Luận văn thạc sĩ phương pháp số giải phương trình vi phân có chậm

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ THÚY NGỌC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM Chun ngành : TỐN HỌC TÍNH TỐN Mã số : 60 46 30 Người hướng dẫn : PGS TS VŨ HOÀNG LINH HÀ NỘI - 2012 z Mục lục Lời nói đầu Giới thiệu 1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân thường 1.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân thường 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Một số phương pháp số tiêu biểu giải phương trình vi phân thường 1.3 Nghiệm số phương trình vi phân có chậm: Phương pháp cho phương trình vi phân thường liệu có đủ hay không? 1.3.1 Sự thất bại cấp xác phương pháp 1.3.2 Sự thất bại tính ổn định 1.3.3 Một phương pháp tốt cho PTVPCC Sự tồn tính qui nghiệm phương trình vi phân có chậm 2.1 Vị trí điểm gián đoạn trơn dần nghiệm 2.1.1 Các điểm gián đoạn gốc thứ cấp 2.1.2 Chậm triệt tiêu không triệt tiêu 2.1.3 Chậm bị chặn không bị chặn 2.2 Sự tồn tính nghiệm 12 12 14 17 18 20 25 27 27 28 31 32 35 Các phương pháp cho phương trình vi phân có chậm 37 3.1 Hướng tiếp cận 38 3.2 Các kết sơ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục 40 3.3 Hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục 47 Sự hội tụ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục z 50 4.1 PTVPCC với chậm số chậm phụ thuộc thời gian không triệt tiêu 51 4.2 PTVPCC với chậm phụ thuộc thời gian tuỳ ý 59 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 69 Phụ lục 70 z LỜI NĨI ĐẦU Ta biết phương trình vi phân thường (PTVPT) phương trình có dạng: y (t) = f (t, y(t)), t ≥ t0 Tuy nhiên, nhiều vấn đề, biến y phụ thuộc vào giá trị khứ biến y Khi PTVPT biến đổi thành phương trình sau, gọi phương trình vi phân có chậm (PTVPCC): y (t) = f (t, y(t − τ1 ), , y(t − τn )), t ≥ t0 , với τi = τi (t, y(t)) ≥ ∀t ≥ t0 , i = 1, , n, gọi chậm Việc nghiên cứu mặt lí thuyết phương pháp số giải PTVPT thu hút quan tâm nhà toán học thời gian dài với nhiều kết quan trọng Ngược lại, việc nghiên cứu PTVPCC quan tâm nhiều thời gian từ thập niên cuối kỉ 20 trở lại Sự quan tâm nhà toán học ứng dụng dành cho phương pháp số giải PTVPCC ngày gia tăng, thể qua số lượng ngày nhiều sách chuyên khảo, báo cơng trình nghiên cứu cơng bố đăng tải tạp chí tốn học uy tín Mục tiêu luận văn giới thiệu phương pháp số giải PTVPCC, đặc biệt phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục áp dụng giải toán giá trị ban đầu cho PTVP có chậm số chậm phụ thuộc thời gian Luận văn gồm chương: Chương giới thiệu PTVPCC thông qua việc so sánh với PTVPT Những khác biệt quan trọng tính chất định tính khía cạnh giải số đề cập đến phần đầu chương Phần thứ hai chương giới thiệu cách vắn tắt khái niệm phương pháp số giải PTVPT, từ phần thứ ba lí thuyết cho PTVPT không đủ áp dụng cho PTVPCC z Chương trình bày tồn tính qui nghiệm PTVPCC Đặc biệt, ta tập trung quan tâm vào tính chất vị trí điểm gián đoạn đạo hàm, có, lan truyền chúng dọc theo khoảng tích phân giả thiết khác chậm Chương phác hoạ cách vắn tắt vài hướng tiếp cận khác sử dụng để giải số PTVPCC, tập trung vào hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục Chương trình bày hội tụ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục giới thiệu chương Đặc biệt, ta chứng minh tính đặt chỉnh (well-posedness) phương pháp phân tích cấp hội tụ cho PTVPCC PTVPCC trung tính có chậm số chậm phụ thuộc thời gian Luận văn hoàn thành sở tham khảo hai tài liệu chính: Uri M.Ascher, Linda R.Petzold, Computer Methods for Ordinary Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998 Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press, 2003 Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người thầy tận tâm giảng dạy hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội nơi tác giả hồn thành chương trình cao học giảng dạy hướng dẫn nhiệt tình thầy cô Xin cảm ơn tập thể lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục Trung học, Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình thơng cảm, động viên tạo điều kiện thuận lợi thời gian, công việc để tác giả hồn thành khố học luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bè bạn gia đình hỗ trợ, động viên chia sẻ khó khăn với tác giả suốt thời gian học tập vừa qua Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 15.11.2012 Học viên Đỗ Thị Thuý Ngọc z CHƯƠNG GIỚI THIỆU Nhiều vấn đề thực tế vật lí, kĩ thuật, sinh học, y học, kinh tế mơ hình hóa tốn giá trị ban đầu, cịn gọi tốn Cauchy, cho PTVPT có dạng  y (t) = g(t, y(t)), t ≥ t0 , (1.1) y(t ) = y , 0 hàm y(t), gọi biến trạng thái, biểu diễn đại lượng tham gia vào q trình Tuy nhiên, để làm cho mơ hình phù hợp với tượng thực tế, ta cần biến đổi vế phải (1.1) để thể phụ thuộc biến y vào giá trị khứ biến trạng thái y Dạng tổng quát mô cho PTVPCC y (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , yt = y(t + θ), θ ∈ [−r, 0], hàm thuộc vào không gian Banach C = C ([−r, 0], Rd ) hàm số liên tục ánh xạ khoảng [−r, 0] vào Rd , f : Ω → Rd hàm cho ánh xạ tập hợp Ω ⊂ R × C vào Rd Bài toán giá trị ban đầu  y (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , (1.2) y = y(t + θ) = Φ(θ), t0 Φ(θ) ∈ C biểu diễn điểm khởi tạo liệu khởi tạo z 1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân thường Trong tài liệu này, toán giá trị ban đầu (1.2) mô tả theo cách thức thân thiện sau  y (t) = f (t, y(t − τ1 ), y(t − τn )), t ≥ t0 , (1.3) y(t) = φ(t), t ≤ t Tùy theo độ phức tạp tượng, chậm τi ln ln khơng âm, số (trường hợp chậm số), hàm số t, τi = τi (t) (trường hợp chậm biến thiên phụ thuộc thời gian) chí hàm số t y , τi = τi (t, y(t)) (trường hợp chậm phụ thuộc trạng thái) Luận văn tập trung nghiên cứu vào hai trường hợp: chậm phụ thuộc số chậm phụ thuộc thời gian Để đơn giản hóa mặt kí hiệu, hàm φ(t) hiểu định nghĩa [ρ, t0 ],   ρ = 1≤i≤n min(t − τi ) t≥t0 Một trường hợp phổ biến thú vị n = τ1 ≡ 0, (1.3) có dạng sau  y (t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t ≥ t0 , (1.4) y(t) = φ(t), t ≤ t Vì với t ≥ t0 xảy t − τ < t0 , khác phương trình dạng (1.1) (1.4) nghiệm (1.4) thường phụ thuộc vào hàm khởi tạo φ(t) phụ thuộc vào giá trị khởi tạo y0 (1.1) Nói chung, đạo hàm bên phải y (t+ ), f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ )), không đạo hàm − trái y (t0 ) nghiệm y khơng liên kết trơn với hàm khởi tạo φ(t) điểm t0 , có tính chất C -liên tục đảm bảo Hơn nữa, tính không liên tục đạo hàm lan truyền từ điểm khởi tạo t0 theo khoảng tích phân tạo điểm gián đoạn mà đó, nghiệm ngày trơn Như hệ quả, chí hàm f (t, y, x), τ (t, y) φ(t) (1.4) C ∞ -liên tục nói chung y(t) đơn giản C -liên tục [t0 , tf ] Ví dụ 1.1.1 Xét phương trình  y (t) = −y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = 1, t ≤ z (1.5) Nghiệm phương trình miêu tả Hình 1.1 Vì y (0− ) = y (0+ ) = −y(−1) = −1, hàm đạo hàm y (t) có điểm gián đoạn t = Đạo hàm cấp hai y 00 (t) cho y 00 (t) = −y (t − 1), có điểm gián đoạn t = Đạo hàm cấp ba cho y 000 (t) = −y 00 (t − 1) = y (t − 2) có điểm gián đoạn t = 2, tương tự điểm bội số chậm t = 3, 4, Hình 1.1: Nghiệm (1.5) Trong mơ hình tổng qt hơn, đạo hàm y (t) phụ thuộc vào y y giá trị khứ t − τ Trong trường hợp này, (1.4) thay đổi thành dạng  y (t) = f (t, y(t), y(t − τ ), y (t − τ )), t ≥ t0 , (1.6) y(t) = φ(t), t ≤ t , hàm φ(t) giả thiết C -liên tục Phương trình (1.6) gọi PTVPCC trung tính (delay differential equation of neutral type) Như trước nói, hàm khởi tạo φ(t) khơng liên kết trơn với nghiệm y(t) t0 , nơi có tính liên tục đảm bảo Điểm gián đoạn lan truyền thành tập điểm gián đoạn mà nghiệm, khơng giống trường hợp khơng trung tính, thuộc lớp C Do đó, điều kiện nối φ0 (t− ) = f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ ), φ (t0 − τ )) thỏa mãn, cịn khơng nghiệm (1.6) phải hiểu theo nghĩa tổng quát “hầu khắp nơi” z Ví dụ 1.1.2 Xét phương trình  y (t) = −y (t − 1), t ≥ 0, y(t) = t, t ≤ 0, (1.7) có nghiệm vẽ Hình 1.2 Vì y (0− ) = y (0+ ) = −y (−1) = −1, đạo hàm y (t) có điểm gián đoạn t = Hơn nữa, y (t) = −y (t − 1) với t ≥ 0, đạo hàm y (t) không liên tục t = t = 2, 3, bội số t = Hình 1.2: Nghiệm (1.7) Ví dụ sau rằng, nghiệm bị chặn PTVPT dao động hệ thống có hai thành phần dao động hỗn loạn hệ thống có ba thành phần (Định lí Poincaré-Bendixon), nghiệm PTVPCC có tính chất dao động chí dao động hỗn loạn trường hợp vơ hướng Ví dụ 1.1.3 Xét phương trình logistic có chậm sau y (t) = ay(t)(1 − y(t − 1)), (1.8) phương trình mơ hình hóa thay đổi dân số, cải tiến mơ hình Verhulst-Pearl y (t) = ay(t)(1 − y(t)) Trong nghiệm phương trình Verhulst-Pearl đơn điệu, nghiệm dương (1.8) đơn điệu với a ∈ (0, 1/e), dao động với a ∈ [1/e, π/2) xấp xỉ với quỹ đạo tuần hoàn với a > π/2 (Hình 1.3 1.4) (Xem [6]) Cuối cùng, ta thấy có mặt thành phần chậm thay đổi mạnh mẽ tính chất định tính