Định thức và ứng dụng trong giải toán

Lời cảm ơn Trước tiên, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô giáo TS Lê Thị Hoài Thu người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp Em cũng xin chân thành cảm[.]

Lời cảm ơn Trước tiên, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo - TS Lê Thị Hồi Thu - người tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn tất q thầy Trường Đại học Quảng Bình, đặc biệt thầy cô giáo khoa Khoa học tự nhiên dạy dỗ em suốt thời gian ngồi ghế nhà trường, nhờ dạy dỗ em học nhiều điều bổ ích cho chuyên ngành sống Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, anh chị khóa trước, tập thể lớp ĐHSP Tốn K53, bạn bè xung quanh tất người động viên giúp đỡ em lúc khó khăn, động viên giúp thân em ngày cố gắng học tập hồn thành tốt khóa học Em xin chân thành cảm ơn! Mục lục Lời cảm ơn MỞ ĐẦU Định thức số tính chất định thức 1.1 Định thức 1.2 Một số tính chất định thức Một số phương pháp tính định thức 2.1 Phương pháp khai triển theo dòng cột 2.2 Phương pháp biến đổi sơ cấp 11 2.3 Phương pháp quy nạp 15 2.4 Phương pháp truy hồi 19 2.5 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức 23 2.6 Phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức 28 2.7 Phương pháp sử dụng đa thức 32 2.8 Phương pháp biến đổi tất phần tử định thức 34 2.9 Phương pháp Rank one updates 35 Một số ví dụ minh họa ứng dụng định thức 37 3.1 Giải hệ phương trình tuyến tính 37 3.2 Xét tính suy biến ma trận tìm ma trận nghịch đảo 40 3.3 Tính hạng ma trận 45 3.4 Chứng minh độc lập tuyến tính hệ hàm 47 3.5 Chứng minh số đẳng thức 50 3.6 Định thức qua trò chơi 56 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Khái niệm định thức lần đưa thư Leibniz gửi cho người bạn năm 1693 Hàm định thức xuất năm 1720 cơng trình nhà tốn học Anh Maclaurin Cơng thức tổng qt tìm thấy nhà tốn học Thụy Sĩ Cramer cơng trình đường cong xuất năm 1750 Người định nghĩa nghiên cứu tính chất định thức Lan Vandermonde Năm 1771, ông chứng minh quy tắc Cramer qua tìm thấy số tính chất định thức triệt tiêu hai dòng hay hai cột nhau, định thức đổi dấu đổi chỗ hai dòng hay hai cột Tuy nhiên ơng tính định thức mang tên cho trường hợp n = năm 1774 Cơng thức khai triển định thức theo dịng cột nhà toán học Pháp Laplace phát năm 1772 Tên gọi định thức xuất lần báo Gauss năm 1801 dạng bậc hai Người nghiên cứu định thức cách hệ thống nhà toán học Pháp Cauchy Ơng phát cơng thức định thức tích hai ma trận năm 1812 Ông người phát công thức định thức Vandermonde năm 1815 Cùng với nhà toán học trên, Jordan, Sylvester, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinaned Georg Frobenius John von Neumann tên tuổi gắn liền với phát triển lý thuyết định thức, ma trận Định thức ma trận kiến thức Đại số tuyến tính Nó có nhiều ứng dụng hình học, giải tích, tốn kinh tế Ngồi cịn có ứng dụng vật lý, tin học Với mong muốn tìm hiểu định thức ứng dụng nó, em chọn nghiên cứu đề tài khóa luận "Định thức ứng dụng giải toán" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trình bày cách có hệ thống, logic định nghĩa số tính chất định thức ma trận, số phương pháp tính định thức số ví dụ minh họa ứng dụng định thức Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khóa luận lý thuyết định thức ma trận Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình vấn đề cần nghiên cứu như: định thức, phương pháp tính định thức, ứng dụng định thức Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến giảng viên hướng dẫn giảng viên khác Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Tầm quan trọng khoa học thực tiễn Đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán, đặc biệt bạn đam mê thi Olympic Toán học toán cao cấp Với thân, qua