Hmi (M ) HId (M ) đà phản ánh thông qua công trình R Y Sharp, M Brodmann-Sharp, M Hochster vµ C Huneke , K E Smith, K Divaani-Aazar P Schenzel, H Zo ăschinger công trình N T Cường học trò Theo I G Macdonald, tập iđêan nguyên tố gắn kết R-môđun Artin A, kí hiệu AttR A, có vai trò quan trọng tương tự tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Mục đích luận án nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp với giá cực đại với giá tùy ý sở Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao HId (M ), từ làm rõ cấu trúc môđun M vành R Đồng thời, tập iđêan nguyên tố gắn kết nghiên cứu mối liên hệ với số bội, tính bÃo hòa nguyên tố đối địa phương hóa hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) HId (M ) Nhắc lại R-môđun Artin A gọi thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyên tố AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p chứa AnnR A Tính bÃo hòa nguyên tố giới thiệu N T Cường L T Nhàn nhằm nghiên cứu cấu trúc môđun Artin Hmi (M ) có cấu trúc b-môđun Artin nên tập iđêan nguyên tố gắn kết Hmi (M ) R b R Chú ý môđun đối đồng điều địa phương xác định Câu hỏi tự nhiên đặt mối quan hệ hai tËp AttR Hmi (M ) AttRb Hmi (M ) Năm 1975, R Y Sharp chứng minh b chạy Att b Hmi (M ) tập iđêan nguyên iđêan nguyên tố P R vµ tè P∩R R i chÝnh lµ AttR Hm (M ) Ông đưa thêm số thông tin e chiều iđêan nguyên tố gắn kết đề ngược lại, cho trước tập Hmi (M ) trªn R Tuy nhiªn, vÊn AttR Hmi (M ), cách xác định tập AttRb Hmi (M ) chưa giải Trong luận án này, đưa câu trả lời cho vấn đề Khi R ảnh đồng cấu vành Gorenstein, R Y Sharp đà chứng minh nguyên lý chuyển dịch địa phương để chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết idim R/p Hmi (M ) qua địa phương hóa HpRp (Mp ) ý tưởng tiếp tục M Brodmann R Y Sharp sử dụng để nghiên cứu chiều số bội cho môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) mở rộng kết ®ã cho líp vµnh catenary phỉ dơng cã mäi thí hình thức Cohen-Macaulay Chú ý nguyên lý chuyển dịch địa phương không trường hợp tổng quát Vì toán thứ hai giải luận án tìm điều kiện vành sở với môđun R để tồn đối địa phương hóa tương thích Hmi (M ) Kết I G Macdonald R Y Sharp năm 1971 đà mô tả rõ ràng tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều cấp cao với giá cực đại b Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, Hmd (M ) R R năm 1979, R Y Sharp tiếp tục mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết vành HId (R) b Sau đó, K Divaani-Aazar P Schenzel đà mở rộng kết R cho môđun Mặc dù vậy, vấn đề xác định tập iđêan nguyên tố gắn kết HId (M ) vành R vấn đề mở Bài toán thứ ba giải luận án mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun vành HId (M ) R mối liên hệ với tính bÃo hòa nguyên tố, đối địa phương hóa công thức bội liên kết môđun Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, R thương vành Gorenstein cách sử dụng đối ngẫu địa phương tính chất quen biết môđun hữu hạn sinh ta có i thể thu thông tin Hm (M ) cách nhanh chóng Tuy nhiên, vành tùy ý, phải sử dụng khéo léo tập giả giá giíi thiƯu bëi e M Brodmann vµ R Y Sharp tính chất đặc thù chiều môđun Artin để chứng minh kết Để nghiên cứu lớp môđun HId (M ), cần đến hiểu biết sâu Định lý phân tích nguyên sơ Noether, tính chất đối hữu hạn HId (M ) số kết đà biết lớp môđun đối đồng điều địa phương Luận án chia làm chương Chương nhắc lại số kiến thức sở biểu diễn thứ cấp, môđun đối đồng điều địa phương Artin, chiều tính bÃo hòa nguyên tố môđun Artin, tính catenary phổ dụng vành Chương 2, viết dựa theo báo trình bày kết luận án tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp tùy ý với giá cực đại Chương trình bày kết luận án tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá Trong suốt luận án, giả thiết phương, (R, m) vành giao hoán Noether địa M