Luận văn thạc sĩ phương pháp số giải phương trình vi phân có chậm

1 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ TH± THÚY NGOC PHƯƠNG PHÁP SO GIAI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CH¾M Chun ngành : TỐN HOC TÍNH TỐN Mã so : 60 46 30 Ngưài hưáng dan : PGS TS VŨ HOÀNG LINH HÀ N®I - 2012 Mnc lnc Lài nói đau Giỏi thiắu 1.1 Mđt vi vớ du so sánh phương trình vi phân có ch¾m phương trình vi phân thưòng 1.2 Phương pháp so giai phương trình vi phân thưịng 12 1.2.1 Các khái ni¾m ban 12 1.2.2 M®t so phương pháp so tiêu bieu giai phương trình vi phân thưịng .14 1.3 Nghi¾m so cna phương trình vi phân có ch¾m: Phương pháp cho phương trình vi phân thưịng li¾u có đn hay khơng? 17 1.3.1 Sn that bai ve cap xác cna phương pháp 18 1.3.2 Sn that bai ve tính őn đ%nh 20 1.3.3 M®t phương pháp tot cho PTVPCC .25 SE ton tai tính qui cua nghi¾m cua phương trình vi phân có ch¾m 27 2.1 V% trí cna điem gián đoan sn trơn dan cna nghi¾m .27 2.1.1 Các điem gián đoan goc thú cap .28 2.1.2 Ch¾m tri¾t tiêu khơng tri¾t tiêu 31 2.1.3 Ch¾m b% ch¾n khơng b% ch¾n 32 2.2 Sn ton tai tính nhat nghi¾m .35 Các phương pháp cho phương trình vi phân có ch¾m 37 3.1 Hưóng tiep c¾n đau tiên .38 3.2 Các ket qua sơ b® ve phương pháp so giai PTVP vói đau liên tuc 40 3.3 Hưóng tiep c¾n thơng thưịng thơng qua phương pháp so giai PTVP vói đau liên tuc .47 SE h®i tn cua phương pháp so giai PTVP vái đau liên tnc 50 4.1 PTVPCC vúi chắm hang so hoắc chắm phu thuđc thũi gian khơng tri¾t tiêu 51 4.2 PTVPCC vói chắm phu thuđc thũi gian tu ý 59 Ket lu¾n 67 Tài li¾u tham khao 69 Phn lnc 70 LèI NÓI ĐAU Ta biet phương trình vi phân thưịng (PTVPT) phương trình có dang: y J (t) = f (t, y(t)), t ≥ t0 Tuy nhiên, nhieu van đe, bien y J cịn phu thu®c vào giá tr% q khú cna bien y Khi PTVPT bien đői thành phương trình sau, GQI phương trình vi phân có ch¾m (PTVPCC): y J (t) = f (t, y(t − τ1 ), , y(t − τn )), t ≥ t0 , vói τi = τi (t, y(t)) ≥ ∀t ≥ t0 , i = 1, , n, đưoc GQi ch¾m Vi¾c nghiên cúu ve m¾t lí thuyet phương pháp so giai PTVPT thu hút đưoc sn quan tâm cna nhà toán HQc m®t thịi gian dài vói rat nhieu nhung ket qua quan TRQNG Ngưoc lai, vi¾c nghiên cúu đoi vói PTVPCC mói đưoc quan tâm nhieu thịi gian tù nhung th¾p niên cuoi the ki 20 tro lai Sn quan tâm cna nhà toán HQc úng dung dành cho phương pháp so giai PTVPCC ngày gia tăng, the hi¾n qua so lưong ngày nhieu sách chun khao, báo cơng trình nghiên cúu đưoc công bo đăng tai tap chí tốn HQc uy tín Muc tiêu cna lu¾n văn giói thi¾u phương pháp so giai PTVPCC, đ¾c bi¾t phương pháp so giai PTVP vói đau liên tuc áp dung giai toán giá tr% ban đau cho PTVP có ch¾m hang so ho¾c chắm chi phu thuđc thũi gian Luắn gom chương: Chương se giói thi¾u PTVPCC thơng qua vi¾c so sánh vói PTVPT Nhung khác bi¾t quan TRQNG nhat ve tính chat đ%nh tính ve khía canh giai so se đưoc đe c¾p đen phan đau cna chng Phan thỳ hai