ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Thu Hà TÌM HIỂU VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN THỜI GIAN LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Thu Hà TÌM HIỂU VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN THỜI GIAN LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội - 2014 z Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Qúa trình ngẫu nhiên 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên 1.2 Phân phối hữu hạn chiều 1.3 Tiêu chuẩn liên tục Kolmogorov 1.4 Quá trình Gaussian 1.5 Tính khơng khả vi quỹ đạo 1.6 Bộ lọc thời điểm dừng chuyển Martingales 2.1 Định nghĩa ví dụ 2.2 Martingales thời gian rời rạc 2.2.1 Biến đổi martingale 2.2.2 Các bất đẳng thức 2.2.3 Khai triển Doob 2.2.4 Các định lý hội tụ 2.2.5 Các định lý dừng tùy chọn 2.3 Martingales thời gian liên tục 2.3.1 Upcrossings thời gian liên tục 2.3.2 Tính quy 2.3.3 Các định lý hội tụ 2.3.4 Các bất đẳng thức 2.3.5 Tùy chọn dừng 2.4 Ứng dụng chuyển động Brown 2.4.1 Biến phân bậc hai 2.4.2 Bất đẳng thức mũ z động Brown 6 10 14 17 18 25 25 26 26 29 31 32 37 40 40 41 44 45 46 48 48 50 MỤC LỤC 2.4.3 2.4.4 Luật loga lặp Phân bố lần chạm Quá trình Markov 3.1 Định nghĩa 3.2 Sự tồn tắc 3.3 Quá trình Feller 3.3.1 Hàm chuyển trạng thái Feller 3.3.2 Sự tồn cadlag 3.3.3 Sự tồn lọc tốt giải thức 51 54 56 56 59 63 63 68 71 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 z Lời cảm ơn Bản luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình tận tâm PGS TS Phan Viết Thư Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng 03 năm 2014 z Mở đầu Lý thuyết trình ngẫu nhiên thời gian liên tục lĩnh vực quan trọng chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê tốn học Nói cách đơn giản, q trình ngẫu nhiên tượng coi phát triển thời gian cách ngẫu nhiên Ví dụ thường thấy vị trí hạt hệ thống vật lý, giá cổ phiếu thị trường tài chính, lãi suất, Một ví dụ chuyển động thất thường hạt phấn hoa lơ lửng nước, gọi chuyển động Brown, đặt theo tên tiếng Anh nhà thực vật học R Brown, người quan sát vào năm 1827 Sự chuyển động hạt phấn hoa cho tác động phân tử nước bao quanh Những va chạm xảy với số lượng lớn, khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, tác động va chạm nhỏ so với tổng hiệu lực Điều cho thấy chuyển động hạt xem q trình ngẫu nhiên Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn đề cập đến phần xung quanh vấn đề tìm hiểu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục Nội dung luận văn : " Tìm hiểu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục" giới thiệu số khái niệm trình ngẫu nhiên, bao gồm định lý, định nghĩa, bổ đề có chứng minh, sử dụng mơ hình tốn học chuyển động Brown, kiến thức có liên quan Martingale q trình Markov Bố cục luận văn gồm chương: z MỤC LỤC Chương 1: Quá trình ngẫu nhiên Chương trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên (định lý, định nghĩa, bổ đề, hệ quả), phân phối hữu hạn chiều, điều kiện liên tục