Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Cơ sở khoa học 1.2 Cơ sở thực tiễn .2 1.3 Mục đích nghiên cứu 1.4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài 1.4.1 Đối tượng nghiên cứu 1.4.2 Phạm vi nghiên cứu .3 1.5 Nhiệm vụ nghiên cứu 1.6 Phương pháp nghiên cứu .3 B NỘI DUNG CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH Bất đẳng thức Cauchy cho số Bất đẳng thức Cauchy cho ba số .4 Bất đẳng thức Cauchy cho n số .5 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 21 CHƯƠNG II: CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 22 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức 22 1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức thông thường .22 1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức tam giác 31 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm cực trị 41 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để giải phương trình, hệ phương trình 50 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức – Thanh Hóa hướng dẫn thầy Lê Quang Huy Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới dạy thầy Tôi xin cảm on quý thầy giảng dạy lớp K17B – ĐHSP Tốn (2014 – 2018) trường Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa giúp đỡ tơi q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phận quản lý đào tạo đại học thuộc phòng Đào tạo, môn Đại Số Khoa tự nhiên trường đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận Mặc dù cố gắng, song khóa luận khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến góp ý thầy giáo, giáo để khóa luận hồn thiện Thanh Hóa, Tháng năm 2018 Tống Thị Hồi A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cơ sở khoa học Như biết, thơng qua việc học tốn học sinh nắm vững nội dung toán học phương pháp giải tốn từ em vận dụng vào mơn học khác môn khoa học tự nhiên Hơn toán học sở nghành khoa học khác Chính thế, tốn học có vai trị quan trọng trường phổ thơng địi hỏi người thầy lao động nghệ thuật lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo phương pháp dạy học giúp học sinh học tốt giải tốn cách hiệu Trong chương trình tốn học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức xem nội dung hóc búa Khi nghiên cứu, tìm hiểu học tập nội dung hầu hết e ngại không thật cảm thấy thích thú với Tuy nhiên, tốn bất đẳng thức lại tốn góp mặt đầy đủ kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh đại học Bất đẳng thức Cauchy nội dung quan trọng chương trình tốn học đại số Việc nắm vững phương pháp giải bất phương trình khơng giúp học sinh học tốt mơn tốn mà cịn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều mơn khác như: Vật lí, Tin học, Hóa học, Đặc biệt hỗ trợ tư cho học sinh Những vấn đề đặt cho giáo viên giúp học sinh học tốt mơn tốn nói chung nắm vững bất đẳng thức Cauchy nói riêng Cơ sở thực tiễn Chủ đề “Bất đẳng thức Cauchy” có nhiều ứng dụng sử dụng phổ biến để chứng minh bất đẳng thức, đánh giá biểu thức từ giải nhiều toán khác nhau, chủ đề hay, chủ chốt chương trình Tốn đại số người dạy người học Mục đích nghiên cứu Một vấn đề thường gặp đại số làm cho học sinh lúng túng tốn bất đẳng thức đại số “bất đẳng thức Cauchy”, bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Beruoulli Thơng thường tốn khó, phần quan trọng đại số kiến thức bất đẳng thức làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài 1.4.1 Đối tượng nghiên cứu - Bất đẳng thức Cauchy - Một số cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Các ứng dụng bất đẳng thức Cauchy 1.4.2 Phạm vi nghiên cứu Một số dạng tốn điển hình sử sụng bất đẳng thức Cauchy để giải nằm chương trình Trung học phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu - Tóm tắt số kiến thức có liên quan đến bất đẳng thức Cauchy - Nghiên cứu số cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Thông qua ứng dụng bất đẳng thức Cauchy để thấy tầm quan trọng bất đẳng thức Cauchy việc giải toán đại số phổ thông Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu lí luận - Phương pháp quan sát - Phương pháp dạy học đánh giá giáo dục Toán học B NỘI DUNG CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH Bất đẳng thức Cauchy cho số Định lí 1: Cho hai số thực khơng âm a b ta có: Dấu “=” xảy khi: Chứng minh: Bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có: Bất đẳng thức hiển nhiên Định lí 2: Dấu "=" xảy khi: Bất đẳng thức Cauchy cho ba số Với ba số khơng âm a, b c ta có: Dấu "=" xảy khi: Chứng minh: Ta sử dụng Bất đẳng thức cho hai cặp số không âm ta được: Dấu "=" xảy khi: Bất đẳng thức Cauchy cho n số Định lí: Với n số khơng âm a1, a2, , an , ta có: Dấu "=" xảy khi: Chứng minh: Cách 1: Bằng phương pháp qui nạp Ta có: Bất đẳng thức (1) với n=2 (Bất đẳng thức Cauchy cho số không âm) Ta giả sử bất đẳng thức (1) với n=k, Ta cần phải chứng minh bất đẳng thức (1) với n=k+1, thật vậy: Khơng tính tổng quát ta giả sử cho Theo giả thiết qui nạp, ta có: Dấu "=" xảy khi: Vậy bất đẳng thức (1) xảy Cách 2: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy Thật vậy, với k = (tức n = 2), bất đẳng thức Coossi hiển nhiên dấu xảy Giả sử bất đẳng thức Coossi với k = p (tức n = ), tức ta có: Và dấu xảy khi: Xét (tức ) Đặt Khi A B tổng ta có: số hạng khơng âm, nên theo giả thiết quy nạp (2) Dấu “=” (1) xảy khi: Dấu “=” (2) xảy khi: Cách 3: Đăt đẳng thức sau: Khi bất đẳng thức Cauchy tương đương với bất (5) Nếu (5) trở thành đẳng thức (do giá trị chung a1, a2, …, an ) đay a Nếu a1, a2, …, an khơng tất cả, phải có bất đẳng thức thực sự: (6) Ta chứng minh (6) sau: - Với n = 2, tức - Giả sử (6) với Vậy (6) , tức là: (7) Ở a1, a2, …, ak-1 khơng đồng thời ví có trung bình cộng T - Xét giả sử a1, a2, …, ak không đồng thời có trung bình cộng T Khi dĩ nhiên phải có số lớn T số bé T Không giảm tổng quát ta giả sử: (do T > 0) Xét k – số không âm sau đây: Rõ ràng k – số khơng âm Chỉ có hai khả xảy ra: Nếu k – số khơng âm tất cả, theo giả thiết quy nạp ta có: ... giúp đỡ tơi tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận Mặc dù cố gắng, song khóa luận khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến góp ý thầy giáo, giáo để khóa luận hồn thiện Thanh Hóa,...LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức – Thanh Hóa hướng dẫn thầy Lê Quang Huy... học sinh học tốt mơn tốn mà cịn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều mơn khác như: Vật lí, Tin học, Hóa học, Đặc biệt hỗ trợ tư cho học sinh Những vấn đề đặt cho giáo viên giúp học sinh học tốt mơn tốn