cna chng giúi thiắu mđt cách van tat khái ni¾m ban ve phương pháp so giai PTVPT, tù phan thú ba se chi lí thuyet cho PTVPT khơng đn áp dung cho PTVPCC Chương trình bày sn ton tai tính qui nghi¾m cna PTVPCC Đ¾c bi¾t, ta se t¾p trung sn quan tâm vào tính chat v% trí cna điem gián đoan cna đao hàm, neu có, sn lan truyen cna chúng DQc theo khoang tích phân dưói gia thiet khác trờn cỏc chắm Chng phỏc hoa mđt cỏch van tat mđt vi húng tiep cắn khỏc ó đưoc su dung đe giai so PTVPCC, t¾p trung vào hưóng tiep c¾n thơng thưịng thơng qua phương pháp so giai PTVP vói đau liên tuc Chương trình bày sn h®i tu cna phương pháp so giai PTVP vói đau liên tuc đưoc giói thi¾u chương Đ¾c bi¾t, ta chúng minh tính đ¾t chinh (well-posedness) cna phương pháp phân tích cap h®i tu cna cho PTVPCC PTVPCC trung tớnh cú chắm hang so hoắc chắm phu thuđc thũi gian Lu¾n văn đưoc hồn thành so tham khao hai tài li¾u chính: Uri M.Ascher, Linda R.Petzold, Computer Methods for Ordinary Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998 Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press, 2003 Qua đây, tác gia xin chân thành cam ơn PGS.TS Vũ Hồng Linh, ngưịi thay t¾n tâm giang day hưóng dan tác gia hồn thành ban lu¾n văn Xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành đen trưòng Đai HQ c Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i nơi tác gia hồn thành chương trình cao HQ c dưói sn giang day hưóng dan nhi¾t tình cna thay Xin đưoc cam ơn t¾p the lãnh đao, chuyên viên phòng Giáo duc Trung HQc, So Giáo duc Đào tao Ninh Bình thơng cam, đng viờn v tao mQI ieu kiắn thuắn loi ve thịi gian, cơng vi¾c đe tác gia hồn thành khố HQc lu¾n văn Cuoi cùng, xin đưoc cam ơn bè ban gia đình ho tro, đ®ng viên chia se nhung khó khăn vói tác gia suot thịi gian HQc t¾p vùa qua Do thịi gian trình đ® cịn han che, chac chan ban lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót, tác gia rat mong nh¾n đưoc sn chi bao t¾n tình cna thay ban bè đong nghi¾p, tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, 15.11.2012 HQc viên Đo Th% Thuý NGQc CHƯƠNG GIéI THIfiU Nhieu van đe thnc te v¾t lí, kĩ thu¾t, sinh hQc, y HQc, kinh te có the đưoc mơ hình hóa bang m®t tốn giá tr% ban đau, ho¾c cịn đưoc GQI tốn Cauchy, cho PTVPT có dang y J (t) = g(t, y(t)), t y(t0 ) = y0 , t0 , (1.1) ≥ hàm y(t), đưoc GQI bien trang thái, bieu dien m®t đai lưong tham gia vào q trình Tuy nhiên, đe làm cho mơ hình phù hop vói hi¾n tưong thnc te, đơi ta can bien đői ve phai cna (1.1) đe the hiắn sn phu thuđc cna bien y J vo giá tr% khú cna bien trang thái y Dang tőng qt nhat cna mơ the đưoc cho boi PTVPCC y J (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , yt = y(t + θ), θ ∈ [−r, 0], m®t hàm thu®c vào khơng gian Banach C = C0([−r, 0], Rd) hàm so liên tuc ánh xa khoang [−r, 0] vào Rd , f : Ω → Rd l mđt hm ó cho ỏnh xa hop Ω ⊂ R × C vào Rd Bài tốn giá tr% ban