R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d A R-môđun Artin Trong Chương 2, trình bày kết liên quan đến việc chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết Hmi (M ) qua đầy đủ m-adic Cụ thể, đặc trưng vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ tập AttR Hmi (M ) AttRb Hmi (M ) Chúng đưa điều kiện cần vành sở R để tồn hàm tử đối địa phương hóa tương thích với môđun Artin Hmi (M ) Với R-môđun hữu hạn sinh, công thức sau cho ta mối quan hệ c tập iđêan nguyên tố liên kết M tập iđêan nguyên tố liên kÕt cña M [ c= b R) b Ass b M Ass b (R/p R R p∈Ass M Tuy nhiªn công thức đối ngẫu cho môđun Artin AttRb A = [ p∈AttR A e A b R) b AssRb (R/p (1) nhìn chung không chí A = Hmi (M ) (xem VÝ dơ 2.1.2) Chóng t«i công thức (1) cho môđun Artin xạ cảm sinh A ánh b Spec(R) song ánh (Mệnh đề 2.1.3) Khi R f a : Spec(R) thương vành Gorenstein địa phương minh mối quan hệ sau (R0 , m0 ) chiỊu n, chóng t«i chøng AttR Hmi (M )) AttRb Hmi (M ) (Mệnh đề 2.1.7) AttRb (Hmi (M )) [ = b R) b AssRb (R/p (2) i (M )) p∈AttR (Hm Chó ý r»ng tồn vành Noether địa phương R viết dạng thương vành Gorenstein địa phương công thức (2) với R-môđun hữu hạn sinh M với số nguyên i (xem Ví dụ 2.1.8) Vì câu hỏi tự nhiên liệu quan hệ (2) trường hợp tổng quát hơn, R vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay Định lý 2.2.5, kết Chương 2, trả lời phần cho câu hỏi này, số đặc trưng vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ tËp AttRb (Hmi (M )) vµ AttR (Hmi (M )) đưa Công cụ để chứng minh Định lý 2.2.5 khái niệm giả giá giới thiệu M Brodmann R.Y Sharp Với số nguyên i 0, giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppiR (M ), cho công thức i−dim R/p PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec R : HpRp Chó ý r»ng vai trß cđa (Mp ) 6= 0} PsuppiR (M ) môđun Artin Hmi (M ) theo nghĩa tương tự tập giá môđun hữu hạn sinh Từ Định lý 2.2.5, suy đặc trưng cho lớp vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ PsuppiR (M ) c) (Hệ 2.2.8) PsuppiRb (M Với iđêan nguyên tố p R, hàm tử địa phương hóa p hàm tử khớp, tuyến tính từ phạm trù R-môđun đến phạm trù Rp -môđun thỏa e mÃn Mp Rp -môđun Noether Mp 6= víi mäi p ⊇ AnnR M Tuy nhiên, p AnnR A, p 6= m Ap = Vì thế, nhiều khía cạnh, hàm tử địa phương hóa không hữu ích việc nghiên cứu môđun Artin Do cần xây dựng với địa phương hóa" p Spec(R) hàm tử "đối Fp : MR MRp từ phạm trù R-môđun đến phạm trù Rp -môđun cho Fp tương thích với R-môđun Artin A, nghĩa Fp có tính chất sau: (a) Fp tuyến tính khớp phạm trù R-môđun Artin; (b) Fp biến R-môđun Artin thành Rp -môđun Artin; (c) Fp (A) 6= p AnnR A với R-môđun Artin A Chúng điều kiện cần để tồn hàm tử đối địa phương hóa ánh xạ tự nhiên thớ hình thức b thỏa mÃn tính chất lên Đặc biệt, RR R vành Artin (Định lý 2.3.8) Một số tác giả đà xây dựng đối địa phương hóa Fp , với p Spec(R) Tuy nhiên không đối địa phương hóa thỏa mÃn ba tính chất (a), (b), (c) Với giả thiết R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay, M Brodmann R.Y Sharp đà xem vai trò idim(R/p) Rp -môđun HpRp (Mp ) đối địa phương hóa môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) để xây dựng thành công công thức bội liên kết Hmi (M ) Câu hỏi đặt với điều kiện ta có đối địa phương hóa tương thích cho môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M )? Định lý 2.3.11 câu trả lời phận cho câu hỏi Chúng điều kiện cần để, với p Spec(R), tồn hàm tử đối địa phương hóa Fp : MR MRp từ phạm trù R-môđun đến phạm trù Rp -môđun cho Fp tương thích với môđun Hmi (M ) vành R catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay Trong Chương 3, quan tâm đến tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá mối e liên hệ với tính bÃo hòa nguyên tố số bội môđun Theo N T Cường L T Nhàn, R-môđun A thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyên tố AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p AnnR A Tính bÃo hòa nguyên tố nhìn chung không thỏa mÃn với môđun đối đồng điều địa phương Artin N T Cêng - L T Nhµn - N T Dung đà đặc trưng tính bÃo hòa nguyên tố cho môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại Hmd (M ) thông qua tính catenary cđa vµnh R/ AnnR (Hmd (M )) vµ chØ R miền nguyên không catenary Hmdim R (R) không bÃo hòa nguyên tố Với cấp i tùy ý, L T Nhàn T N An đà ®Ỉc trng tÝnh Hmi (M ) Hä chøng minh r»ng Hmi (M ) tháa m·n tÝnh i i b·o hòa nguyên tố PsuppR (M ) = Var AnnR Hm (M ) Chó b·o hßa nguyên tố ý môđun đối đồng điều địa phương HId (M ) Artin môđun không thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyên tố R thương vành quy (xem Ví dụ 3.3.7) Để nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết HId (M ), đặc trưng tính bÃo hòa nguyên tố cho môđun thông qua tính catenary vành chuyển môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại môđun thương M (Định lý 3.1.2) Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, R Y Sharp đà mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết cho môđun đối đồng điều địa phương vành đầy đủ HIdim R (R) b Kết đà K Divaani-Aazar P Schenzel R mở rộng cho môđun Trong luận án này, từ Định lý 3.1.2, mở rộng kết R Y Sharp cho trường hợp môđun HId (M ) thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyên tố (Hệ 3.2.2) Phần cuối chương dành để nghiên cứu đối giá số bội cho môđun HId (M ) Hàm tử "đối ngẫu với địa phương hóa" ®Þnh nghÜa bëi K E Smith Fp (−) = HomR HomR (, E(R/m)), E(R/p) từ phạm trù R-môđun đến phạm trù Rp -môđun, E() bao e nội xạ đà gợi ý cho định nghĩa khái niệm tập đối giá môđun đối đồng điều địa phương HId (M ), kí hiệu CosR (HId (M )), từ đưa đặc trưng khác cho tính bÃo hòa nguyên tố HId (M ) thông qua tập đối giá (Định lý 3.3.5) Với R-môđun Artin A, ta kí hiệu N-dimR A lµ chiỊu Noether cđa A giíi thiƯu bëi R N Roberts Theo D Kirby, q iđêan R cho (0 :A q) có độ dài hữu hạn `R (0 :A qn+1 ) đa thức bËc N-dimR A víi q hƯ sè h÷u tû n đủ lớn, ta kí hiệu đa thức A (n) Đặt N-dimR A = s Ta có biểu diÔn ΘqA (n) = `(0 :A q n+1 e0 (q, A) s )= n + ®a thøc cã bËc nhỏ s s! n 0, e0 (q, A) số nguyên dương Ta gọi e0 (q, A) bội A ứng với q Năm 2002, M Brodmann R Y Sharp đà giới thiệu khái niệm tập giả giá liên kết cho môđun đối giá số PsuppiR (M ) để xây dựng thành công công thức bội Hmi (M ) Kết cuối Chương sử dụng tập CosR (HId (M )) để đưa công thức liên kết số bội cho HId (M ) môđun thỏa mÃn tính bÃo hòa nguyên tố (Hệ 3.3.8) Chương kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kiến thức đà biết biểu diễn thứ cấp tập iđêan nguyên tố gắn kết, môđun đối đồng điều địa phương Artin, chiều tính bÃo hòa nguyên tố môđun Artin, lớp vành catenary phổ dơng nh»m thn tiƯn cho viƯc theo dâi kÕt qu¶ chương sau Mục 1.1 nhắc lại số khái niệm kết biểu diễn thứ cấp môđun Artin Mục 1.2 dành để nhắc lại số khái niệm tính chất môđun đối đồng điều địa phương tính độc lập với vành sở, tính triệt tiêu, tính Artin Chúng đặc biệt quan tâm đến tính chất tập iđêan nguyên e ... Macdonald, tập iđêan nguyên tố gắn kết R -môđun Artin A, kí hiệu AttR A, có vai trò quan trọng tương tự tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Mục đích luận án nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn. .. tả tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun vành HId (M ) R mối liên hệ với tính bÃo hòa nguyên tố, đối địa phương hóa công thức bội liên kết môđun Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu môđun đối đồng. .. rộng kết cho môđun Mục tiêu chương mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun HId (M ) vành R mối liên hệ với tính bÃo hòa nguyên tố, đối địa phương hóa công thức bội liên kết môđun tập iđêan nguyên