nghiệm cách tác động đến ổn định mơ hình z 10 Hình 1.3: Nghiệm (1.8) với y(t) = 0.1 t ≤ 0, a = 1.4 0.3 Hình 1.4: Nghiệm (1.8) với a = 1.7 mặt phẳng pha Ví dụ 1.1.4 Xét phương trình vơ hướng tuyến tính  y (t) = λy(t) + µy(t − 1), t ≥ 0, y(t) = −t + 1, t ≤ 0, (1.9) với hệ số λ, µ số thực Ta biết rằng, với µ = 0, phương trình (1.9) có dạng  y (t) = λy(t), t ≥ 0, (1.10) y(0) = 1, Nghiệm phương trình tiệm cận tới với λ âm bùng nổ với λ dương Hơn trường hợp λ âm, nghiệm bị chặn giá z 48 gη (t, y) = f (t, y, η(t − τ (t, y))) Ta đặt jn = vì, để tính tốn (3.29) khoảng [tn , tn+1 ] tại, ta phải tránh sử dụng giá trị cịn tính tốn bước Cần ý rằng, trường hợp này, việc sử dụng mở rộng liên tục làm cho toàn phương pháp ẩn chí phương pháp rời rạc sử dụng hiển Ta gọi kiện “overlapping” Hiển nhiên là, trường hợp này, việc cài đặt phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục u cầu thuật tốn hồn toàn khác Từ ta gọi chế hướng tiếp cận thông thường và, Chương 4, ta chứng minh rằng, chí overlapping xảy ra, định nghĩa tốt, tức (3.29) giải cho chậm phụ thuộc thời gian Rõ ràng là, hướng tiếp cận thông thường, số lượng lớn phương pháp tồn cho (3.28) tuỳ thuộc vào chọn lựa phương pháp số giải PTVP rời rạc mở rộng Thơng thường, phương pháp số giải PTVP lựa chọn lớp phương pháp RK đa bước tuyến tính biết, lớp tổng quát phương pháp k - bước (3.6) Ta quan tâm đến việc trả lời cách tiên nghiệm hai câu hỏi – quan trọng cho thực hành lí thuyết (Q1 ) Với phương trình (3.28), overlapping có xảy hay khơng và, đặc biệt, hàm có chậm xấp xỉ η(t − τ ) có xác định hay không điểm cho trước t khoảng [tn , tn+1 ] (Q2 ) Với cỡ bước hn+1 , khoảng [tn , tn+1 ] có chứa đựng điểm gián đoạn ξ hay khơng, và, đặc biệt hơn, ta lựa chọn cỡ bước hn+1 để có tn+1 = ξ Với câu hỏi (Q1 ), overlapping tránh với cỡ bước đủ nhỏ cách giả sử có giả thiết (H1 ) giới thiệu phần 2.1.2 (H1 ) Tồn số τ0 > cho τ = t − α(t) ≥ τ0 với t ∈ [t0 , tf ] Dưới giả thiết (H1 ), với cỡ bước đủ nhỏ, chẳng hạn hn+1 = tn+1 − tn ≤ τ0 , overlapping không xảy hàm η(s) xác định với s = t−τ (t) với t ∈ [tn , tn+1 ] Thật vậy, t − tn ≤ τ0 ≤ τ (t) với t ∈ [tn , tn+1 ] và, đó, t − τ (t) ≤ tn z 49 Do overlapping tránh với xấp xỉ nghiệm địa phương wn+1 (t) Mặt khác, τ0 < h0 , cỡ bước nhỏ mà phương pháp muốn sử dụng, overlapping xảy Thực vậy, trường hợp này, với n tồn t ∈ [tn , tn+1 ] cho t − tn > τ0 τ (t) = τ0 , điều cho ta t − τ (t) > tn Khi giả thiết (H1 ) không thoả mãn, chậm τ thiết phải triệt tiêu điểm ξ (xem phần 2.1.2) overlapping chắn xảy khoảng tích phân [tn , tn+1 ] chứa điểm ξ z 50 CHƯƠNG SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PTVP VỚI ĐẦU RA LIÊN TỤC Trong chương ta sâu vào hướng tiếp cận thông thường giới thiệu phần 3.3 Đặc biệt, ta chứng minh tính đặt chỉnh (wellposedness) phương pháp phân tích tốc độ hội tụ cho PTVPCC PTVPCC trung tính có chậm số chậm phụ thuộc thời gian Với PTVPCC, toán tổng quát xem xét  y (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t))), t0 ≤ t ≤ tf , y(t) = φ(t), t ≤ t0 ,
f (t, u, v) ∈ C [t0 , tf ] × Rd × Rd , Rd liên tục theo t liên tục Lipschitz toàn cục theo u v chuẩn k.k cho trước Rd , tức kf (t, u1 , v1 ) − f (t, u2 , v2 )k ≤ L ku1 − u2 k + M kv1 − v2 k với t ∈ [t0 , tf ], u1 , v1 , u2 , v2 ∈ Rd với số L > M > Với PTVPCC trung tính, ta xem xét toán  y (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t, y(t))), y (t − σ(t, y(t)))), t0 ≤ t ≤ tf , y(t) = φ(t), t ≤ t0 ,
f (t, u, v, w) ∈ C [t0 , tf ] × Rd × Rd × Rd , Rd liên tục theo t liên tục Lipschitz toàn cục theo u, v w chuẩn k.k cho trước Rd , tức kf (t, u1 , v1 , w1 ) − f (t, u2 , v2 , w2 )k ≤ L ku1 − u2 k + M kv1 − v2 k + N kw1 − w2 k với t ∈ [t0 , tf ], u1 , v1 , w1 , u2 , v2 , w2 ∈ Rd với số L > 0, M > N > z 51 Trong phần 3.3 ta hướng tiếp cận tổng quát dẫn đến thủ tục khác cách tuỳ theo việc overlapping có xảy hay khơng (xem câu hỏi (Q1 )) Ta thấy rằng, khoảng [tn , tn+1 ], điều xác định cỡ bước hn+1 hay không tuỳ theo hiệu lực giả thiết (H1 ) Chính xác hơn, (H1 ) thoả mãn, overlapping tránh với cỡ bước đủ nhỏ Tuy nhiên, xảy với cỡ bước lớn chí (H1 ) thoả mãn Tuy nhiên, (H1 ) không thoả mãn overlapping chắn xảy lân cận điểm chậm triệt tiêu Việc phân tích tính đặt chỉnh hội tụ hướng tiếp cận thông thường xem xét riêng rẽ cho trường hợp khác đặc trưng tính có hiệu lực hay khơng (H1 ) Ta dành quan tâm đặc biệt cho toán định vị điểm gián đoạn (xem câu hỏi (Q2 )), tham gia chúng vào lưới điểm, chủ yếu nằm mối quan hệ với ảnh hưởng đến cấp hội tụ Cuối cùng, ta điểm lại cách vắn tắt phương pháp đề cập đến tài liệu trước chương trình có liên quan 4.1 PTVPCC với chậm số chậm phụ thuộc thời gian không triệt tiêu Chúng ta bắt đầu việc phân tích hội tụ hướng tiếp cận thơng thường việc nghiên cứu PTVPCC sau  y (t) = f (t, y(t), y(t − τ (t))), t0 ≤ t ≤ tf , (4.1) y(t) = φ(t), t ≤ t , chậm τ = τ (t) thoả mãn giả thiết (H1 ) Để tránh overlapping, phần ta khai thác giả thiết (H1 ) cách sử dụng cỡ bước đủ nhỏ, tức ≤ τ0 , giả thiết tính tốn cách tiên nghiệm điểm gián đoạn để gộp vào lưới ∆ Tuy nhiên, việc cài đặt với lưới điểm tự hồn tồn, với cỡ bước ≥ τ0 mà gây overlapping, phổ biến Chúng thảo luận phần tiếp theo, dành cho trường hợp tổng quát PTVPCC với chậm phụ thuộc thời gian Cho lưới ∆ = {t0 , t1 , , tn , , tN = tf } chứa điểm gián đoạn (xem Định nghĩa 2.1.2) điểm gián đoạn có cấp ≤ p [t0 , tf ] (xem Định nghĩa 2.1.1) Ta kí hiệu chúng ξ0 = t0 < ξ1 < < ξs cho, z 52 khoảng [ξ0 , ξ1 ], [ξ1 , ξ2 ], , [ξs , tf ], nghiệm y(t) thuộc lớp C p+1 và, với ξs+1 = tf , khoảng [ξi , ξi+1 ] ánh xạ vào bên trái ξi đối số chậm α(t) = t − τ (t) Dưới giả thiết chuỗi PTVPT  z (t) = f (t, z(t), η(t − τ (t))), ξi ≤ t ≤ ξi+1 , z(ξi ) = η(ξi ), giải phương pháp (3.6) và, tiếp theo, nội suy (3.8) với i = 0, , s, η(s) cho hàm khởi tạo φ(s) với s ≤ t0 nghiệm số tìm trước với s > t0 Thủ tục sau đây, dựa vào tích