đau bây giò y J (t) = f (t, yt ), t t0 , yt0 = y(t0 + θ) = Φ(θ), ≥ Φ(θ) ∈ C bieu dien điem khoi tao ho¾c du li¾u khoi tao (1.2) 1.1 M®t vài ví dn so sánh phương trình vi phân có ch¾m phương trình vi phân thưàng Trong tài li¾u này, tốn giá tr% ban đau (1.2) se đưoc mơ ta theo m®t cách thúc thân thi¾n sau y J (t) = f (t, y(t − τ1 ), y(t − τn )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 (1.3) Tựy theo đ phỳc tap cna hiắn tong, cỏc chắm τi ln ln khơng âm, có the chi hang so (trưịng hop ch¾m hang so), ho¾c hàm so cna t, τi = τi(t) (trưịng hop ch¾m bien thiờn hoắc phu thuđc thũi gian) hoắc thắm hàm so cna t y, τi = i(t, y(t)) (trũng hop chắm phu thuđc trang thỏi) Lu¾n văn se t¾p trung sn nghiên cúu vào hai trũng hop: chắm phu thuđc hang so v chắm phu thuđc thũi gian e n gian húa ve mắt kí hi¾u, hàm φ(t) đưoc hieu đưoc đ%nh nghĩa [ρ, t0], ρ = 1≤i≤n Σmin(t − t≥t τi) M®t trưịng hop phő bien thú v% n = τ1 ≡ 0, (1.3) có dang sau y J (t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t ≥ (1.4) t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 Vì vói t ≥ t0 có the xay t − τ < t0 , sn khác đau tiên giua phương trình dang (1.1) (1.4) nghi¾m cna (1.4) thưịng phu thu®c vào hàm khoi tao φ(t) phu thu®c vào giá tr% khoi tao y0 đoi vói (1.1) Nói chung, đao hàm bên phai y J (t+0), f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ )), không bang đao hàm trái y J (t−0 ) nghi¾m y khơng đưoc liên ket trơn vói hàm khoi tao φ(t) tai điem t0 , o chi có tính chat C -liên tuc có the đưoc đam bao Hơn nua, tính khơng liên tuc cna đao hàm se lan truyen tù điem khoi tao t0 theo khoang tích phân tao điem gián đoan tiep theo mà tai đó, nghi¾m ngy cng trn hn Nh mđt hắ qua, thắm neu hàm f (t, y, x), τ (t, y) φ(t) (1.4) C ∞ -liên tuc nói chung y(t) đơn gian chi C -liên tuc [t0 , tf ] Ví dn 1.1.1 Xét phương trình J y (t) = −y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = 1, t ≤ (1.5) Nghi¾m cna phương trình đưoc miêu ta Hình 1.1 Vì y J (0− ) = y J (0+ ) = −y(−1) = −1, hàm đao hàm y J (t) có m®t điem gián đoan tai t = Đao hàm cap hai y JJ (t) đưoc cho boi y JJ (t) = −y J (t − 1), có m®t điem gián đoan tai t = Đao hàm cap ba đưoc cho boi y JJJ (t) = −y JJ (t − 1) = y J (t − 2) có m®t điem gián đoan tai t = 2, tương tn the tai điem b®i so cna ch¾m t = 3, 4, Hình 1.1: Nghi¾m cna (1.5) Trong mơ hình tőng qt hơn, đao hàm y J (t) có the phu thu®c vào y y J tai m®t giá tr% q khú t − τ Trong trưịng hop này, (1.4) thay đői thành dang J y (t) = f (t, y(t), y(t − τ ), y J (t − τ )), t ≥ (1.6) t , y(t) = φ(t), t ≤ t , 0 hàm φ(t) đưoc gia thiet nhat C -liên tuc Phương trình (1.6) đưoc GQI m®t PTVPCC trung tính (delay differential equation of neutral type) Như trưóc nói, hàm khoi tao φ(t) khơng liên ket trơn vói nghi¾m y(t) tai t0 , nơi chi có nhat tính liên tuc đưoc đam bao Điem gián đoan se lan truyen thnh mđt cỏc iem