Dao động trong mạng tinh thể

Dao động trong mạng tinh thể

Baøi 3 1. Dao động của chuỗi nguyên tử Trong tinh thểcác nguyên tửdao động quanh các nút mạng trong không gian3chiều. Bài toán của một hệhạt cótương tác với nhau vàdao động với biên độnhỏquanh vò trícân bằng làmột trong những bài toán điển hình của Cơ học cổđiển. Đểthấy một sốtính chất quan trọng của các dao động đóta bắt đầu từmột chuỗi thẳng của các nguyên tử. )]xx()xx[(f dt xd m nnnn n −−−−= +− 11 2 2 x n = A exp i ( ωt +qna) x n làđộlệch khỏi vò trícân bằng của nguyên tửthứn f làhằng sốlực đàn hồitươngtácgiữa2 nguyêntử. Nghiệm códạng q -sốsóng a. Chuỗi thẳng dài vô hạn của các nguyên tử cócùng khối lượng m )qasin( m f 2 1 2±=ω cho thấy sựphụthuộc của tần sốdao động ω vào sốsóng q : ω làhàm tuần hoàn của q với chu kỳ a π 2 a q a π ≤≤ π − chỉcần xét q trong khoảng Vùng Brillouin thứnhất một chiều Thay nghiệm vào phương trình chuyển động được  Chỉcần các bước sóng lớn hơn 2a . Ở hìnhtrên, q = π/a tương ứng với λ=2a. q > π/a không cóýnghóa vật lývìkhông cónguyên tửdao động giữa một chu kỳ. Nhưvậy vectơsóngđượcphépchodaộngmạngnằmtrongvùngBrillouin thứnhất( |q| < π/a ). Do đótấtcảcóN giátròđược phépcủavectơsóng( vàbướcsóng) nằm trong khoảng -π/a < q < π/a. Mỗigiátròđótươngứngvớimột mode daộngcủamạng. Mode đóđượcgọilà mode chuẩn 2 2 qa qa sin ) m f (a q v p = ω = Vận tốc pha của sóng trong chuỗi : ªVớiq nhỏ( bước sóng dài ) vận tốc pha v p = a(f/m) 1/2 không đổi vàbằng vận tốc truyền âm trong tinh thể( ~ 3.10 5 cm/s ). ªKhi q tăng, vận tốc giảm : hiện tượng tán sắc. Sựtán sắc làdo ïảnh hưởng lẫn nhau giữa các phần nén vàdãn của sóng. Với các bước sóng ngắn các phần đórất gần nhau. ªKhi λ giảm đến 2a các phần nén vàdãn bùtrừlẫn nhau làm sóng biến mất > vận tốc bằng 0. 2 qa cos m f a dq d v nhóm = ω = Vận tốc truyền năng lượng - vậntốcnhóm: ( vận tốc truyền của các mặt đẳng pha ) Ởcác biên q = π/2 ,v nhóm = 0 : không truyền năng lượng a a q 2, == λ π ∞ → ≈ λ ,,0q 2 4 21 qa sin )m/f( / = ω Vuøng Brillouin thöùnhaát q 21 4 / )m/f( ω )qasin( m f 2 1 2±=ω Cósựphụthuộc tuyến tính trong miền này q m f 2 ω Với q nhỏ b. Chuỗi thẳng dài Lhữu hạn gồm N nguyên tửcócùng khối lượng m Từ x n = A exp i ( ωt +qna) expinqa= exp i(n+N)qa exp iNqa = 1 = exp i2πj Nqa=2πj j na q π = 2 j làcác sốnguyên dương hoặc âm. x(0) x(Na) Điều kiện biên tuần hoàn Born von Karman L = Na Điều kiện biên tuần hoàn : x n = x n+N f x )j N n t(iexpAx s ssn ∑ π +ω= 2 Các giátrò gián đoạn củaqxác đònhN dao động riêng của chuỗi. Nghiệm tổng quát thu được từsựtổhợp tuyến tính của tất cảcác nghiệm riêng L = Na Điều kiện biên tuần hoàn : x n = x n+N f x [...]... Hz Tinh thể có N nguyên tử có thể xem là một hệ động học Chuyển động của nó có thể mô tả bởi N tọa độ chuẩn độc lập với nhau Mỗi tọa độ chuẩn mô tả cho một cấu hình xác đònh của tất cả nguyên tử của tinh thể dao động điều hòa & & Q q + ω2 Q q = 0 q Dao động tập thể đó của tất cả các nguyên tử của tinh thể được gọi là dao động chuẩn của mạng Trong tọa độ chuẩn, năng lượng toàn phần của dao động mạng. .. hạt dao động đồng pha với biên độ bằng nhau có tần số thuộc nhánh âm với q nhỏ Trong trường hợp này ô mạng dòch chuyển như một toàn bộ Do đó xuất hiện các chỗ nén và dãn trong tinh thể tương tự như sự nén và dãn của tinh thể khi có sóng âm truyền qua Vì vậy dao động trong đó cả 2 nguyên tử trong ô đơn vò chuyển động đồng pha được gọi là dao động “ âm” Nhánh quang ứng với trường hợp 