Kolmogorov, q trình Gaussian, tính khơng khả vi quỹ đạo chuyển động Brown, lọc thời điểm dừng Chương 2: Các Martingale Mục đính chương giới thiệu định nghĩa cung cấp ví dụ Martingale, lý thuyết Martingale với thời gian rời rạc, Martingale thời gian liên tục ứng dụng chuyển động Brown Chương 3: Quá trình Markov Chương trình bày định nghĩa bản, tồn tắc, q trình Feller z Chương Qúa trình ngẫu nhiên 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên Nói cách đơn giản, q trình ngẫu nhiên tượng coi phát triển thời gian cách ngẫu nhiên Ví dụ thường thấy vị trí hạt hệ thống vật lý, giá cổ phiếu thị trường tài chính, lãi suất, Một ví dụ chuyển động thất thường hạt phấn hoa lơ lửng nước, gọi chuyển động Brown, đặt theo tên tiếng Anh nhà thực vật học R Brown, người quan sát vào năm 1827 Sự chuyển động hạt phấn hoa cho tác động phân tử nước bao quanh Những va chạm xảy với số lượng lớn, khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, tác động va chạm nhỏ so với tổng hiệu lực Điều cho thấy chuyển động hạt xem trình ngẫu nhiên với đặc tính sau: (i) Sự di chuyển khoảng thời gian [s,t] độc lập với xảy trước thời gian s (ii) Di chuyển có phân phối Gaussian, mà phụ thuộc vào độ dài khoảng thời gian [s,t] (iii) Sự chuyển động liên tục Mơ hình tốn học chuyển động Brown đối tượng đề cập đến luận văn Hình 1.1 cho thấy thể cụ thể trình z Chương Qúa trình ngẫu nhiên ngẫu nhiên Hình ảnh cho thấy chuyển động Brown có số điểm đáng ý, thấy điều thực đáng để nghiên cứu Hình 1.1: Biểu diễn chuyển động Brown Định nghĩa 1.1.1 Cho T tập hợp (E, E) không gian đo Một trình ngẫu nhiên với tập số T, lấy giá trị (E, E), tập hợp X = (Xt )t∈T , ánh xạ đo Xt từ không gian xác suất (Ω, F, P) vào (E, E) Không gian (E, E) gọi không gian trạng thái trình Chúng ta coi t tham số thời gian, xem số T tập hợp tất thời điểm Trong luận văn thường gặp T = Z+ = {0, 1, } T = R+ = [0, ∞) Trong trường hợp đầu gọi thời gian rời rạc, trường hợp sau gọi thời gian liên tục Lưu ý q trình thời gian rời rạc xem q trình liên tục mà số khoảng [n − 1, n) với n ∈ N Không gian trạng thái (E, E) thường dùng không gian ơclid Rd , trang bị σ -đại số Borel B(Rd ) Nếu E khơng gian trạng thái q trình, gọi trình E -giá trị Với t ∈ T cố định, trình ngẫu nhiên X cho phần tử ngẫu nhiên E - giá trị Xt (Ω, F, P) Chúng ta cố định ω ∈ Ω xét ánh xạ t 7→ Xt (ω) T Những ánh xạ gọi quỹ đạo, quỹ đạo mẫu trình Các quỹ đạo mẫu hàm từ T vào E, tức phần tử E T Do đó, coi trình z Chương Qúa trình ngẫu nhiên X phần tử ngẫu nhiên không gian hàm E T (Khá thường xuyên, quỹ đạo mẫu phần tử số tập hợp tốt khơng gian này.) Mơ hình tốn học chuyển động Brown q trình ngẫu nhiên định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt )t ≥ gọi chuyển động Brown tiêu chuẩn, trình Wiener, (i) W0 = 0, h.c.c (ii) Wt − Ws độc lập với (Wu : u ≤ s) với s ≤ t, (iii) Wt − Ws có phân phối N (0, t − s) cho tất s ≤ t, (iv) Hầu tất quỹ đạo mẫu W liên tục Chúng ta viết tắt chuyển động Brown BM Tính