Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ DUY HOÀNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành Đại số và lý thuyết số Mã số 846010104 LUẬN VĂN TH[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HOÀNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 846010104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2019 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HỒNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 846010104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đào Phương Bắc Hà Nội-2019 z Mục lục Lời mở đầu Bảng số ký hiệu Bảng số thuật ngữ Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sơ lược đa tạp đại số affine 1.2 Sơ lược nhóm đại số tuyến tính 1.2.1 Nhóm đại số affine 1.2.2 Nhóm đại số tuyến tính 10 1.2.3 Tôpô Zariski, thành phần bất khả quy nhóm đại số 12 1.2.4 Định lý thứ hai Hilbert 15 1.3 Khai triển Jordan tự đồng cấu phần tử nhóm đại số 20 1.4 Đại số Lie nhóm đại số G 23 1.4.1 Cách xây dựng 23 1.4.2 Các ví dụ 25 1.4.3 Các tác động liên hợp phụ hợp 26 Nhóm reductive, nhóm nửa đơn, sơ lược hệ nghiệm 28 1.5.1 Định lý nhóm nửa đơn 28 1.5.2 Sơ lược hệ nghiệm 30 Quỹ đạo nhóm đại số 31 1.5 1.6 Một số phiên tính chất hữu hạn quỹ đạo 33 2.1 Định lý hữu hạn Richardson 33 2.2 Định lý hữu hạn Slodowy 39 2.3 Cặp reductive lớp liên hợp phần tử lũy đơn 41 i z Một số ứng dụng tính chất hữu hạn lớp liên hợp 3.1 3.2 49 Ứng dụng vào đa tạp lũy đơn 49 3.1.1 Phần tử quy nhóm đại số 49 3.1.2 Lớp lũy đơn 54 Các câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn số lớp biểu diễn 57 Kết luận 59 ii z LỜI MỞ ĐẦU Các điều kiện, tính chất liên quan đến tính hữu hạn đóng vai trị quan trọng tốn mang nhiều nội dung Đại số Có thể kể số tính chất, kết quan trọng như: tính chất Noether vành (mọi iđêan hữu hạn sinh), Định lý sở Hilbert nói vành đa thức hữu hạn biến trường ln Noether, tính hữu hạn số loại đối đồng điều (chẳng hạn, đối đồng điều Galois) Trong luận văn tác giả trình bày kết Richardson đề cập đến tính hữu hạn số quỹ đạo ứng với nhóm nhóm lớn xét tác động liên hợp, phiên khác Slodowy (khi xét tác động liên hợp đồng thời), số ứng dụng vào tồn phần tử quy lũy đơn câu hỏi Kulshammer lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Cho G nhóm đại số với H nhóm cho (H, G) cặp reductive Ta xét tác động liên hợp G lên thơng qua tự đẳng cấu Tác động cảm sinh tác động phụ hợp G lên đại số Lie g tương ứng Cho phần tử x ∈ h, h ∈ H Ký hiệu G.x, G.h quỹ đạo x h hai tác động nói Thế Định lý hữu hạn Richardson (xem Định lý 2.1.2) khẳng định giao G.x ∩ h (tương ứng G.h ∩ H) gồm hữu hạn quỹ đạo H trường K có đặc số Hệ khẳng định chứng minh trước B Kostant nói rằng: K trường đặc số 0, đại số Lie g (tương ứng nhóm đại số G) nửa đơn chúng có hữu hạn lớp liên hợp phần tử lũy linh (tương ứng, lũy đơn) Thêm vào với đặc số trường K tùy ý cặp (H, GL(V )) cặp reductive định lý hữu hạn (xem Định lý 2.1.4) Do G nhóm reductive xác định trường đặc số tốt (good characteristic, xem Định nghĩa 2.3.4), số lớp liên hợp phần tử lũy đơn hữu hạn Điều trả lời phần lớn cho giả thuyết tính hữu hạn số lớp lũy đơn R Steinberg đặt Đại hội Tốn học giới năm 1966 (khơng có giới hạn hệ số) Sau giả thuyết chứng minh hoàn toàn G Lusztig năm 1976 (xem Định lý 2.3.8) cách sử dụng công cụ lý thuyết đồng điều giao (intersection homology) Tiếp đến, thay cho tác động liên hợp thông thường, P Slodowy nghiên cứu câu hỏi tương tự G tác động lên Gn = G × ⋯ × G (tương ứng, gn = g × ⋯ × g) phép liên hợp (tương ứng, phụ hợp) đồng thời thu kết tương tự Richardson (xem [12]) Đặc biệt Hệ 2.2.2 khẳng định nhóm sinh phần tử h1 , , hn ∈ H tách G (nghĩa cấu xạ quỹ đạo G → G.