BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRI MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN BUCHSBAUM TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e Công trình được hoàn thành tại TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRI MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN BUCHSBAUM TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 e Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thái Hòa Phản biện 1: TS LÊ ĐỨC THOANG Phản biện 2: TS MAI QUÝ NĂM Luận văn bảo vệ Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, họp Trường Đại học Quy Nhơn vào ngày 31 tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin tư liệu, Trường Đại học Quy Nhơn - Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn e Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa 1.2 Sự phân tích nguyên sơ 1.3 Chiều Krull 1.4 Đối đồng điều địa phương 10 Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa 2.3 12 12 phương 17 Môđun Buchsbaum phân bậc 22 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO i e 26 MỞ ĐẦU Cho (R,m) vành giao hốn Noether địa phương, M Rmơđun hữu hạn sinh với dim M = d ≥ q iđêan tham số Khi đó,định lý đa thức Hillbert nói hàm độ dài λM,q (n) = l (M/q n M ) đa thức theo n n đủ lớn (n 0) Đặc biệt, bậc đa thức d, cịn tích hệ số nd với d! bội số e(q,M) Hơn nữa, hiệu I (M )=l (M/q n M )− e(q,M)) cho ta nhiều thông tin cấu trúc Mơđun M Ví dụ mơđun Cohen-Macaulay lớp mơđun quan trọng Đại số giao hốn,có thể đặc trưng điều kiện đây: (i) Hom (M) = với i 6= d (ii) Mọi hệ tham số M dãy quy (iii) Iq (M )=0 với iđêan tham số q M Từ ý tưởng nghiên cứu Iq (M ) hàm theo q dẫn đến việc hình thành lý thuyết mơđun Buchsbaum sau: Năm 1965, Buchsbaum nêu giả thiết: Với Môđun M tùy ý, Iq (M ) số không phụ thuộc vào cách chọn iđêan tham số q Năm 1973, Vogel v Stă uckrad ó xõy dng nhiu phn ví dụ để chứng tỏ giả thiết Buchsbaum không trường hợp tổng quát Tuy nhiên, Vogel lớp môđun thỏa mãn giả thiết e Buchsbaum nhiều kết tốt.Vogel gọi môđun thỏa mãn giả thiết Buchsbaum môđun Buchsbaum Chúng chọn đề tài : “Một số đặc trưng môđun Buchsbaum” để tiếp cận sâu Đại số giao hoán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa chứng minh lại số tính chất đại số địa phương, đại số đồng đều, đối ngẫu, giải phức đối ngẫu Một số nội dung dự kiến gồm: 1.1 Địa phương hóa 1.2 Sự phân tích nguyên sơ 1.3 Chiều Krull 1.4 Đối đồng điều địa phương 1.5 Đối ngẫu Chương 2: Môđun Buchsbaum Trong chương trình bày số đặc trưng mơđun Buchsbaum, mơđun Buchsbaum phân bậc tích segre mơđun Cohen-Macaulay phân bậc Nội dung dự kiến gồm: 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương 2.3 Mơđun Buchsbaum phân bậc Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi e xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 19 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè ln giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện e Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa Nội dung tiết trình bày theo [1] Cho R vành giao hốn có đơn vị Tập S ⊂ R gọi tập nhân đóng ∈ S với x, y ∈ S xy ∈ S Xét tập S × R = {(s, r) | s ∈ S r ∈ R} định nghĩa S × R quan hệ hai ngơi: ∀(s, r), (t, k) ∈ S × R, (s, r) ∼ (t, k) ⇔ ∃u ∈ S : u(st − kr) = Khi đó, quan hệ ∼ quan hệ tương đương Với (s, r) ∈ S × R, r ta kí hiệu lớp tương đương (s, r) tập thương (S × R)/∼ S −1 R s hay RS Ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: Với r k r k tr + sk r k rk ∈ Rs , + = = s t s t st s t st Chúng ta kiểm tra (RS , +, ) vành giao hốn có đơn vị e Định nghĩa 1.1.1 Vành RS gọi vành thương vành R tương ứng với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p ∈ Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, vành RS cịn kí hiệu Rp Mệnh đề 1.1.2 Cho R vành giao hốn có đơn vị, S tập nhân đóng R I iđêan R Khi khẳng định sau r (i) Tập IRS = IS = { | r ∈ I s ∈ S} iđêan vành RS s (ii) Với p ∈ Spec(R), Spec(Rp ) = {qRp | q ∈ Spec(R) q ⊂ p} (iii) Với p ∈ Spec(R), vành Rp vành địa phương với iđêan cực đại pRp Cho M R-môđun Xét vành thương RS với S tập nhân đóng Xét tập S × M = {(s, m) | s ∈ S m ∈ M } Trên tập S × M ta định nghĩa quan hệ hai ngôi: ∀(s, m), (t, n) ∈ S × M, (s, m) ∼ (t, n) ⇔ ∃u ∈ S : u(tm − sn) = Khi đó, quan hệ ∼ quan hệ tương đương S × M với m tập thương (s, m) ∈ S × M , ta kí hiệu lớp tương đương (s, m) s (S × M )/∼ S −1 M hay MS Ta định nghĩa phép cộng phép nhân vô hướng sau: m n m n tm + sn , ∈ MS , + = s t s t st m a m a am Với ∈ MS , ∈ RS , = s r s r rs Với e Chúng ta kiểm tra MS RS -môđun Định nghĩa 1.1.3 Môđun MS vành RS gọi mơđun địa phương hóa M tương ứng với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p ∈ Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, ta kí hiệu MS = Mp 1.2 Sự phân tích nguyên sơ Nội dung chương trình bày theo [5] Cho R vành Noether giao hoán M R-môđun Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M cho Ann(x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) hay Ass(M ) Mệnh đề 1.2.2 Các khẳng định sau (i) p ∈ Ass(M ) tồn môđun N M cho R/p ∼ = N (ii) Nếu p phần tử cực đại tập iđêan {Ann(x) | x ∈ M x 6= 0} p ∈ Ass(M ) Hệ 1.2.3 Ass(M ) = ∅ ⇔ M = Bổ đề 1.2.4 Cho S tập nhân đóng R Đặt R0 = S −1 R, M = S −1 M Khi AssR0 (M ) = AssR (M ) ∩ {p ∈ Spec(R) | p ∩ S = ∅} e Định lý 1.2.5 Cho R vành Noether giao hoán M R-mơđun Khi Ass(M ) ⊆ Supp(M ) phần tử cực tiểu Supp(M ) thuộc Ass(M ) Mệnh đề 1.2.6 Cho R vành Noether M R-môđun hữu hạn sinh Khi Ass(M ) tập hữu hạn Định nghĩa 1.2.7 Một R-môđun gọi đối nguyên sơ có iđêan nguyên tố liên kết Một môđun N M gọi môđun nguyên sơ M M/N đối nguyên sơ Nếu Ass(M/N ) = {p}, ta nói N p-nguyên sơ hay N liên kết với p Cho N môđun M Một phân tích nguyên sơ N biểu diễn dạng N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr với Qi nguyên sơ M Hơn nữa, phân tích nguyên sơ gọi rút gọn bỏ Qi iđêan nguyên tố liên kết M/Qi phần tử khác với i r Hiển nhiên, phân tích ngun sơ N đưa phân tích nguyên sơ rút gọn Bổ đề 1.2.8 Nếu N = Q1 ∩ ∩ Qr phân tích nguyên sơ rút gọn Qi liên kết với pi , ta có Ass(M/N ) = {p1 , , pr } Định lý 1.2.9 Cho R vành Noether M R-mơđun Khi T = Q(p), Q(p) mơđun p-ngun sơ p∈Ass(M ) e Chương Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số Trong chương 2, chúng tơi trình bày mốt số đặc trưng môđun Buchsbaum, môđun phân bậc theo [6] Kí hiệu R vành giao hốn Noether địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun Noether Cho q iđêan R cho `(M/qM ) < ∞ Khi đó, ta có hàm Hilbert-Samuel Pq (n) = `(M/qn+1 M ) tồn số nguyên e0 (q; M ) > 0, e1 (q; M ), , ed (q; M ) cho với n đủ lớn, ta có ! ! n+d n+d−1 Pq (n) = e0 (q; M ) + e1 (q; M ) + · · · + en (q; M ) d d−1 Hệ số e0 (q; M ) gọi số bội M ứng với iđêan q Năm 1965, D A Buchsbaum đặt giả thiết: Tồn số tự nhiên I(M ) cho hiệu `A (M/qM ) − e0 (q, M ) = I(M ) số với iđêan tham số q M Tuy nhiên, giả thiết không Và mục đích phần trình bày tính chất R-môđun M thỏa mãn giả thiết 12 e Định nghĩa 2.1.1 Cho M R-môđun Noether Một hệ phần tử x1 , , xr ∈ m gọi M -dãy yếu, với i = 1, , r (x1 , , xi−1 ) · M : xi = (x1 , , xi−1 ) · M : m Ta biết M -dãy phần hệ tham số M Đối với M -dãy yếu ta có kết sau Bổ đề 2.1.2 Cho M R-mơđun Noether với chiều d dương Khi đó, M -dãy yếu x1 , , xr với r ≤ d phần hệ tham số M Định nghĩa 2.1.3 Một R-môđun M Noether gọi môđun Buchsbaum hệ tham số M M -dãy yếu R gọi vành Buchsbaum mơđun Buchsbaum Bổ đề 2.1.4 Giả sử R ảnh tồn cấu vành địa phương B Một R-mơđun M môđun Buchsbaum R mơđun Buchsbaum coi B-mơđun “hạn chế vô hướng” Định nghĩa 2.1.5 Cho a ⊂ R iđêan M R-môđun Noether với dim M = d dim M/aM = Một hệ phần tử x1 , , xt R gọi M -cơ sở a điều kiện sau thỏa mãn: (i) x1 , , xt tạo thành sở tối tiểu a (ii) Với hệ i1 , , id số nguyên với ≤ i1 < · · · < id ≤ t phần tử xi1 , , xid lập thành hệ tham số M Mệnh đề 2.1.6 Cho a ⊂ R iđêan M1 , , Mn R-môđun Noether với dimR Mi /aMi = với i = 1, , n Khi a1 , , at ∈ a tạo thành Mi -cơ sở a với i = 1, , n e Hệ 2.1.7 Cho M môđun Buchsbaum Giả sử x1 , , xr phần hệ tham số M với r < dim M Khi M/(x1 , , xr )M M/U ((x1 , , xr )M ) môđun Buchsbaum Hơn nữa, Mp môđun Cohen-Macaulay với iđêan nguyên tố p 6= m p ∈ SuppM Mệnh đề 2.1.8 Gọi M mô-đun Noether R với d := dim M > Các điều kiện sau tương đương: (i) M mô-đun Buchsbaum, tức là, hệ tham số chuỗi M yếu (i)’ Với hệ tham số x1 , , xd M có (x1 , , xd−1 ) · · · M : xd = (x1 , , xd−1 ) · M : m (ii) Với hệ tham số x1 , , xd M i = 0, , d − có (x1 , , xi ) · · · M : xi+1 = (x1 , , xi ) · M : xvới x ∈ m cho x1 , , xi , x tạo thành phần hệ tham số M (ii)’ Với hệ tham số x1 , , xd M có (x1 , , xd−1 ) · · · M : xd = (x1 , , xd−1 ) · M : xvới mọix ∈ m cho x1 , , xd−1 , x lại tạo thành hệ tham số M (iii) Với hệ tham số x1 , , xd M có với i = 0, , d − 1: (x1 , , xi ) · · · M : xi+1 = (x1 , , xi ) · M : x2i+1 e (iii)’ Với hệ tham số x1 , , xd M có (x1 , , xd−1 ) · · · M : xd = (x1 , , xd−1 ) · M : x2d (iv) Với phần hệ tham số x1 , , xi M với i < d có U ((x1 , , xi ) · · · M ) = (x1 , , xi ) · M : m Định lý 2.1.9 Cho M R-môđun Noether với dim M = d Khi M mơđun