chất (i) nói BM tiêu chuẩn bắt đầu Một q trình với tính chất (ii) gọi q trình với số gia độc lập Tính chất (iii) thể phân bố gia số Wt − Ws phụ thuộc vào t − s Được gọi tính dừng gia số Một trình ngẫu nhiên có tính chất (iv) gọi trình liên tục Tương tự vậy, gọi trình ngẫu nhiên liên tục phải gần tất quỹ đạo mẫu hàm liên tục phải Chúng ta thường sử dụng từ viết tắt cho trình với quỹ đạo liên tục phải có giới hạn bên trái hữu hạn thời điểm Từ định nghĩa không khẳng định BM thực tồn tại! Chúng ta phải chứng minh tồn trình ngẫu nhiên mà thỏa mãn tất tính chất Định nghĩa 1.1.2 Mệnh đề 1.1.3 Q trình W thỏa mãn tính chất (i), (ii), (iii) Định nghĩa 1.1.2 với t1 , , tn ≥ vector (Wt1 , , Wtn ) có phân phối Gaussian n chiều với vector trung bình ma trận hiệp phương sai (ti ∧ tj )i,j=1, ,n z Chương Qúa trình ngẫu nhiên 1.2 Phân phối hữu hạn chiều Trong phần này, nhớ lại định lý Kolmogorov tồn trình ngẫu nhiên với phân phối hữu hạn chiều cho Chúng ta sử dụng để chứng minh tồn q trình có tính chất (i), (ii) (iii) Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.2.1 Cho X = (Xt )t∈T trình ngẫu nhiên Phân phối vectơ hữu hạn chiều có dạng (Xt1 , , Xtn ) gọi phân phối hữu hạn chiều (fdd) q trình Có thể dễ dàng kiểm tra fdd trình ngẫu nhiên tạo thành họ độ đo, thể định nghĩa Định nghĩa 1.2.2 Cho T tập hợp (E, E) không gian đo Với t1 , , tn ∈ T , cho µt1 , , tn độ đo xác suất (E n , E n ) Bộ độ đo gọi quán có tính chất sau: (i) Với t1 , , tn ∈ T , hoán vị π {1, , n} A1 , , An ∈ E àt1 , ,tn (A1 ì ì An ) = àt(1) , ,t(n) (A(1) ì ì A(n) ) (ii) Với t1 , , tn+1 ∈ T A1 , , An ∈ E µt1 , , tn+1 (A1 ì ì An ì E) = àt1 , , tn (A1 × × An ) Định lý Kolmogorov tính quán khẳng định ngược lại, điều kiện quy nhẹ, họ quán độ đo thực tế họ fdd trình ngẫu nhiên Một số giả thiết cần thiết không gian trạng thái (E, E) Chúng ta giả thiết E không gian Polish ( không gian metric khả ly đủ ) E σ -đại số Borel nó, tức σ -đại số tạo tập mở Rõ ràng, không gian Euclid (Rn , B(Rn )) phù hợp với nội dung Định lí 1.2.3 (Định lý quán Kolmogorov) Giả sử E không gian Polish E σ -đại số Borel Cho T tập hợp với t1 , , tn ∈ T , lấy µt1 , ,tn độ đo (E n , E n ) Nếu độ đo µt1 , ,tn tạo thành hệ qn, khơng gian xác suất (Ω, F, P) tồn q trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈T có độ đo µt1 , ,tn fdd Chứng minh Xem ví dụ Billingsley (1995) z ... phần xung quanh vấn đề tìm hiểu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục Nội dung luận văn : " Tìm hiểu trình ngẫu nhiên thời gian liên tục" giới thiệu số khái niệm trình ngẫu nhiên, bao gồm định lý,... Một q trình ngẫu nhiên có tính chất (iv) gọi trình liên tục Tương tự vậy, gọi trình ngẫu nhiên liên tục phải gần tất quỹ đạo mẫu hàm liên tục phải Chúng ta thường sử dụng từ viết tắt cho trình. .. với thời gian rời rạc, Martingale thời gian liên tục ứng dụng chuyển động Brown Chương 3: Quá trình Markov Chương trình bày định nghĩa bản, tồn tắc, q trình Feller z Chương Qúa trình ngẫu nhiên