(h1 , , hn ) tách), H ≤ G cặp z reductive G.(h1 , h2 , , hn ) ∩ H n gồm hữu hạn quỹ đạo H Gần trường hợp nhóm sinh phần tử h1 , , hn ∈ H không tách G nhiều quan tâm số ví dụ (khá phức tạp) cho việc G.(h1 , h2 , , hn ) ∩ H n gồm vô hạn lớp liên hợp đồng thời H tìm [1], [17] (xem Ví dụ 2.2.4, Định lý 2.2.5) Tuy xét lớp liên hợp bình thường (khi n = 1), số lớp liên hợp H hữu hạn theo kết R Guralnick (xem Định lý 2.2.6) Một ứng dụng quan trọng tính chất hữu hạn lớp liên hợp phần tử lũy đơn tồn phần tử quy lũy đơn (xem Định lý 3.1.8) Từ dẫn đến tốn tìm hiểu đa tạp lũy đơn (nói chung có kỳ dị), giải kỳ dị (phép giải Springer (Springer’s resolution)) mà nội dung phạm vi luận văn Ứng dụng thứ hai mà luận văn đề cập đến hai câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn số lớp biểu diễn nhóm hữu hạn vào nhóm đại số tuyến tính (khơng thiết nhóm GL(V )) Trong luận văn tác giả trình bày việc đọc hiểu viết lại chi tiết số kết nói Ngồi đơi chỗ tác giả có bổ sung thêm chứng minh ví dụ (chẳng hạn Nhận xét 2.3.9, hay Ví dụ 2.3.10) Luận văn gồm chương Chương đầu chương kiến thức chuẩn bị Định lý quan trọng tác giả trình bày chi tiết chứng minh Định lý thứ hai Hilbert (gọi theo R Steinberg) nói ảnh tập dày (xem Định nghĩa 1.2.14) qua cấu xạ tập dày (xem Mệnh đề 1.2.15) Ngoài tác giả trình bày số kiến thức nhóm đại số, phần tử nửa đơn, lũy đơn nhóm đại số, sơ lược cấu trúc nhóm reductive, đại số Lie nhóm đại số, quỹ đạo nhóm đại số Đặc biệt luận văn trình bày cách dùng Định lý thứ hai Hilbert để rút kết quan trọng quỹ đạo nhóm đại số: quỹ đạo mở bao đóng (xem Định lý 1.6.1) Trong Chương tác giả trình bày Định lý hữu hạn Richardson số ví dụ ứng dụng Điểm mấu chốt chứng minh số tính tốn Đại số Lie nhóm đại số khơng gian tiếp xúc quỹ đạo Sau tác giả trình bày phiên P Slodowy xét tác động liên hợp đồng thời Vì điều kiện cặp reductive đưa Richardson quan trọng, nên tác giả dành mục chương cho việc tìm hiểu kỹ cặp reductive ứng dụng Định lý hữu hạn Richardson rút số lớp liên hợp phần tử lũy đơn hữu hạn đặc số k tốt Trong phần này, tác giả trình bày thêm ví dụ cặp khơng reductive (Ví dụ 2.3.10) Trong Chương cuối (Chương 3), tác giả trình bày ứng dụng kết nói việc khẳng định tồn phần tử quy lũy đơn đặc số char.k tốt, ứng dụng việc tìm hiểu hai câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn z lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn vào nhóm đại số cho trước Cụ thể hơn, cho K trường đóng đại số, Γ nhóm hữu hạn thỏa mãn (char.K, ∣Γ∣) = 1, G nhóm đại số tuyến tính Câu hỏi hỏi liệu tồn hay không số hữu hạn biểu diễn ρ ∶ Γ → G sai khác liên hợp G Bên cạnh đó, câu hỏi hỏi liệu tồn hay không số hữu hạn biểu diễn ρ ∶ Γ → G cho hạn chế xuống nhóm Sylow cho trước Γp thuộc vào lớp cho Khi G = GLn , tính hữu hạn câu hỏi suy từ định cổ điển Maschke lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Cả hai câu hỏi có cách tiếp cận Slodowy thông qua khảo sát lớp liên hợp đồng thời, nhiên luận văn có điều kiện trình bày câu hỏi thứ nhất, câu hỏi thứ hai dừng mức độ giới thiệu Đề tài “Về Một Tính Chất Hữu Hạn Của Quỹ Đạo Dưới Tác Động Của Nhóm Đại Số” nội dung tác giả chọn để nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp sau hai năm theo học chương trình cao học chuyên ngành Đại Số Và Lý Thuyết Số trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên-ĐHQGHN Để hồn thành q trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn này, lời tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến TS Đào Phương Bắc, cán khoa Toán-Cơ-Tin Học– trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên-ĐHQGHN Thầy trực tiếp bảo hướng dẫn tác giả suốt trình nghiên cứu để tác giả hồn thiện luận văn Ngoài tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, khoa Tốn-Cơ-Tin Học đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Nhân dịp này, tác giả xin cảm ơn Khoa-Cơ-Tin Học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, lãnh đạo khoa anh chị công tác trường tạo điều kiện thời gian cho tác giả suốt trình nghiên cứu Tác giả xin cám ơn đề tài QG.18.01 TS Đào Phương Bắc chủ trì có hỗ trợ mặt tài Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn người thân, bạn bè bên tác giả, động viên tác giả hồn thành khóa học luận văn Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Học Viên Võ Duy Hoàng z Bảng số ký hiệu LieG, g Đại số Lie nhóm G Greg Tập điểm quy G Greg,ss Tập điểm quy, nửa đơn G R Trường số thực C Trường số phức Fq Trường hữu hạn gồm q phần tử k Bao đóng đại số trường k ks Bao tách trường k Gal(L/K) Nhóm Galois mở rộng Galois L/K #A Số phần tử tập A GL(V ) Nhóm tuyến tính tổng qt SL(V ) Nhóm tuyến tính đặc biệt SO(V ) Nhóm trực giao đặc biệt Sp(V ) Nhóm sympletic char.k Đặc số trường k G0 Thành phần liên thông chứa đơn vị nhóm G Ga Nhóm cộng tính Gm Nhóm nhân tính k[X] Đại số hàm quy đa tạp X với hệ số k diag(a1 , , an ) Ma trận chéo với phần tử đường chéo a1 , , an z Bảng số thuật ngữ Cấu xạ Morphism Đa tạp đại số Algebraic Variety Đặc số tốt Good characteristic Đẳng giống Isogeny Hàm lớp Class function Ngăn (tế bào) Cell Nhóm đại số tuyến tính Linear algeraic group Nhóm reductive Reductive group Nhóm nửa đơn Semisimple group Nhóm hầu đơn Almostsimple group Nhóm lũy đơn Unipotent group Phần tử quy Regular element Phần tử nửa đơn Semisimple element Phần tử lũy đơn Unipotent element Quỹ đạo Orbit Tác động liên hợp Conjugate action Tác động đa liên hợp Multi-conjugate action Tác động phụ hợp Adjoint action Tác động liên hợp đồng thời Simultaneously conjugate action Tập đại số Algebraic Set Tập dày Epais z Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương xuyên suốt luận văn, khơng giả thiết thêm ta ln xét k trường đóng đại số Điều kiện đặc số lưu ý thêm cần 1.1 Sơ lược đa tạp đại số affine Về trực giác, tập V k n gọi tập đại số tập nghiệm họ hữu hạn đa thức k[x1 , , xn ] Ví dụ, tập nghiệm đa thức F (x, y) = x2 + y − C2 , có điểm thực đường trịn đơn vị Một cách tự nhiên ta định nghĩa đa tạp affine tập đại số Tuy nhiên, khái niệm chưa có tính nội Chẳng hạn, đa tạp affine quan trọng GLn (k) (nhóm ma trận vuông khả nghịch cấp n) không xác định tập nghiệm Matn (k), lại xem tập đại số Matn (k) × k Vì ta cần định nghĩa đa tạp đại số (affine) cách xác sau Định nghĩa 1.1.1 (xem [16]) Một đa tạp đại số cặp (V, A) V tập hợp, A k-đại số hàm V với giá trị k Cặp thỏa mãn tính chất sau : A hữu hạn sinh k-đại số A có tính chất tách điểm V , tức với x ≠ y ∈ V , tồn f ∈ A cho f (x) ≠ f (y) Mọi đồng cấu k-đại số ϕ ∶ A → k định giá ex điểm x ∈ V , tức là, ϕ(f ) = f (x), với f ∈ A z ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HOÀNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: ... 1.2.15) Ngồi tác giả trình bày số kiến thức nhóm đại số, phần tử nửa đơn, lũy đơn nhóm đại số, sơ lược cấu trúc nhóm reductive, đại số Lie nhóm đại số, quỹ đạo nhóm đại số Đặc biệt luận văn trình... phạm vi luận văn Ứng dụng thứ hai mà luận văn đề cập đến hai câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn số lớp biểu diễn nhóm hữu hạn vào nhóm đại số tuyến tính (khơng thiết nhóm GL(V )) Trong luận văn tác