2 nguyên tử trong. .. (Qi2 + ωi2Qi2 ) 2 i =1 trong đó ωi là tần số dao động của mode chuẩn thứ i Với tọa độ chuẩn, dao động của mạng trương đương với 3N dao động điều hòa độc lập ( tất nhiên, mỗi dao động tử tương ứng với một mode chuẩn khác nhau ) Một dao động bất kỳ có thể biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của các dao động chuẩn Lý thuyết lượng tử cho chuyển động của N hạt có tương tác với nhau trong chuỗi Giải phương... q TA Nhánh quang Nhánh âm 2f µ 2f m 2f M q 1 1 1 = + µ m M Khi m = M : suy biến Chuỗi chỉ có 1 loại nguyên tử với chu kỳ a/2 2 Dao động của mạng tinh thể ng ng Để tính toán dùng thế V của tinh thể là hàm của tọa độ của tất cả các nguyên tử có trong tinh thể Khi mạng dao động, các nguyên tử lệch khỏi vò trí cân bằng Khai triển V thành chuỗi quanh vò trí cân bằng 1 ∂ 2V ρ ρ V = Vo + ∑ ( ρ )o sn sn '... 3 nhánh âm Cách làm trên có thể tổng quát cho trường hợp tinh thể có nhiều loại nguyên tử hoặc trong ô chứa nhiều nguyên tử Kết quả cho thấy : Nếu trong ô có p nguyên tử thì nói chung có 3p nhánh dao động ω1(q) , ω2 (q) , ω3 (q) ………….ωp (q) trong đó có 3 nhánh âm và 3p - 3 nhánh quang Các nhánh quang Ba nhánh âm Các nhánh này tùy theo sự đối xứng của mạng tinh thể có thể trùng nhau theo một số chiều... của dao động tử điều hòa đã được giải trong Cơ học lượng tử Trò riêng của nó là 1 Es = (n s + )ηωs 2 ns - số nguyên dương hoặc bằng 0 Khác với cổ điển, theo lý thuyết lượng tử năng lượng chỉ có thể lấy các giá trò gián đoạn Năng lượng ηωs có thể xem là một lượng tử năng lượng của dao động với tần số ωs. > phonon Nghiệm Ψs(Qs) ứng với năng lượng Es biểu thò cho trạng thái có ns phonon trong dao động. .. gọi là dao động “ âm” Nhánh quang ứng với trường hợp 2 nguyên tử trong ô dao động ngược pha nhau Biên độ dao động tỷ lệ ngược với khối lượng của hạt Trọng tâm của ô đơn vò không đổi Nếu 2 loại nguyên tử mang điện tích trái dấu thì trong ô xuất hiện mômen lưỡng cực điện nhờ đó có thể tương tác mạnh với sóng điện từ > loại dao động “ quang “ A O LO LA Tần số ω TO Nhánh quang Nhánh âm Vectơ sóng q TA... nhỏ có thể bỏ qua các số hạng bậc cao Phương trình chuyển động của nguyên tử thứ m ( khối lượng M ) 2ρ ∂ s ∂V ∂ 2V ρ M 2 = − ρ = −∑ ( ρ ρ )o sn ∂ sm ∂t n ∂ sn ∂ sm Giả thử chuyển động là tuần hoàn ρ ρo ρρ sm = sm exp i(ωt + qam ) ρ ρ ρ ρ am = n1a1 + n 2a2 + n 3a3 Thay nghiệm vào phương trình chuyển động ∂ 2V ρρ ρ 2 (o) (o) Mω sm − ∑ ( ρ ρ )o sn exp iq(an − am ) = 0 n ∂ sn ∂ sm Trong các tinh thể với... : có 2 nghiệm 2 ω− • • • • • 2f = M • • 2 ω+ • • • • 2f = m • q = π/a • Tần số thấp : nguyên tử nhẹ đứng yên, nguyên tử nặng dao động • • • • • • • • • • • • • Tần số thấp : nguyên tử nhẹ dao động , nguyên tử nặng đứng yên q = π/a 2 Với q nhỏ, hiệu pha nhỏ : các ô lân cận dao động gần như nhau f 2 ω = [( m + M ) ± (m + M )2 − 2mM (1 − cos qa) ] mM Khi qa . tinh thểkhi cósóng âm truyền qua. Vìvậy dao động trong đócả2 nguyên t trong ô đơn vò chuyển động đồng pha được gọi là dao động “âm”. Nhánh quang ứng với trường hợp 2 nguyên t trong ô dao động. Baøi 3 1. Dao động của chuỗi nguyên tử Trong tinh thểcác nguyên t dao động quanh các nút mạng trong không gian3chiều. Bài toán của một hệhạt cótương tác với nhau v dao động với biên độnhỏquanh. • Các hạt dao động đồng pha với biên độbằng nhau cótần sốthuộc nhánh âm với q nhỏ. Trong trường hợp này ô mạng dòch chuyển nhưmột toàn bộ. Do đóxuất hiện các chỗ nén vàdãn trong tinh thểtương