Buchsbaum có số ngun I(M ) ≥ cho l(M/qM ) − e0 (q, M ) = I(M ) với iđêan tham số q M Bổ đề 2.1.10 Cho M R-mơđun Noether có chiều dương M c M môđun Buchsbaum bao đầy đủ m-adic M b Trong trường hợp I(M ) = I(M c) môđun Buchsbaum R Bổ đề 2.1.11 Cho M R-môđun Noether a ⊂ R iđêan cho M/aM mơđun Buchsbaum có chiều dương Khi đó, với phần hệ tham số x1 , , xr M/aM b := (x1 , , xr )R (a · M : m) ∩ bk · M ⊆ a · bk−1 · M với k ≥ 1(b0 := R) Bổ đề 2.1.12 Cho M mơđun Buchsbaum R có chiều dương Với hệ tham số x1 , , xd M , ta đặt q := (x1 , , xd ) · R Khi qk+1 · M : xd ∩ q · M = qk · M với k ≥ Nếu depthM ≥ qk+1 · M : xd = qk · M với k ≥ e Đặc trưng vành địa phương Buchsbaum R dẫn đến khái niệm R-dãy yếu Một số tác giả nghiên cứu tổng quát dãy quy M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay P Schen-zel [3] Chúng ta khái niệm trùng khớp khi xét vành địa phương Buchsbaum Định nghĩa 2.1.13 Cho R vành địa phương có độ dài n > Giả sử x1 , , xn hệ tham số R Khi x1 , , xn R-dãy yếu (x1 , , xi ) · R : xi+1 = (x1 , , xi ) · R : m với i = 0, , n − x1 , , xn cho d-dãy với tập {i1 , , ij } (có thể tập ∅) tập {1, , n} với k, m ∈ {1, , n} \ {i1 , , ij } ta có (xi , , xij ) · R : xk · xm = xi1 , , xij · R : xk x1 , , xn dãy quy tương đối với số nguyên i = 1, , n ta có (xi , , xij , xi+1 , , xn ) · R : xi ∩ (x1 , , xn ) · R = (x1 , , xi−1 , xi+1 , , xn ) · R Một phần tử x iđêan m-nguyên sơ q phần tử tuyệt đối cho q R (qk+1 : x) ∩ q = qk với số nguyên k ≥ 1, x1 , , xn gọi hệ tuyệt đối tham số xi phần tử tuyệt đối cho ảnh (x1 , , xn ) · R R/(x1 , , xi−1 ) · R với số nguyên i = 1, , n e x1 , , xn có thuộc tính (F ) (xi , , xij ) · R : xi ∩ (x1 , , xn ) · R = (x1 , , xi−1 ) · R với số nguyên ≤ i ≤ n Nếu i = ta (O : x1 ) ∩ (x1 , , xn ) · R = Mệnh đề 2.1.14 R vành Buchsbaum năm điều kiện Định nghĩa 2.1.13 thỏa mãn với hệ tham số R Trong trường hợp năm điều kiện tương đương 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương Cho R vành địa phương với iđêan cực đại m trường k := R/m Ta biết rằng, môđun Noether R môđun Cohen-Macaulay Hmi (M ) = với ≤ i < dim M (xem [6]) Kết sau cho ta thấy đối đồng điều địa phương công cụ để nghiên cứu môđun Buchsbaum Mệnh đề 2.2.1 Cho M R-môđun Noether với chiều dương Các điều kiện theo sau tương đương: (i) Tồn hệ tham số M m2 M -dãy yếu (ii) Mỗi hệ tham số M m2 M -dãy yếu i (iii) m.Hm (M ) = với ≤ i < dimM Hơn nữa, số điều kiện thỏa mãn ta có (iv) l(M/q.M )−e0 (q, M ) độc lập q với iđêan tham số q ⊆ m2 e ... tài : ? ?Một số đặc trưng môđun Buchsbaum” để tiếp cận sâu Đại số giao hoán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa chứng minh lại số tính chất đại số địa phương, đại số đồng... ĐẠI HỌC QUY NHƠN Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thái Hòa Phản biện 1: TS LÊ ĐỨC THOANG Phản biện 2: TS MAI QUÝ NĂM Luận văn bảo vệ Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, ... thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện e Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa Nội dung tiết