Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHƠNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRỊN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60440108 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC T.S Bùi Thanh Tú Hà Nội - 2015 z LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tời thầy giáo hướng dẫn TS Bùi Thanh Tú, người giao đề tài quan tâm, tận tình hướng dẫn em suốt trình thực luận văn Em cũng xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn chân tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN dạy bảo, cung cấp kiến thức bổ ích cho em suốt trình học tập nghiên cứu Khoa Em xin cảm ơn thầy, giáo, cán Phịng Sau đại học, Phịng Cơng tác trị sinh viên, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình thực luận văn Nhân dịp này, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè ln động viên, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn z Mục lục Giới thiệu tổng quan Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 2.1 Phương trình tích phân biên phương pháp đối ngẫu tương hỗ 2.2 Nội suy hàm giá trị 11 2.3 Phương pháp không lưới RBIEM 13 2.4 Số hạng phi tuyến 17 Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes 20 Kết số 26 z Chương Giới thiệu tổng quan Phương pháp phần tử biên (BEM) để giải phương trình Navier-Stokes toán nhà khoa học quan tâm Khi dùng phương trình tích phân biên, số hạng phi tuyến xuất tích phân miền Có nhiều phương pháp khác để giải số hạng phi tuyến Zheng et al [11] dùng phương pháp nghiệm riêng, Power Partridge [7] sử dụng phương pháp đối ngẫu tương hỗ (DRM) Nhưng kết hợp BEM DRM giải tốn dịng chảy phức tạp với số Reynolds nhỏ 40 hay 100 Bằng phương pháp phân chia miền [4, 8] Power Mingo giải toán cho số Reynolds cao với độ xác cao Tuy nhiên phương pháp BEM-DRM xấp xỉ đạo hàm vận tốc số hạng phi tuyến thông qua hàm bán kính sở tạo phương trình đại số tuyến tính với số phương trình lơn số ẩn làm tăng độ phức tạp toán Bên cạnh đó, phương pháp khơng lưới kết hợp với phương trình tích phân biên quan tâm rộng rãi tính xác mà phương trình tích phân biên mang lại Trong phương pháp khơng lưới tích phân miền địa phương (LBIE) đưa Zhu et al [12, 13] giải toán Poison toán phi tuyến dựa xấp xỉ dịch chuyển bình phương tối thiểu với ý tưởng tạo biên địa phương nút Sau Sellountos Sequeira [10] dùng LBIE để giải phương trình Navier-Stokes với cách tiếp cận dùng phương pháp nghiệm kèm để xấp xỉ số hạng phi tuyến Gần đây, Popov Bui [5] đưa phương pháp khơng lưới dựa phương trình tích phân biên hàm bán kính sở (RBIEM) để giải tốn khuếch tán nhiễu, phương trình tích phân biên áp dụng miền địa z phương tương ứng với nút Khi RBIEM tạo hệ phương trình đại số tuyến tính với số phương trình số ẩn để giải, ma trận hệ số ma trận thưa RBIEM áp dụng để giải hệ phương trình Navier-Stokes, với nút miền tính tốn, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình tích phân biên Thay phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng ∂ ui vận tốc hàm bán kính sở ∂ xh Ý tưởng phương pháp RBIEM xây dựng miền địa phương ứng với nút bên biên miền tính tốn Về lý thuyết, miền địa phương có hình dạng Khi để tích phân biên miền bất kỳ, RBIEM phân rã biên thành phần tử, tích phân biên địa phương tính phần tử sau ghép lại Trên thực tế, để thuận tiện q trình tính tốn, miền RBIEM tạo miền tròn Nhưng đó, để tính tích phân biên dùng phương pháp khác đơn giản hiệu việc phân rã biên Trong luận văn này, phương pháp không lưới RBIEM cải tiến đề xuất Để thuận tiện, ta gọi phương pháp RBIEM cải tiến m-RBIEM (modified RBIEM) Để tính tích phân biên miền con, thay việc rời rạc biên thành phần tử cách thêm vào nút biên, phương pháp không lưới m-RBIEM sử dụng hệ tọa độ cực để tính trực tiếp tích phân miền có dạng hình trịn Phương pháp m-RBIEM đưa lời giải số xác hơn, tiết kiệm thời gian tính tốn dễ dàng việc lập trình giải toán thực tế Cấu trúc luận văn trình bày sau: - Chương 1: Giới thiệu tổng quan phương pháp khơng lưới dùng phương trình tích phân biên - Chương 2: Đề cập phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes - Chương 3: Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes - Chương 4: Kết số z Chương Phương pháp khơng lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 2.1 Phương