Electron trong trường tuần hoàn của tinh thể
Electron Electron trong tr trong tr ö ö ô ô ø ø ng tua ng tua à à n hoa n hoa ø ø n n cu cu û û a tinh the a tinh the å å Baøi 6 I. Ph I. Ph ư ư ơng tr ơng tr ì ì nh Schrodinger cu nh Schrodinger cu û û a tinh the a tinh the å å Các phép gần đúng : Phép gần đúng đoạn nhiệt Phép gần đúng một electron HΨ = EΨ )R(V)R,r(U r e 2 1 M2m2 H oi i ij ij 2 2 2 2 i i 2 αα ≠ α α +++∇−∇−= ∑∑∑∑ ηη Phöông trìnhSchrodingercuûa moät electron trong tinh theå )r(E)r()r(U m2 2 2 ρρρ η Ψ=Ψ +∇− 332211 anananR )r(U)Rr(U ρρρ ρ ρ ρ ρ ++= =+ II. Ha II. Ha ø ø m so m so ù ù ng ng va va ø ø năng l năng l ư ư ơ ơ ï ï ng ng E E cu cu û û a a electron electron trong trong tr tr ư ư ơ ơ ø ø ng ng the the á á tua tua à à n n hoa hoa ø ø n n Không thểsuy ra các tính chất của chất bán dẫn nếu không tính đến sựtuần hoàn của thếtrong tinh thể. Do đóchúng ta cần giải phương trình Schrodinger với một thếnăng tuần hoàn thích hợp. Cómột sốcách đểthực hiện điều đó. Nhưng người ta đã chứng minh được rằng tất cả các nghiệm phải cómột sốtính chất chung. Các tính chất chung đócóthểdùng đểcho tính toán được dễ dàng hơn vàđểhiểu được một cách tổng quát những ảnh hưởng của thếnăng tuần hoàn lên các trạng thái của cácsóngelectron. Điểm xuất phát : thếnăng tuần hoàn theo chu kỳcủa mạng tinh thể. ‘When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal…. By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation’ F. BLOCH 1) 1) Đ Đ ònh ònh ly ly ù ù Bloch Bloch Hàmsóngcủaelectron trongtrườngthếtuầnhoàncódạng Vềcơ bản, đònh lýBloch phát biểu điều kiện mà tất cả nghiệm Ψ k (r) cho một thếtuần hoàn bất kỳU(r)phải thỏa mãn hay r Đ Đ ònh ònh ly ly ù ù Bloch Bloch ĐònhlýBloch cóthểviếtdướihaidạngtươngđương với Sóng chạy e ikr hay r )()( ruRru kk ρ ρ ρ ρρ =+ U(x) từsựsắp xếp tuần hoàn của các nguyên tửbò biến điệu bởi exp(ikx) Hàm sóng của electron trong chuỗi nguyên tử Hàm Bloch : (x) = u(x).exp(ikx) 2) Năng l 2) Năng l ư ư ơ ơ ï ï ng ng electron electron trong tinh the trong tinh the å å Hàm sóng làmột hàm củak nên trò riêng củaHamiltonian - năng lượng của hệ-cũng phụthuộc vàok : . )k(EE ρ = * E làmột hàm chẵn củak : E(-k) = E(k). * E(k) làmột hàm tuần hoàn với chu kỳcủa mạng đảo. Do tính chất này, người ta thường giới hạn việc nghiên cứu sựphụ thuộc củaE theok trong trường hợp một chiều trong khoảng )k(E)Gk(E ρ ρ ρ =+ 332211 blblblG ρ ρ ρ ρ ++= a k a π ≤≤ π − Trong không gian k ba chiều, miền giới hạn đó, được gọi là vùng Brillouin thứnhất, làô nguyên tốWigner-Seitz của mạng đảo [...]... dE = =0 dk η dk π k = ±m a + Khi k ≈ 0 , λ→ ∞ Các electron có bước sóng rất dài không cảm thấy sự thay đổi tuần hoàn của trường thế năng của tinh thể : E ( k ) có dạng như của electron tự do, nghóa là với k ≈ 0 , E(k) ~ k2 : Giải phương trình Schrodinger Phép gần đúng electron tự do ng Năng lượng của electron tự do Năng lượng của electron trong tinh thể Giải phương trình Schrodinger 2 Phép gần đúng... phương trình của electron trong nguyên tử η2 2 ∇ + V( r ) ψ a ( r ) = E a ψ a ( r ) − 2m trong đó V ( r ) là thế năng của electron trong nguyên tử * Thế năng của trường tinh thể U ( r ) được xem là nhiễu loạn trong phép gần đúng này Giải phương trình Schrodinger Phép gần đúng liên kết mạnh ng nh 2 nguyên tử Na Năng lượng đẩy Na+Na Na2 hút Khoảng cách giữa hai nguyên tử Sự phủ của các hàm... trúc vùng năng ng lượng ng của Ge , Si và GaAs GaAs Si GaAs Ge Si Vectơ sóng k IV Khối lượng hiệu dụng ng ng 1 Với electron tự do, dưới tác dụng của ngoại lực F nó chuyển động theo quy luật F = ma trong đó m là khối lượng và a là gia tốc của