ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NINH VĂN THU Hà Nội - 2016 z LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn dạy tận tình TS Ninh Văn Thu Nhân dịp này, xin kính gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập khoa Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học nhà trường tạo điều kiện thuận lợi để tơi sớm hồn thành luận văn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè Những người bên cạnh ủng hộ, động viên, giúp đỡ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù thân tơi có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Dương Thị Ngọc Oanh z Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích phức 1.2 Tính chất địa phương ánh xạ bảo giác 1.3 Khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo 1.4 Khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc 10 1.5 Một số kết hàm triệt tiêu cấp vô hạn 10 1.6 Định lý hoa Leau-Fatou 12 1.7 Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 13 Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 16 2.1 Nhóm G2 (MP , 0) 17 2.2 Nhóm CR tự đẳng cấu MP 18 2.3 Nhóm CR tự đẳng cấu siêu mặt dạng ống C2 22 2.4 Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với MP TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 36 z DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • N, Z, Q, R, C: tương ứng tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ, tập số thực, tập số phức • υ0 (f ): Ký hiệu cấp triệt tiêu hàm f dùng định nghĩa loại điểm vơ hạn D’Angelo • Ký hiệu ≈ kết hợp với ký hiệu &: Dùng cho ký hiệu bất đẳng thức sai khác số dương • C∞ -trơn: Dùng hàm khả vi liên tục cấp vơ hạn • P (z) = Pz (z) = ∂P (z): Đạo hàm theo biến z hàm P ∂z • 4r = {z ∈ C : |z| < r} với r > ký hiệu := 41 • ∆0 = {z ∈ C : |z| < 0 } ∆∗0 = ∆0 \ {0} • Giả sử M mầm siêu mặt quanh điểm p ∈ C2 Khi đó, nhóm tự đẳng cấu M (kí hiệu Aut(M )) tập hợp song chỉnh hình f : U → f (U )) thỏa mãn f (U ∩ M ) ⊂ M , U lân cận p C2 • Aut(M, p) = {f ∈ Aut(M ) : f (p) = p} nhóm ổn định M p • aut(M, p) = H = h1 (z1 , z2 ) ∂z∂ + h2 (z1 , z2 ) ∂z∂ Ở đây, H tiếp xúc với M , H trường vector chỉnh hình h1 , h2 hàm chỉnh hình lân cận p • aut0 (M, p) = H ∈ aut(M, p) : H(p) = • MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re(z1 ) + P (z2 ) = 0}, P ∈ C ∞ (C) ν0 (P ) = +∞ • S∞ (P ) = {z2 ∈ ∆0 : νz2 (P ) = +∞}, νz2 (P ) cấp triệt tiêu hàm P (z2 + ξ) − P (z2 ) ξ = • P∞ (MP ) tập hợp điểm có kiểu vơ hạn MP z MỞ ĐẦU Giả sử (M, p) mầm siêu mặt Cn cho p điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo (gọi tắt kiểu vơ hạn) Nhóm tự đẳng cấu M (kí hiệu Aut(M )) nhóm tất song ánh chỉnh hình lân cận M biến M vào M Nhóm ổn định M p (kí hiệu Aut(M, p)) nhóm tất tự đẳng cấu M biến p thành p Tập hợp tất trường vector chỉnh hình Cn tiếp xúc với M triệt tiêu p kí hiệu aut0 (M, p) Bài toán đặt mơ tả nhóm CR tự đẳng cấu Aut(M, p) mơ tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (M, p) mầm siêu mặt (M, p) Trong luận văn này, xét siêu mặt đặc biệt Cụ thể, chúng tơi xét mơ hình kiểu vô hạn MP định