trình tích phân biên phương pháp đối ngẫu tương hỗ Phương pháp đối ngẫu tương hỗ DRM (Dual Reciprocity Method) kết hợp với phương pháp phương trình tích phân biên BEM (Boundary Element Method) dùng để chuyển số hạng tích phân miền thành tích phân biên giải phương trình Navier-Stokes Xét phương trình Navier-Stokes cho chất lỏng không nén được: ρ ∂ ui ∂ ui ∂ σ i j + ρu j = + ρ Fi ; ∂t ∂xj ∂xj (2.1) ∂ ui = 0, ∂ xi đó: ui : thành phần vectơ vận tốc theo hướng i; ρ : mật độ; Fi : lực tác động theo hướng i; σi j : tensơ ứng suất tương ứng trường vận tốc áp suất (ui , p) z 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ Với chất lỏng Newton ta có: ( σi j = −pδi j + µ ) ∂ ui ∂ u j + , ∂ x j ∂ xi (2.2) đó: p: áp suất chất lỏng; δi j : ký hiệu Kronecker; µ : hệ số nhớt Phương trình Navier-Stokes cho điểm x miền Ω đóng biên S dạng tích phân đưa Ladyzhenskaya (1963): ∫ uk (x) = tki∗ (x, y) ui (y) dSy − S ∫ u∗ki (x, y)ti (y) dSy + ∫ u∗ki (x, y) gi dΩ, (2.3) Ω S đó: gi = ρ u j ui, j : số hạng phi tuyến; ti = σi j n j , n j : vectơ pháp tuyến hướng ngoại miền S; uki : trường nghiệm vectơ vận tốc phương trình Stokes Trong trường hợp hai chiều nghiệm u∗ki qk có dạng: u∗ki (x, y) = − [ ( ) ] 1 (xi − yi ) (xk − yk ) ln δik + ; 4π µ r r2 (2.4) qk (x, y) = − (xk − yk ) , 2π r2 r = |x − y| Nghiệm tki∗ có dạng: tki∗ ( ) (xi − yi ) (xk − yk ) x j − y j =− n j πr r3 (2.5) Khai triển số hạng gi (x) để xấp xỉ tích phân miền phương trình (2.3) thành tích phân biên dạng: ND gi (x) = ∑ f m (x) αlm δil , m=1 z (2.6) 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ f m (x) hàm bán kính sở phụ thuộc vào bán kính điểm cần xấp xỉ x điểm lân cận ym , m = 1, , N Hàm f m (x) phụ thuộc vào giá trị R = |x − ym | khoảng cách từ điểm x đến điểm lân cận ym Trong trường hợp chiều, khoảng cách R xác định sau: √ R= m (x1 − ym ) + (x2 − y2 ) ) ( m m đó: (x1 , x2 ) tọa độ x, ym , y2 tọa độ y Hàm f (x, ym ) với m = N + 1, N + 2, , N + A hàm toàn cục mở rộng nội suy điểm lân cận ym phụ thuộc vào tọa độ điểm x (x1 , x2 ) Trường hợp A=3, ta có: N+3 ∑ f (x, ym )αlm = αlN+1 + αlN+2 x1 + αlN+3 x2 m=N+1 Áp dụng (2.6) cho N nút lân cận, ta có 2N phương trình 2N+6 ẩn Vì vậy, phương trình bổ sung có dạng: N ∑ αlm δil = N ∑ x1 αlm δil = m=1 m=1 N ∑ x2αlmδil m=1 =0 Hệ số αlm chưa biết xác định cách áp dụng phương trình (2.6) cho ND nút lân cận ym , m = 1, ND Khi đó: ∫ u∗ki (x, y) gi (y) dΩ = ND ∑ αlm m=1 Ω ∫ u∗ki (x, y) f m (x) δil dΩ (2.7) Ω ( ) lm Trường vận tốc áp suất bổ sung uˆlm i (x) , pˆ (x) cho phương trình: ∂ uˆlm ∂ pˆlm (x) i (x) − = f m (x) δil ; µ ∂ x j∂ x j ∂ xi (2.8) ∂ uˆlm i ∂ xi = ( ) lm Trong biểu thức giải tích cho trường Stokes uˆlm i (y) , pˆ (y) tương ứng với hàm xấp xỉ được đưa phương pháp tiếp cận đề xuất Power Wrobel z 2.1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU TƯƠNG HỖ Khi trường vận tốc lực kéo bổ trợ tìm sau: uˆlm i (x) = 96 [( )] ) ( 2 δil − xˆi xˆl 4R log R − R , 5R log R − R 3 (2.9) trường hợp f m (x) = r2 log r, với xˆ = x − ym R = ∥x − ym ∥ Biểu thức lực kéo bổ trợ tương ứng là: tˆilm (x) = σilj (x) n j (x) ( [ )] ( ) 1 8r xˆi nl + xˆ j n j δil + xˆl ni × log R − = 96[ ( )] 1 − 4xˆi xˆl xˆ j n j log R + 96 (2.10) Trong trường hợp đặc biệt hàm f m (x), lực kéo bổ trợ có dạng sau: Trường hợp 1: fˆm (x) = 1, uˆlm i = ) ( 3|x|2 δil − 2xi xl , 16 tˆilm = ) 1( xi nl + x j n j δil + xl ni Trường hợp 2: fˆm (x) = x1 , uˆlm i = [ x (3δil − 2δ1i δ1l − δ2i δ2l ) + 3x22 x1 (δil − δ1i δ1l ) 24 ] −3x12 x2 (δ1i δ2l + δ2i δ1l ) , tˆilm (x) = 1{ x [3 (n1 δil + nl δ1i + ni δ1l ) −2 (2n1 δ1i δ1l + n1 δ2i δ2l + n2 δ1i δ2l + n2 δ2i δ1l )] z (2.11) ... giải phương trình Navier- Stokes - Chương 3: Phương pháp RBIEM với miền địa phương trịn giải hệ phương trình NavierStokes - Chương 4: Kết số z Chương Phương pháp khơng lưới RBIEM giải phương trình. .. 17 Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes 20 Kết số 26 z Chương Giới thiệu tổng quan Phương pháp phần tử biên (BEM) để giải phương trình Navier- Stokes. .. NHIÊN ————— NGUYỄN VĂN VĨNH PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG TRÒN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER- STOKES Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60440108 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI