ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ VUI VỀ MỘT BÀI TOÁN CÂN BẰNG TÁCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG ĐIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2018 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ VUI VỀ MỘT BÀI TOÁN CÂN BẰNG TÁCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG ĐIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ VUI VỀ MỘT BÀI TOÁN CÂN BẰNG TÁCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG ĐIỆN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Lê Dũng Mưu Hà Nội - Năm 2018 z Mục lục Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.3 Toán tử chiếu không gian Hilbert 14 Chương Bài toán cân tách ứng dụng 2.1 Bài toán cân 17 17 2.1.1 Bài tốn tối ưu hóa 21 2.1.2 Bất đẳng thức biến phân 21 2.1.3 Bài toán điểm bất động Kakutani 23 2.1.4 Cân Nash trị chơi khơng hợp tác 24 2.1.5 Bài toán điểm yên ngựa 25 2.1.6 Sự tồn nghiệm toán cân 26 2.2 Bài toán cân tách 29 2.3 Ứng dụng vào toán sản xuất điện 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 i z Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2016 - 2018 có cơng lao giảng dạy suốt thời gian học tập Trường Nhận dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp bên cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2018 Học viên Đỗ Thị Vui ii z Danh mục ký hiệu domf Miền hữu dụng song hàm f EP (f, C) Bài toán cân liên kết f C liminf Giới hạn cận limsup Giới hạn cận max Giá trị lớn Giá trị nhỏ NC (x) Nón pháp tuyến C x ∈ C ∂f (x) Dưới vi phân f x P rC (x) Hình chiếu x lên C proxf (x) Tốn tử gần kề f SEO Bài toán cân tách SF P Bài toán chấp nhận tách Sol(f, C) Tập nghiệm tốn cân z Lời nói đầu Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng , chuẩn k.k tương ứng Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H song hàm f : C × C → R cho f (x, x) = với x ∈ C Trong luận văn này, xét tốn cân EP (f, C) sau Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Bài toán cân EP (f, C) gọi bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận đóng góp ơng lĩnh vực Bất đẳng thức sử dụng lần Nikaido Isoda (1955) cho trò chơi bất hợp tác Sau công bố Blum Oettli (1994)(xem phần tài liệu trích dẫn [6]), tốn cân EP (f, C) thu hút nhiều ý nhà nghiên cứu số lượng lớn viết công bố Điểm thú vị toán cân EP (f, C) chỗ, có cơng thức đơn giản bao hàm lớp tốn quan trọng tốn tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa, toán cân Nash lý thuyết trị chơi khơng hợp tác, tốn điểm bất động, Chính tốn cân có nhiều ứng dụng thực tiễn, chẳng hạn vật lý, ngành kỹ thuật, lý thuyết trò chơi, vận tải, kinh tế, hệ thống mạng điện, Một số phương pháp giải đề xuất cho tốn cân bằng, phương pháp chiếu thường sử dụng Tuy nhiên, toán cân đơn điệu, phương pháp phép chiếu khơng hội tụ Để khắc phục nhược điểm này, phương pháp đạo hàm tăng cường (hai phép chiếu) đề xuất Korpelevich (1976) cho toán điểm yên ngựa mở rộng cho toán cân giả đơn điệu z Gần phương pháp chiếu vi phân khơng xác phát triển cho toán song hàm cân tiền đơn điệu không gian Euclid hữu hạn chiều Phương pháp dùng phép chiếu vịng lặp, đảm bảo tính hội tụ Nói ngắn gọn, vòng lặp k, xk+1 định nghĩa phép chiếu xấp xỉ xk − αk gk lên C gk xấp xỉ đường chéo đạo hàm hàm lồi f (xk , ) xk Với cách chọn cỡ bước αk phù hợp, dãy lặp hội tụ tới nghiệm toán cân EP (f, C) Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert hữu hạn chiều giới thiệu Censor Elving (1994) cho mô hình tốn ngược, xuất phát từ việc tái tạo khơi phục lại hình ảnh y tế (Byrne 2002) Gần đây, người ta phát tốn sử dụng để điểu chỉnh cường độ xạ Về mặt toán học, tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực phát biểu sau: cho H1 H2 hai không gian Hilbert thực C ⊆ H1 , Q ⊆ H2 tập lồi, đóng, khác rỗng, A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài toán chấp nhận tách định nghĩa sau Tìm x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q ∀y ∈ C Bài toán chấp nhận tách ký hiệu SF P Gần đây, toán C Q tập nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nghiên cứu số thuật toán sử dụng phép chiếu kết hợp với ánh xạ gần kề, điển Kraikaew Saejung (2014)(xem phần tài liệu trích dẫn [6]), Lopezetal (2012), Moudafi (2011)(xem phần tài liệu trích dẫn [6]), Moudafi Thakur (2014) Tang et al (2014)(xem phần tài liệu trích dẫn [6]) Luận án Tiến sĩ Trần Việt Anh [1], Đặng Xuân Sơn [5] nhiều tác giả khác Trong luận văn này, ta xét trường hợp mở rộng phương pháp Santos Scheimberg (2011) cho toán chấp nhận tách với C tập nghiệm toán cân tiền đơn điệu H1 Q tập nghiệm toán lồi H2 Về mặt toán học, toán phát biểu sau Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C g(Ax∗ ) ≤ g(u) ∀u ∈ H2 , z g hàm lồi nửa liên tục H2 Thuật tốn đề xuất nhóm tác giả Lê Dũng Mưu, Lê Hải Yến Nguyễn Thị Thanh Huyền, kết hợp phép chiếu phương pháp Santos Scheimberg (2011) cho toán cân với sơ đồ lặp Mann - Kranoselskii cho toán tử gần kề xác định tốn tối ưu hóa, thuật toán đảm bảo hội tụ mạnh Để minh họa cho tốn, ta xét mơ hình cần với chi phí mơi trường tối thiểu phát sinh sản xuất điện Luận văn gồm hai chương Chương nhắc lại số kiến thức khơng gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi tốn tử chiếu không gian Hilbert Chương hai, phần đầu tìm hiểu tốn cân với lớp tốn nó, tồn nghiệm toán cân Tiếp theo, tìm hiểu tốn chấp nhận tách với trường hợp suy rộng toán cân tách Thuật tốn cho tốn cân tách ví dụ sản xuất điện tài liệu [6] trình bày chi tiết Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2018 Học viên Đỗ Thị Vui z Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết sử dụng chương luận văn Phần đầu chương trình bày số kiến thức không gian Hilbert, hàm lồi vi phân hàm lồi Mục liên quan tới tốn tử chiếu khơng gian Hilbert tính chất Phần cuối chương nói số bổ đề, kết sử dụng chứng minh kết chương tiếp 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 (Xem [3]) Cho H không gian trường K Tích vơ hướng xác định H định nghĩa sau , : H × H → K (x, y) 7→ x, y , thỏa mãn điều kiện sau a) x, y = y, x ∀x, y ∈ H; b) x + y, z = x, z + y, z ∀x, y, z ∈ H; c) λx, y = λ x, y ∀x, y ∈ H, λ ∈ K; d) x, x ≥ ∀x, y ∈ H x, x = ⇐⇒ x = Số x, y gọi tích vơ hướng hai vectơ x y Cặp H, , gọi khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi khơng gian Unita) z Từ định nghĩa, ta thấy tích vơ hướng , dạng song tuyến tính xác định dương H Khi đó, H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.1 (Xem [3]) Cho H không gian tiền Hilbert Với x, y ∈ H, ta ln có bất đẳng thức sau ... QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ VUI VỀ MỘT BÀI TOÁN CÂN BẰNG TÁCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG ĐIỆN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... Chương Bài toán cân tách ứng dụng 2.1 Bài toán cân 17 17 2.1.1 Bài tốn tối ưu hóa 21 2.1.2 Bất đẳng thức biến phân 21 2.1.3 Bài toán. .. đầu tìm hiểu tốn cân với lớp tốn nó, tồn nghiệm tốn cân Tiếp theo, tìm hiểu toán chấp nhận tách với trường hợp suy rộng toán cân tách Thuật toán cho tốn cân tách ví dụ sản xuất điện tài liệu [6]