việc nghiên cứu đề tài em hệ thống ôn tập lại kiến thức học định nghĩa số tính chất định thức, phương pháp tính định thức, đặc biệt có nhìn định thức, ứng dụng Bố cục khóa luận Ngoài lời cảm ơn, phần mở đầu, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận trình bày chương: Chương 1: Định thức số tính chất định thức Chương 2: Một số phương pháp tính định thức Chương 3: Một số ví dụ minh họa ứng dụng định thức Chương Định thức số tính chất định thức 1.1 Định thức Định nghĩa 1.1.1 Mỗi song ánh từ tập {1, 2, , n} vào gọi phép bậc n Tập tất phép bậc n ký hiệu Sn Định nghĩa 1.1.2 Dấu phép σ ∈ Sn số sau sgn(σ) = Y σ(i) − σ(j) i6=j i−j ∈ {±1} Tích chạy cặp số {i, j} ⊂ {1, 2, , n} Định nghĩa 1.1.3 Cho ma trận vng A = (aij )n×n với phần tử trường K Định thức A kí hiệu det A |A|, phần tử sau trường K det A = P sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n σ∈Sn 1.2 Một số tính chất định thức Từ ta ký hiệu Mn (K) tập tất ma trận vng cấp n trường K Tính chất 1.2.1 (Đa tuyến tính): Định thức ma trận hàm tuyến tính với cột nó, cố định cột khác Tức det(α1 , , aαj + bβj , , αn ) = a det(α1 , , αj , , αn ) + b det(α1 , , βj , , αn ), với a, b ∈ K; α1 , , αj , βj , , αn ∈ Kn ; j = 1, , n Tính chất 1.2.2 (Thay phiên): Nếu ma trận vng A có hai cột nhau, det A = Tính chất 1.2.3 (Chuẩn hóa): Định     det In = det    ··· ···  0 thức ma trận đơn vị 1:  ···   ···   =  ··· ···   ··· Hệ 1.2.4 i) Nếu đổi chỗ hai cột ma trận định thức đổi dấu: det( , αi , , αj , ) = − det( , αj , , αi , ) ii) Nếu vectơ cột ma trận phụ thuộc tuyến tính định thức ma trận khơng Nói riêng, ma trận có cột định thức iii) Nếu thêm vào cột ma trận tổ hợp tuyến tính cột khác định thức khơng thay đổi Tính chất 1.2.5 Định thức ma trận tam giác tích phần tử đường chéo Tính chất 1.2.6 Giả sử A, B ∈ Mn (K) Khi i) det(AB) = det(A) det(B) ii) A khả nghịch det A 6= Hơn det(A−1 ) = (det A)−1 Tính chất 1.2.7 (Định thức ma trận chuyển vị) det(At ) = det A, ∀A ∈ Mn (K) Chương Một số phương pháp tính định thức Biểu thức định nghĩa định thức cấp n hồn tồn khơng tiện lợi việc tính định thức với n ≥ Để tính định thức, định thức cấp cao, ta cần sử dụng linh hoạt tính chất chúng, kết hợp với việc hạ cấp định thức nhờ vào định lí Laplace, cơng thức khai triển định thức theo dịng hay theo cột Các phép biến đổi sơ cấp cho ta phương pháp tính định thức hiệu thường dùng phương pháp sau 2.1 Phương pháp khai triển theo dòng cột Khi thấy dòng (hay cột) định thức có nhiều số nên khai triển định thức theo dịng (hay cột) Cơ sở phương pháp định lý Laplace Định lý 2.1.1 (Khai triển Laplace) Giả sử chọn k dòng (tương ứng k cột) định thức cấp n (1 ≤ k < n) Khi đó, định thức cho tổng tất tích định thức cấp k lấy từ k dòng (tương ứng k cột) chọn với phần bù đại số chúng Hệ 2.1.2 Cho A = (aij )n×n ma trận vng cấp n K Khi ta có (1) Cơng thức khai triển theo dòng i det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain = n P aik Aik k=1 (2) Công thức khai triển theo cột j n P det A = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj = akj Akj , k=1 Aij phần bù đại số phần tử aij 6 +2(−1)2+3 10 =2(−1)2+1 −4 hai: ... thức số tính chất định thức Chương 2: Một số phương pháp tính định thức Chương 3: Một số ví dụ minh họa ứng dụng định thức Chương Định thức số tính chất định thức 1.1 Định thức Định nghĩa 1.1.1... thuyết định thức, ma trận Định thức ma trận kiến thức Đại số tuyến tính Nó có nhiều ứng dụng hình học, giải tích, tốn kinh tế Ngồi cịn có ứng dụng vật lý, tin học Với mong muốn tìm hiểu định thức ứng. .. diễn định thức thành tổng định thức 23 2.6 Phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức 28 2.7 Phương pháp sử dụng đa thức 32 2.8 Phương pháp biến đổi tất phần tử định thức