nghĩa sau MP := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re z1 + P (z2 ) = 0}, P 6≡ hàm C ∞ -trơn, triệt tiêu cấp vô hạn z2 = Nội dung luận văn tìm hiểu kết nhóm CR tự đẳng cấu Aut(MP , 0) mô tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0 (MP , 0) mơ hình kiểu vơ hạn MP Luận văn trình bày dựa theo báo “Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of models in C2 " Atsushi Hayashimoto Ninh Văn Thu ([1]) Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích phức khái niệm hàm chỉnh hình, ánh xạ bảo giác, khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc, khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lý hoa Leau -Fatou Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 Chương II: Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 Trong chương này, mơ tả nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 mô tả trường vector chỉnh hình tiếp xúc MP Nội dung chủ yếu chứng minh Định lý 2.2.1, 2.3.1 2.4.1 z Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm giải tích phức Giả sử Ω miền mặt phẳng phức C f hàm biến phức z = x + iy xác định Ω Định nghĩa 1.1.1 Hàm f gọi C - khả vi điểm z0 ∈ Ω tồn giới hạn f (z0 + h) − f (z0 ) h h→0 lim Khi đó, ta nói giới hạn đạo hàm phức f điểm z0 kí hiệu f (z0 ) Định nghĩa 1.1.2 Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 C khả vi lân cận điểm z0 Hàm f gọi chỉnh hình miền Ω chỉnh hình điểm miền Hàm chỉnh hình cịn gọi hàm giải tích hàm chỉnh hình ln khai triển thành chuỗi Taylor điểm miền xác định ˆ lên G ⊂ C ˆ Định nghĩa 1.1.3 f ánh xạ bảo giác từ miền D ⊂ C f phân hình D f đơn ánh f (D) = G z Ta nói f ánh xạ bảo giác từ D vào G (3) thay f (D) ⊂ G Nhận xét 1.1 Nếu f có cực điểm ∞ bảo giác ∞ ∞ cực điểm đơn f Chúng ta định nghĩa ánh xạ bảo giác tập liên thơng Dưới tính chất ánh xạ bảo giác • Ánh xạ ngược ánh xạ bảo giác ánh xạ bảo giác • Một ánh xạ bảo giác đồng phôi, tức đơn ánh liên tục với ánh xạ ngược liên tục • Mọi ánh xạ bảo giác đơn diệp địa phương, tức đạo hàm khơng triệt tiêu có cực điểm đơn • Các góc cung bao gồm định hướng bảo toàn qua ánh xạ bảo giác 1.2 Tính chất địa phương ánh xạ bảo giác Định nghĩa 1.2.1 Cho g1 , g2 hai ánh xạ bảo giác thỏa mãn g1 (0) = g2 (0) = Ta nói g1 g2 liên hợp chỉnh hình địa phương tồn ánh xạ song chỉnh hình ϕ với ϕ(0) = cho g1 ≡ ϕ−1 ◦ g2 ◦ ϕ Định nghĩa 1.2.2 Cho g ánh xạ bảo giác thỏa mãn g(0) = Khi đó, ta nói (i) g tiếp xúc với đồng g (0) = 1; (ii) g parabolic g (0) = e2πip/q với p, q ∈ Z; (iii) g elliptic g (0) = e2πiθ với θ ∈ R \ Q Bổ đề 1.2.1 Cho hàm P C ∞ -trơn ∆0 (0 > 0) thỏa mãn ν0 (P ) = +∞ P (z) 6≡ Giả sử tồn ánh xạ bảo giác g ∆0 với g(0) = cho P (g(z)) = β + o(1) P (z), z ∈ ∆0 với β ∈ R∗ Khi đó, |g (0)| = z Chứng minh Giả sử tồn ánh xạ bảo giác g thỏa mãn g(0) = β ∈ R∗ cho P (g(z)) = β + o(1) P (z), ∀ z ∈ ∆0 Khi đó, ta có P (g(z)) = β + γ(z) P (z), z ∈ ∆0 , với γ hàm xác định ∆0 thỏa mãn γ(z) → z → Do γ(z) → z → nên tồn δ0 > cho |γ(z)| < β/2 với z ∈ ∆δ0 Chúng ta xét trường hợp sau: Trường hợp < |g (0)| < Chọn δ0 α thỏa mãn < δ0 < 0 |g (0)| < α < cho |g(z)| ≤ α|z| với z ∈ ∆δ0 Cố định z0 ∈ ∆∗δ0 mà P (z0 ) 6= Khi đó, với số nguyên dương n, ta có n n−1 n−1 |P (g (z0 ))| = | β + γ(g (z0 )) ||P (g (z0 ))| = · · · = | β + γ(g n−1 (z0 )) | · · · | β + γ(z0 ) ||P (z0 )| ≥ β − |γ(g n−1 (z0 ))| · · · β − |γ(z0 )| |P (z0 )| n ≥ β/2 (1.1) |P (z0 )|, g n hợp thành n lần g Hơn nữa, < α < nên tồn m0 ∈ Z∗ cho |αm0 | < β/2 Do đó, < |g n (z0 )| ≤ αn |z0 | với n ∈ N Từ (1.1), ta có |P (g n (z0 ))| |P ((z0 )| β/2 n ≥ (1.2) n m0 m0 m0 |g (z0 )| Do |αm0 | < β/2 nên β/2 α m0 n |z0 | α → +∞ n → ∞ Vì vậy, |P (g n (z0 ))| |g n (z0 )|m0 → +∞ n → ∞ Điều mâu thuẫn P (z) triệt tiêu cấp vô hạn Trường hợp |g (0)| > Do P (g(z)) = (β + o(1))P (z) với z ∈ ∆0 nên ta suy P (g −1 (z)) = (1/β + o(1))P (z) với z ∈ ∆0 Theo Trường hợp 1, điều khơng xảy Do đó, |g (0)| = bổ đề chứng minh Bổ đề 1.2.2 Cho f : [−r, r] → R (r > 0) hàm liên tục cho f (0) = f 6≡ Nếu β số thực thỏa mãn f (t + βf (t)) = f (t) với t ∈ [−r, r] t + βf (t) ∈ [−r, r] β = z Chứng minh Giả sử phản chứng tồn β 6= cho f (t + βf (t)) = f (t) với t ∈ [−r, r] t + βf (t) ∈ [−r, r] Khi đó, ta có f (t) = f (t + βf (t)) = f t + βf (t) + βf (t + βf (t)) (1.3) = f t + 2βf (t) = · · · = f (t + mβf (t)) với m ∈ N, t ∈ [−r, r] t + mβf (t) ∈ [−r, r] Do f 6≡ nên ta chọn t0 ∈ [−r, r] cho f (t0 ) 6= Do f liên tục tập compact nên f liên tục [−r, r], tức với > tồn δ > với t1 , t2 ∈ [−r, r] mà |t1 − t2 | < δ , ta có |f (t1 ) − f (t2 )| < /2 Mặt khác, f (t) → t → (do f liên tục) f 6≡ nên ta tìm t ∈ [−δ/2, δ/2] cho |βf (t)| < δ < |f (t)| < /2 Vì vậy, ta ln tìm số ngun m cho |t + mβf (t) − t0 | < δ Từ phương trình (1.3), ta có |f (t0 )| = |f (t0 ) − f (t + mβf (t)) + f (t + mβf (t))| ≤ |f (t + mβf (t)) − f (t0 )| + |f (t + mβf (t))| < /2 + |f (t)| < /2 + /2 = Do đó, f (t0 ) = Điều mâu thuẫn với giả thiết f 6≡ Vậy, bổ đề chứng minh Ví dụ sau minh họa cho Bổ đề 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Cho f : [−1, 1] → R hàm cho f (x) = x2 Giả sử tồn β ∈ R cho f (t + βf (t)) = f (t) với t ∈ [−1, 1], t + βf (t) ∈ [0, 1] Khi đó, ta có (t + βt2 )2 = t2 Do đó, tính tốn đơn giản ta suy β = Bổ đề 1.2.4 Cho P C ∞ -trơn thỏa mãn P (0) = g ánh xạ bảo giác thỏa mãn g(0) = 0, |g (0)| = g 6= id Nếu tồn số thực dương δ thỏa mãn P (g(z)) ≡ δP (z) δ = Ngồi ra, ta có g (0) = e2πip/q (p, q ∈ Z) g q = id g (0) = e2πiθ với θ ∈ R \ Q Chứng minh Thay g hàm ngược cần, ta giả sử δ ≥ (vì δ ≥ ta xét g −1 ) Chúng ta chia toán làm trường hợp Trường hợp g (0) = Theo Định lý hoa Leau-Fatou, tồn z lân cận đủ bé với P (z) 6= cho limn→+∞ g n (z) = Do z ... xúc với siêu mặt dạng ống C2 13 Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 16 2.1 Nhóm G2 (MP , 0) 17 2.2 Nhóm CR tự đẳng cấu MP ... HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG THỊ NGỌC OANH VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2 Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lý hoa Leau -Fatou Đặc trưng trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống C2 Chương II: Nhóm CR tự đẳng cấu số lớp siêu mặt kiểu vô hạn C2 Trong