giỏn oan mà o nghi¾m, khơng giong trưịng hop khơng trung tính, chi thu®c nhat lóp C Do đó, trù phi đieu ki¾n noi φJ (t−0 ) = f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ ), φJ (t0 − τ )) đưoc thoa mãn, cịn khơng nghi¾m cna (1.6) phai đưoc hieu theo nghĩa tőng quát “hau khap nơi” Ví dn 1.1.2 Xét phương trình J y (t) = −y J (t − 1), t ≥ 0, y(t) = t, t ≤ 0, (1.7) có nghi¾m đưoc ve Hình 1.2 Vì y J (0− ) = y J (0+ ) = −y J (−1) = −1, đao hàm y J (t) có m®t điem gián đoan tai t = Hơn nua, y J (t) = −y J (t − 1) vói MQI t ≥ 0, đao hàm y J (t) không liên tuc tai t = tai t = 2, 3, bđi so cna t = Hỡnh 1.2: Nghiắm cna (1.7) Ví du sau chi rang, nghiắm b% chắn cna cỏc PTVPT cú the dao đng chi h¾ thong có nhat hai thành phan v cú the dao đng hon loan chi hắ thong có nhat ba thành phan (Đ%nh lí Poincaré-Bendixon), nghi¾m cna PTVPCC có the có tính chat dao đng v thắm dao đng hon loan trưịng hop vơ hưóng Ví dn 1.1.3 Xét phương trình logistic có ch¾m sau y J (t) = ay(t)(1 − y(t − 1)), (1.8) phương trình mơ hình hóa sn thay đői cna dân so, cai tien cna mơ hình Verhulst-Pearl y J (t) = ay(t)(1 − y(t)) Trong nghi¾m cna phương trình Verhulst-Pearl đơn đi¾u, nghi¾m dương cna (1.8) đơn đi¾u vói a ∈ (0, 1/e), dao đ®ng vói a ∈ [1/e, π/2) xap xi vói quy đao tuan hồn vói a > π/2 (Hình 1.3 1.4) (Xem [6]) Cuoi cùng, ta thay rang sn có m¾t cna thành phan ch¾m có the thay đői manh me tính chat %nh tớnh cna nghiắm bang cỏch tỏc đng en sn őn đ%nh cna mơ hình Hình 1.3: Nghi¾m cna (1.8) vói y(t) = 0.1 t ≤ 0, a = 1.4 0.3 Hình 1.4: Nghi¾m cna (1.8) vói a = 1.7 m¾t phang pha Ví dn 1.1.4 Xét phương trình vơ hưóng tuyen tính y J (t) = λy(t) + µy(t − 1), t ≥ (1.9) 0, y(t) = −t + 1, t ≤ 0, vói hắ so , l cỏc hang so thnc Ta biet rang, vói µ = 0, phương trình (1.9) có dang y J (t) = λy(t), t (1.10) ≥ 0, y(0) = 1, Nghi¾m cna phương trình ti¾m c¾n tói vói MQI λ âm bùng nő vói λ dương bat kì Hơn nua trưịng hop λ âm, nghi¾m cịn b% ch¾n boi giá Do đó, ton tai m®t hang so K > cho ǁy(ts) − η(ts)ǁ ≤ K|||ys − ηs||| ∀s ta đưoc ǁy(t) − η(t)ǁ ≤ Mhn+1 + (T + hn+1S)Ken + hn+1REn+1 (4.24) max tn≤t≤tn+ q+ vói n = k − 1, , N − Vói L = max{M, P, Q, R, TK, SK} bat thúc (4.23) (4.24) dan đen en+1 ≤ (1 + hn+1L)en + hn+1LEn+1 + hn+1Lhp (4.25) ǁy(t) − η(t)ǁ ≤ (1 + h)Len + hLEn+1 + Lh (4.26) max tn≤t≤tn+ q+ vói n = k − 1, , N − Vì ca en En đơn đi¾u, (4.26) cho ta (4.27) En+1 ≤ (1 + h)Len + hLEn+1 + Lhq+1 (1 + h)L ≤ en − hL + En+ L (4.28) hq+1, − hL vói n = k − 1, , N − Bây giị, gia su, khơng có han che nào, rang h ≤ h∗, h∗ = min{1, 1/(2L)}, đ%nh nghĩa Λ = 2(L + L2) Thay (4.28) vào (4.25), ta đưoc en+1 ≤ Σ1 + n+ L+ ΣΣ h (1+h)L2 1−hL n e + hn+1 L+ L (4.29) vói n = k − 1, , N − 1, q J = min{p, q + 1} Tù ta có n −tk−1)e k−1 + J 1−h L ≤ (1 + Λhn+1 )en + hn+1 Λhqj ≤ eΛhn+1 en + hn+1 Λhqj en ≤ e Λ(t Σ hq Σn eΛ(t n −ti ) q hi Σ Λh j i= k ≤ eΛ(tf −tk−1 ) ek−1 + (eΛ(tf −tk−1 ) − 1)hq , J đó, gia thiet (hj ), (hj ) (hj ) kéo theo ek−1 = O(hq+1 ) (nhac lai rang q ≤ p), ta có đieu phai chúng minh.Q Đe ket thúc phan này, ta xét PTVPCC hang so sau y J (t) = ay(t) − π ea y(t − 1), t ≥ 0, π y(t) = φ(t) = eat sin( t), t ≤ 0, (4.30) Bang 4.1: Ket qua giai so phương trình (4.30) i 10 h n 1/2 20 1/4 40 1/8 80 1/16 160 1/32 320 1/64 640 1/128 1280 1/256 2560 1/512 5120 1/1024 10240 sai so 0.0232 0.0056 0.0014 3.4904e - 04 8.7210e - 05 2.1808e - 05 5.4505e - 06 1.3626e - 06 3.4066e - 07 8.5164e - 08 toc đ® h®i tu 2.0546 2.0053 1.9949 2.0008 2.0001 1.9999 2.0000 2.0000 2.0000 Phương trình có nghi¾m xác y(t) = eatsin( 2π t) thu®c lóp C ∞ [−1, +∞) Phương trình có điem gián đoan goc đong thịi điem gián đoan đoan [0, 10] ξ0 = 0, ξ1 = 1, ξ2 = 2, , ξ10 = 10 Ta giai so phương trình đoan [0, 10] bang thu¾t tốn 4.1.1 vói phương pháp trung điem có cap xác p = 2, thoa mãn đieu ki¾n őn đ%nh (3.17) phép n®i suy tuyen tính có cap xác đeu q = Bưóc lưói đưoc su dung bưóc lưói đeu h = , i ∈ N Như v¾y lưói ∆ chúa tat ca điem gián đoan vói moi n, khoang [tn, tn+1], o phép n®i suy tien hành, đưoc chúa khoang [ξi, ξi+1] vói chi so ≤ i ≤ 10 Theo đ%nh lí 4.1.1, phương pháp tùng bưóc ket qua có cap xác rịi rac J q = min{p, q + 1} = min{2, + 1} = Bang thnc nghi¾m so, ta thay toc đ® h®i tu bang 2, phù hop vói ket qua ve m¾t lí thuyet nêu o KET LU¾N Qua nghiên cúu đe tài, có the rút mđt so ket luắn sau: - Sn xuat hiắn cna thành phan ch¾m làm thay đői tính chat cna nghi¾m cna PTVPCC so vói PTVPT ve tính qui, tớnh dao đng, sn n %nh, tớnh b% chắn Nhung thay đői này, đ¾c bi¾t sn xuat hi¾n cna điem gián đoan goc sn lan truyen cna chúng DQc theo khoang tích phân gây nhung khó khăn nhat đ%nh vi¾c giai so PTVPCC Boi v¾y lý thuyet cho PTVPT khơng đn áp dung cho PTVPCC Qua ví du cu the, ta thay rang vi¾c giai so PTVPCC khụng the chi dna vo viắc sua lai mđt mó PTVPT tiêu chuan cho phù hop vói sn có m¾t cna thành phan có ch¾m Vi¾c giai so PTVPCC thnc sn yêu cau vi¾c su dung cỏc phng phỏp oc thiet ke mđt cỏch ắc biắt, tuỳ thu®c vào ban chat cna phương trình tính chat cna nghi¾m - Điem gián đoan goc múc k ξk,i bat kì y(k+1) tao điem gián đoan goc múc (k + 1) y (k+2) tai điem ξk+1,j ke tiep, o nghi¾m cna PTVPCC tro nên trơn múc cna điem gián đoan goc tăng lên Ngưoc lai, vói PTVPCC dang trung tính, sn trơn dan lên cna nghi¾m khơng xuat hi¾n nói chung, nghi¾m van chi C -liên tuc tai MQI điem gián đoan goc - Đe khac phuc nhung khó khăn ch¾m tri¾t tiêu ho¾c ch¾m b% ch¾n gây ra, can thiet phai đ¾t gia thiet phù hop lên ch¾m Vói gia thiet đó, nghi¾m cna PTVPCC se ton tai đ%a phương ho¾c ton tai tồn cuc - Có nhung hưóng tiep c¾n khác đưoc su dung đe giai so PTVPCC Tuy nhiên hưóng tiep c¾n thơng thưòng nhat su dung phương pháp so giai PTVP vói đau liên tuc Khi áp dung hưóng tiep cắn ny, mđt khú khn cú the xay l hi¾n tưong overlapping, hi¾n