phân đệ qui PTVPT qua khoảng nhỏ [ξi−1 , ξi ], gọi phương pháp bước tóm tắt đoạn giả mã Thuật tốn 4.1.1 Định điểm gián đoạn điểm gián đoạn cấp ≤ p ξ1 , , ξs (< tf ), đặt ξ0 = t0 , ξs+1 = tf Giải phương trình  z (t) = f (t, z(t), φ(t − τ (t))), ξ0 ≤ t ≤ ξ1 , z(ξ0 ) = φ(ξ0 ), phương pháp giải PTVP rời rạc Với i = 1, , s: + Tính tốn lưu trữ mở rộng liên tục η(t) với t ∈ [ξi−1 , ξi ] liệu nội suy từ khoảng [ξi−1 , ξi ] + Giải phương trình  z (t) = f (t, z(t), φ(t − τ (t))), ξi ≤ t ≤ ξi+1 , z(ξi ) = η(ξi ), phương pháp giải PTVP rời rạc Vẽ nghiệm xấp xỉ η(t) [ξ0 , ξs+1 ] Kết thúc Sự hội tụ phương pháp bước cho định lí Định lý 4.1.1 Xét PTVPCC (4.1) f (t, y, x) C p -liên tục [t0 , tf ] × Rd × Rd , chậm τ (t) C p -liên tục [t0 , tf ] thoả mãn giả thiết (H1 ), hàm khởi tạo φ(t) C p -liên tục Hơn nữa, giả sử rằng: z 53 (h1 ) Lưới ∆ = {t0 , t1 , , tn , , tN = tf } chứa đựng tất điểm gián đoạn điểm gián đoạn có cấp ≤ p nằm [t0 , tf ], kí hiệu ξ1 , , ξs (< tf ) (h2 ) Phương pháp giải PTVP (3.6) xác cấp p, thoả mãn điều kiện ổn định (3.17) và, với k > 1, khởi động lại sau điểm gián đoạn ξi , i = 0, 1, , s, phương pháp cấp ≥ p − (h3 ) Hàm nội suy (3.8) xác cấp q (h4 ) Với n, khoảng [tn−in , tn+jn +1 ], phép nội suy tiến hành, chứa khoảng [ξi , ξi+1 ] với số ≤ i ≤ s Khi phương pháp bước kết có cấp tồn cục rời rạc tồn cục q = min{p, q + 1}, tức max ky(tn ) − yn k = O(hq ) 1≤n≤N max ky(t) − η(t)k = O(hq ), t0 ≤t≤tf h = max hn 1≤n≤N Chứng minh dựa vào bổ đề sau thể phụ thuộc vào liệu nghiệm số IVP (3.4) n oN ynβ nghiệm số Bổ đề 4.1.1 Cho {ynα }N n=0 n=0 y = g(t, y(t)), a ≤ t ≤ b, với điều kiện khởi tạo y(a) α β , đạt phương pháp (3.6) với αn,i thoả mãn điều kiện ổn định (3.17) giá trị bắt đầu β β β T β α , y α , , y α ]T , y α = α yβ yαk−1 = [yk−1 0 k−2 k−1 = [yk−1 , yk−2 , , y0 ] , y0 = β Khi tồn số M > độc lập với lưới ∆ cho (4.2) max ynα − y β ≤ M max ysα − ysβ k≤n≤N n 0≤s≤k−1 Tương tự, với mở rộng liên tục η α (t) η β (t) cho phương pháp (3.8), tồn số S > cho (4.3) max η α (t) − η β (t) ≤ S max ysα − ysβ a≤t≤b 0≤s≤k−1 Chứng minh Phương pháp số rời rạc cho hai IVP α α α yn+1 = αn,1 ynα + + αn,k yn−k+1 + hn+1 Φ(ynα , , yn−k+1 ; g, ∆n ) z 54 β β β yn+1 = αn,1 ynβ + + αn,k yn−k+1 + hn+1 Φ(ynβ , , yn−k+1 ; g, ∆n ) với n = k − 1, , N − Bằng kí hiệu lập luận tương tự chứng minh Định lí 3.2.1, ta có α β yαn − yβn + hn+1 k|Γn |k , n = k − 1, , N − 1, y − y ... Một số phương pháp số tiêu biểu giải phương trình vi phân thường 1.3 Nghiệm số phương trình vi phân có chậm: Phương pháp cho phương trình vi phân thường liệu có đủ... thích hợp giải tốn cương, xem [3] z 17 1.3 Nghiệm số phương trình vi phân có chậm: Phương pháp cho phương trình vi phân thường liệu có đủ hay khơng? Để minh hoạ vài đặc trưng phương pháp số giải PTVPCC... Giới thiệu 1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân thường 1.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân thường 1.2.1 Các khái