C \Documents and Settings\Administrator\Desktop\lv\do duc diep ban ket dvi ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHÓ ĐỨC TÀI Hà Nội - Năm 2012 z Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Khái niệm điểm bội số giao mặt phẳng affine A2 1.1.1 Khái niệm điểm bội 1.1.2 Vành tọa độ vành địa phương đa tạp 1.1.3 Số giao hai đường cong điểm Khái niệm điểm bội số giao mặt phẳng xạ ảnh P2 15 1.2.1 Các định nghĩa 15 1.2.2 Định lý Bezout 16 Một số kết chứng minh lý thuyết số giao 19 2.1 Đường cong Hessian 19 2.2 Đường cong đối ngẫu 21 Một phương pháp tìm song tiếp tuyến đường cong trơn bậc bốn 27 Kết luận 39 z Lời nói đầu Số giao đường cong đại số phần kiến thức Hình học đại số Mục đích luận văn nghiên cứu tốn tìm phương trình song tiếp tuyến đường cong trơn Để giải tốn này, cơng cụ số giao Qua ánh xạ Gauss (là song ánh từ đường cong vào đường cong đối ngẫu nó), ta có tương ứng một-một đường song tiếp tuyến đường cong kì dị node (là kì dị đơn giản nhất) đường cong đối ngẫu Vì việc nghiên cứu đường song tiếp tuyến cho thơng tin kì dị node đường cong đối ngẫu Luận văn trình bày tóm tắt lại số kết lý thuyết số giao đường cong đại số ứng dụng để tìm song tiếp tuyến, cụ thể tìm cặp điểm chung tiếp tuyến, đường cong trơn Do việc tính tốn phức tạp, nên thực cho đường cong trơn bậc bốn (trường hợp có xuất song tiếp tuyến) Chúng tơi trình bày cụ thể hai ví dụ, đường cong Fermat x4 + y + z = đường cong Klein x3 y + y z + z x = Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày số kiến thức đường cong đại số, trọng tâm số giao Chương 2: Trên cở sở lý thuyết số giao, chứng minh số kết liên quan đến đường cong Hessian đường cong đối ngẫu z Chương 3: Trong chương chúng tơi tập trung trình bày phương pháp tìm song tiếp tuyến cách tìm cặp điểm chung tiếp tuyến đường cong trơn Cụ thể chúng tơi áp dụng để tính tốn cho số đường bậc bốn Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới TS Phó Đức Tài, Thầy tận tình hướng dẫn tơi liên tục năm qua, để tơi hồn thành luận văn có thêm hiểu biết Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng Sau Đại Học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường từ ngày sinh viên Hà Nội, mùa hè năm 2012 Tác giả Đỗ Đức Điệp z Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm, tính chất định lí điểm bội, số giao hai đường cong điểm Tài liệu tham khảo chủ yếu [2] Trong luận văn này, khơng nói thêm ta ln giả thiết K trường đóng đại số với đặc số 0, ký hiệu A2 = A2 (K) P2 = P2 (K) mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh K 1.1 Khái niệm điểm bội số giao mặt phẳng affine A2 1.1.1 Khái niệm điểm bội Trong A2 , đường cong đại số tập không điểm đa thức khác số F ∈ K[x, y] Để đơn giản, dùng kí hiệu đường cong F , chung với đa thức định nghĩa Trong luận văn đề cập đến đường cong thu gọn, tức đường cong mà đa thức định nghĩa chúng có nhân tử có bội Định nghĩa 1.1.1 Cho F đường cong, điểm P ∈ F gọi điểm đơn Fx (P ) 6= Fy (P ) 6= Ngược lại, ta gọi P điểm bội điểm kì dị F z Với đường cong F ta ln viết dạng F = Fm + Fm+1 + · · · + Fn Trong m ≥ 0, Fi dạng bậc i (tức đa thức bậc i theo biến) Khi đó, số m gọi số bội điểm P (0, 0) đường cong F kí hiệu mp (F ) = m Dễ thấy m = P 6∈ F , m = P điểm đơn F Vì K trường đóng đại số nên ta có phân tích Fm = Q ei i Li với Li dạng bậc Khi Li gọi tiếp tuyến bội ei F P Như điểm bội m, đường cong ln có đủ m tiếp tuyến (đếm bội) Trên ta vừa đưa khái niệm với điểm P (0, 0), với điểm Q(a, b) bội điểm Q đường cong F (x, y) định nghĩa bội điểm P (0, 0) đường cong F (x + a, y + b), Li (x, y) tiếp tuyến bội ei đường cong F (x + a, y + b) P Li (x − a, y − b) tiếp tuyến bội ei đường cong F (x, y) Q Nếu Q(a, b) điểm đơn đường cong F F có tiếp tuyến Q, xác định công thức: Fx (Q)(x − a) + Fy (Q)(y − b) = 1.1.2 Vành tọa độ vành địa phương đa tạp Giả sử S tập đa thức K[x1 , , xn ], ta kí hiệu V (S) = {P ∈ An |F (P ) = 0, ∀F ∈ S}, tức V (S) = ∩F ∈S V (F ) Một tập X ⊂ An (K) gọi tập đại số afin X = V (S) với S Một tập đại số