tưong có the can tro sn thành cơng cna phương pháp Tuy nhiên, vói gia thiet phù hop đưoc đ¾t phương pháp so giai PTVP vói đau liên tuc van h®i tu vói m®t cap h®i tu đưoc mong muon áp dung cho PTVPCC Trong khn khő cna lu¾n văn trình bày hai đ%nh lí ve sn h®i tu cna phương pháp so giai PTVP vói đau liên tuc áp dung cho PTVPCC có ch¾m hang so hoắc chắm phu thuđc thũi gian Cỏc %nh lớ ny ó oc kiem nghiắm qua mđt so vớ du cu the đưoc trình bày lu¾n văn Giai so PTVPCC m®t lĩnh vnc mói me, có nhieu úng dung khoa HQ c kĩ thu¾t thnc te nhieu van đe can đưoc nghiên cúu giai quyet Qua lu¾n văn này, tác gia đat đưoc muc tiêu đe tiep cắn lớ thuyet, Qc hieu, trỡnh by lai mđt cỏch hắ thong cỏc kien thỳc ó lnh hđi v kiem nghiắm chỳng thụng qua viắc giai so mđt so toán cu the Trong giai đoan tiep theo, tác gia se t¾p trung nghiên cúu phương trình vi phân đai so có ch¾m vi¾c xây dnng nghiên cúu sn h®i tu cna phương pháp so giai phương trình TÀI LIfiU THAM KHAO [1] Pham Kỳ Anh, Giai tích so, NXB ĐHQG Hà N®i, 2008 [2] Nguyen The Hồn, Pham Phu, Cơ sá phương trình vi phân lí thuyet őn đ %nh, NXB Giáo duc, 2009 [3] Uri M.Ascher, Linda R.Petzold, Computer Methods for Ordinary Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998 [4] Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press, 2003 [5] L.E.El’sgol’ts, S.B.Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York, 1973 [6] E.Hairer, S.P.Norsett, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I - Nonstiff Problems, Springer, 1993 [7] J.K.Hale, Homoclinic orbits and chaos in delay equations, in Proceedings of The Ninth Dundee Conference on Ordinary anh Partial Differential Equa- tions, B.D.Sleeman and R.J.Jarvis Eds., Wiley, New York, 1986 [8] G.A.Kamenskii, Existence, uniqueness and continuous dependence in initial conditions of systems of differential equations with a deviating argument of neutral type, Math Sb (N.S.) 55 (1961), 363-378 [9] H.J.Oberle, H.J.Pesch, Numerical Treatment of Delay Differential Equations by Hermite Interpolation, Numer Math 37, 235 - 255 (1981) PHU LUC Chương trình MATLAB DDE23 Nghi¾m so cna phương trình (1.5), (1.6), (1.7), (1.8), (1.9), (1.20), (1.24) chương cna tài li¾u đưoc ve bang chương trình MATLAB DDE23 cna hai tác gia L.F.Shampine S.Thompson DDE23 mđt chng trỡnh giai PTVPCC vúi chắm hang so, su dung phương pháp Runge-Kutta Bogacki- Shampine BS(2,3) vói m®t mo rđng liờn tuc dna trờn phộp nđi suy Hermite bắc ba Bang Butcher cna phương pháp BS(2,3) đưoc cho sau Xét phương trình 29 24 4 14 y J (t) = f (t, y(t), y(t − τ1 ), y(t − τ2 ), , y(t − τk )) M®t cú pháp thơng thưịng su dung DDE23 SOL = DDE23(DDEFUN, LAGS, HISTORY, TSPAN); Các ch¾m hang so dương τ1, τ2, , k oc nhắp vo nh l mđt vectơ LAGS DDEFUN m®t hàm xu lí, DDEFUN(T, Y, Z) tra lai m®t vectơ c®t úng vói f (t, y(t), y(t − τ1), y(t − τ2), , y(t − τk)) Trong DDEFUN, đai lưong vơ hưóng T bien t hiắn tai, vect cđt Y xap xi y(t) v cđt Z(:,j) xap xi y(t j) vúi chắm τj =LAGS(j) Các PTVPCC đưoc tích phân tù T0=TSPAN(1) đen TF=TSPAN(end) vói T0 < TF Nghi¾m tai t ≤T0 đưoc xác đ%nh boi HISTORY: HISTORY m®t hàm xu lí, vói m®t vơ hưóng T, HISTORY(T) tra lai m®t vectơ c®t y(t) Neu y(t) hang so, HISTORY(T) có the vectơ c®t DDE23 tao mđt nghiắm liờn tuc trờn [T0, TF] Nghiắm oc tớnh toán tai điem TINT su dung output SOL cna DDE23 hàm DDEVAL: YINT = DDEVAL(SOL,TINT) Output SOL m®t cau trúc vói: SOL.x: Lưói đưoc lna cHQN boi DDE23 SOL.y: Xap xi cna y(t) tai điem lưói cna SOL.x SOL.yp: Xap xi cna y J (t) tai điem lưói cna SOL.x SOL.Solver: ‘DDE23’ Xét phương trình (1.5) J y (t) = −y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = 1, t ≤ đưoc giai [0, 3] Câu l¾nh su dung DDE23 SOL = DDE23(‘c1p1e1’,1,1,[0, 3]); c1p1e1 đưoc xác đ%nh sau function v = c1p1e1(t, y, Z) v = -Z; Câu l¾nh giai phương trình (1.5) [0, 3] vói ch¾m bang 1, phương trình đưoc tính tốn boi hàm so c1p1e1 Giá tr% tính tốn cho t le0 bang hang so nghi¾m đưoc ve boi l¾nh plot(SOL.x, SOL.y) Xét phương trình (1.6) y J (t) = 1, 7y(t)(1 − y(t − 1)), t ≥ 0, Ta giai phương trình [0, 50] vói y(t) = 0, t DDE23 tớnh toỏn mđt nghiắm xap xi S(t) khoang TSPAN đ¾t vào SOL thơng tin can thiet đe đ%nh tr% Vi¾c đ%nh tr% đưoc thnc hi¾n vói câu l¾nh DDEVAL Ta chi can cung cap cau trỳc nghiắm v mđt mang t điem tai ta muon giá tr% cna S(t) S J (t) [S, Sp] = DDEVAL(SOL, t); Vói dang output này, ban có the giai m®t PTVPCC chi m®t lan sau đat đưoc giá tr% cna nghi¾m tai MQI nơi ban muon Nghiắm so liờn tuc v cú mđt ao hm liờn tuc, v¾y ban ln ln có the có đưoc m®t đo th% trơn bang cách đ%nh tr% tai đn điem vói DDEVAL Ta ve y(t − 1) v y(t) mđt mắt phang pha ieu ny l phő bien h¾ tăng trưong phi tuyen, ta khơng the làm ví du Đó boi phan tu SOL.x khơng cách đeu nhau: Neu t∗ xuat hi¾n SOL.x, ta có m®t xap xi cho y(t∗ ) SOL.y, nói chung t∗ − khơng xuat hi¾n SOL.x, vắy ta khụng cú mđt xap xi cho y(t 2) Nhng DDEVAL lm viắc ú mđt cỏch de dng Đau tiên ta xác đ%nh m®t mang t gom 500 điem cách đeu [1,50] tính giá tr% nghi¾m tai điem vói DDEVAL Sau ta su dung DDEVAL lan thú hai đe tính nghi¾m tai giá tr% t− Bang cách ta đat đưoc xap xi cna y(t) y(t− 2) vói m®t giá tr% cna t Chương trình hồn chinh đe tính tốn ve y(t − 2) y(t) trờn cựng mđt mắt phang pha l SOL=DDE23(c1p1e62,1,0.1,[0, 50]); t=linspace(1,50,500); y=DDEVAL(SOL,t); ylag=DDEVAL(SOL,t-1); plot(y,ylag); hàm c1p1e62 đưoc xác đ%nh sau function v = c1p1e62(t, y, Z) v = 1.7*y*(1 - Z); Các chương trình MATLAB tE xây dEng 2.1 Chương trình MATLAB giai phương trình (1.20) bang phương pháp trung điem ket hap vái phép n®i suy tuyen tính m = 10; delta = 0; (ho¾c delta = 0.5) h = 1/(m - delta); T = 19; n = T/h; lambda = -50; x = [zeros(1, n + 1)]; y = [zeros(1, n + 1)]; x(1) = 0; y(1 )= 1; for i = : n if i