electron Trong tinh thể : F + Fnội = m a Fnội khó xác đònh nên trong một số trường hợp nào đó ( chẳng hạn khi k ~ 0 tức là gần các cực trò của vùng năng lượng , ở... thuộc E ~ k2 ) có thể viết dưới dạng F = m* a trong đó m* có thứ nguyên là khối lượng được gọi là khối lượng hiệu dụng Khối lượng hiệu dụng ng ng F = m* a Có dạng của phương trình chuyển động của hạt tự do với khối lượng m* Với khối lượng hiệu dụng , phương trình Schrodinger cho electron trong trường tinh thể có dạng phương trình của electron tự do : 2 η − ∇ 2 Ψ ( x ) = EΨ ( x ) 2m * Trong phép gần đúng... 2 Ψ ( x ) = EΨ ( x ) 2m * Trong phép gần đúng khối lượng hiệu dụng : electron chuyển động trong trường tinh thể có thể xem như electron tự do nếu gán cho nó khối lượng hiệu dụng m* Khối lượng hiệu dụng ng ng 2 Khối lượng hiệu dụng m* có thể được xác đònh từ cấu trúc vùng năng lượng của electron Khai triển hàm E(k) gần các cực trò của vùng năng lượng 1 d2 E dE E( k ) = E ( k 0 ) + (k − k... d E 2 dk k = k 0 Khối lượng hiệu dụng ng ng Sự phụ thuộc của vận tốc nhóm và khối lượng hiệu dụng của electron vào cấu trúc vùng năng lượng Khối lượng hiệu dụng ng ng Khối lượng hiệu dụng m* lớn nhỏ Khối lượng hiệu dụng ng ng Trong trường hợp tinh thể không hoàn toàn đẳng hướng, năng lượng của electron gần điểm cực trò ko có thể viết dưới dạng 2 2 η ( k x − k ox ) E( k ) − E( k o ) = + 2 m1... hiệu dụng của các hạt tải có thể xác đònh bằng thực nghiệm ( cộng hưởng cyclotron ) Khối lượng hiệu dụng ng ng V Lỗ trống ng Mật độ dòng do n electron có trong vùng hóa trò ρ ρ j = − e ∑ vs s trong đó tổng được lấy theo mọi trạng thái có electron chiếm Nếu vùng hóa trò hoàn toàn đầy electron thì mật độ dòng tổng cộng bằng 0 vì khi nào cũng có 2 electron với vận tốc bằng và ngược chiều nhau Trong trường. .. của trạng thái hóa trò Năng lượng (eV) •Các trạng thái có năng lượng cao ( electron xa hạt nhân ) bò tách mức ở khoảng cách lớn Trạng thái cao nhất có electron chiếm Khoảng cách giữa hai nguyên tử trong tinh thể Các electrons ởû lớp vỏ trong Khoảng cách giữa hai nguyên tử , nm Giải phương trình Schrodinger Phép gần đúng liên kết mạnh ng nh Giả thử lúc đầu có N nguyên tử được sắp xếp một cách tuần hoàn. .. vùng năng lượng trong chất rắn Vùng năng lượng trong chất rắn Mức năng lượng trong nguyên tử Giải phương trình Schrodinger 3 Phương pháp Penney - Kronig Giải phương trình Schrodinger Phương pháp Penney - Kronig Giải phương trình Schrodinger η2 2 ∇ + U(x) Ψ (x) = EΨ(x) − 2m cho trường hợp thế năng của trường tinh thể có dạng đơn giản Uo với -b ≤ x ≤ 0 U(x) = 0 với 0 ≤ x ≤ a’ trong đó a = a’... mạng tinh thể một chiều có dạng như hình vẽ Gần các gốc nguyên tử , thế năng thấp hơn giá trò trung bình của nó Do đó, thế năng trong trạng thái ψ+ phải nhỏ hơn trong trạng thái ψ- ( động năng của chúng bằng nhau do có cùng k ) Từ những kết quả trên suy ra : π + Năng lượng của electron trong tinh thể bò gián đoạn khi k = ± m a π + Với k = ± m hình thành sóng đứng a Do sóng đứng không truyền năng lượng . a electron electron trong trong tr tr ư ư ơ ơ ø ø ng ng the the á á tua tua à à n n hoa hoa ø ø n n Không thểsuy ra các tính chất của chất bán dẫn nếu không tính đến s tuần hoàn của th trong. cực trò tại + Khik ≈ 0 , λ→∞. Các electron cóbước sóng rất dài không cảm thấy sựthay đổi tuần hoàn của trường thếnăng của tinh thể: E ( k ) códạng nh của electron tựdo, nghóa là với k ≈ 0 ,. đ đ u u ù ù ng ng electron electron t t ự ự do do * Bài toán không nhiễu loạn được mô tảbởi phương trình của electron tựdo * Nhiễu loạn trong phép gần đúng này làthếnăng của trường tinh thểU ( r )