gọi khả quy hợp hai hay nhiều tập đại số nhỏ Trong trường hợp ngược lại, ta gọi tập đại số bất khả quy hay z đa tạp affine (xạ ảnh) Giả sử V đa tạp khác rỗng An (K) Ký hiệu I(V ) tập đa thức triệt tiêu V Ta thấy iđêan nguyên tố K[x1 , x2 , , xn ] Do vành thương Γ(V ) = K[x1 , x2 , , xn ]/I(V ) miền nguyên gọi vành tọa độ V Với tập V ⊂ An (K), ta kí hiệu F (V, K) tập hợp tất hàm từ V tới K F (V, K) vành với phép toán định nghĩa sau: Nếu f, g ∈ F (V, K), (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f.g)(x) = f (x).g(x) với x ∈ V Ta xem K vành F (V, K) đồng K với vành chứa tất hàm F (V, K) Trở lại trường hợp V ⊆ An (K) đa tạp, hàm f ∈ F (V, K) gọi hàm đa thức V , tồn đa thức F ∈ K[x1 , x2 , , xn ] với f (a1 , , an ) = F (a1 , , an ) với (a1 , , an ) ∈ V Khi ta nói đa thức F xác định hàm f Như vậy, hai đa thức F G xác định hàm đa thức f (F − G)(P ) = với P ∈ V (nghĩa F − G ∈ I(V )) Ta dễ dàng chứng minh rằng, tập hàm đa thức làm thành vành F (V, K), nữa, vành chứa K Trở lại với vành tọa độ đa tạp V Như nói trên, Γ(V ) miền nguyên nên tồn trường thương trường gọi trường hàm hữu tỉ V, kí hiệu K(V ) Mỗi phần tử K(V ) hàm hữu tỉ V Nếu f hàm hữu tỉ V P ∈ V, ta nói f xác định P a b(P ) 6= Còn P mà f khơng xác b định ta nói P điểm cực f tồn a, b ∈ Γ(V ) cho f = Có thể chứng minh tập hợp hàm hữu tỉ xác định điểm P ∈ V làm thành vành K(V ), vành gọi vành địa phương V P kí hiệu OP (V ) Hơn nữa, phần tử Γ(V ) xác định z với P ∈ V nên Γ(V ) ⊂ OP (V ) ta có bao hàm thức K ⊂ Γ(V ) ⊂ OP (V ) ⊂ K(V ) 1.1.3 Số giao hai đường cong điểm Cho F G hai đường cong mặt phẳng A2 Số giao F G điểm P ∈ A2 kí hiệu IP (F, G) xác định thông qua tính chất sau Các tính chất xác định số giao: IP (F, G) ≥ 0, ∀F, G ∀P ∈ A2 IP (F, G) = ∞ F G có thành phần chung qua P IP (F, G) = P 6∈ F ∩ G Nếu T phép thay đổi tọa độ affine mà T (Q) = P IP (F, G) = IQ (F T , GT ) IP (F, G) = IP (G, F ) IP (F, G) ≥ mP (F ).mP (G) Đẳng thức xảy F G khơng có tiếp tuyến chung P Giả sử F = Q ei i Fi , G= Q s j Gj j IP (F, G) = IP (F, G) = IP (F, G + HF ), ∀H ∈ K[x, y] P i,j ei sj IP (Fi , Gj ) Ví dụ 1.1.1 Tính số giao F G điểm P (0, 0) với F = y − x2 , G = x + y(y − x2 ) IP (F, G) = IP (y − x2 , x) (theo tính chất (7)) = IP (y, x) (theo tính chất (7)) =1 (theo tính chất (5)) z Tính số giao A B điểm P (0, 0) với A = x + y − x3 , B = y − x3 IP (A, B) = IP (x, y − x3 ) (theo tính chất (7)) = IP (x, y 2) (theo tính chất (7)) = 2IP (y, x) (theo tính chất (6)) = Tính đắn định nghĩa số giao cơng thức tính thể thông qua định lý sau: Định lý 1.1.1 (Xem [2], định lý 3, trang 37) Tồn số giao IP (F, G) xác định cho cặp đường cong F G điểm P ∈ A2 , thỏa mãn tính chất Ngồi IP (F, G) = dimK (OP (A2 )/(F, G)) Chứng minh Chứng minh tính tồn Giả sử IP (F, G) xác định theo tính chất Chúng ta xây dựng chương trình tính IP (F, G) mà sử dụng tính chất này, điều đủ để tính xác định IP (F, G) Ta giả thiết P (0, 0) (theo tính chất (3)) IP (F, G) < ∞ (theo (1)) Giả sử cần tính IP (F, G) = n > 0, cịn P 6∈ F ∩ G IP (F, G) = (theo (2)) Dùng phương pháp quy nạp với giả thiết quy nạp IP (A, B) < n tính với A, B ∈ K[x, y] Gọi bậc đa thức bậc F (x, 0),G(x, 0) r s, giả thiết r ≤ s, không ta dùng (4) để đảo lại Trường hợp Nếu r = Vì F (0, 0) = F (P ) = nên F = yH với H thuộc K[x, y] Từ (6) suy IP (F, G) = IP (y, G) + IP (H, G) Vì G(0, 0) = nên ta phân tích G(x, 0) = xm (a0 + a1 x + · · · + as−m xs−m ) với a0 6= 0, ≤ m ≤ s e với G e thuộc K[x, y] (vì G(0, 0) = Khi IP (y, G) = IP (y, G(x, 0) + G.y) e để G = G(x, 0) + Gy e ) nên tồn G z ... HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHĨ ĐỨC... bốn 27 Kết luận 39 z Lời nói đầu Số giao đường cong đại số phần kiến thức Hình học đại số Mục đích luận văn nghiên cứu tốn tìm phương trình song tiếp tuyến đường cong trơn Để giải toán này, cơng... cong đối ngẫu Vì việc nghiên cứu đường song tiếp tuyến cho thơng tin kì dị node đường cong đối ngẫu Luận văn trình bày tóm tắt lại số kết lý thuyết số giao đường cong đại số ứng dụng để tìm song