hay
BÀI 1. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN I. LÝ THUYẾT Định nghĩa Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x ∈ (a;b) ta có F’(x) = f(x) Tính chất 1. [ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 2. Cxdx += ∫ 3. ∫∫ = dxxfkdxxkf )()( Bảng công thức tìm nguyên hàm cơ bản Loại hàm Cơ bản Nâng cao 1. Hàm lũy thừa ∫ + + = + C x dxx 1 1 α α α ∫ + + + =+ + C bax a dxbax 1 )( 1 )( 1 α α α 2. Hàm số mũ ∫ += C a a dxa x x ln ∫ += + + C a a a dxa bax bax ln 1 ∫ += Cedxe xx ∫ += ++ Ce a dxe baxbax 1 3. Hàm logarit Cxdx x += ∫ ln 1 Cbax a dx bax ++= + ∫ ln 11 4.Hàm lượng giác Cxxdx +−= ∫ cossin Cbax a dxbax ++ − =+ ∫ )cos( 1 )sin( ∫ ∫ += += Cxdx x Cxxdx tan cos 1 sincos 2 ∫ ∫ ++= + ++=+ Cbax a dx bax Cbax a dxbax )tan( 1 )(cos 1 )sin( 1 )cos( 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 Cbax a dx bax ++−= + ∫ )cot( 1 )(sin 1 2 Vi phân Công thức gốc: dxyd y '= Công thức vi phân hay gặp nhất : )( 1 baxx d a d + = Đánh giá: Đưa vào vi phân lấy nguyên hàm, đưa ra khỏi vi phân lấy đạo hàm. Để áp dụng được công thức: ẩn trong và ngoài vi phân phải “đồng bộ” nhau. Công thức kinh nghiệm.(sẽ được chứng minh trong quá trình dạy) ∫ += + C a x axa dx arctan 1 22 ∫ + − + = − C xa xa axa dx ln 2 1 22 ∫ +++= + Caxx xa dx )ln( 22 22 II. BÀI TẬP MẪU Mẫu 1: Nguyên hàm cơ bản áp dụng trực tiếp công thức • 2 2 3 2 1 4 (2x 12) (4 48 144) 24 144 3 I dx x x dx x x x C= + = + + = + + + ∫ ∫ • 2 2 3 2 1 2 1 2 lnI x dx x x C x x x = + − = + + + ÷ ∫ • 3 3 3 1 3 ( 3 2 4) 2 4 3 ln3 x x x x I x e dx x e x C= + − + = + − + + ∫ • 2 4 2 1 tan 1 tan os I xdx dx x x C c x = = − = − + ÷ ∫ ∫ • 3 2 5 sinx (sinx ) cos 3 x I x x dx x dx x C x = + = + = − + + ÷ ∫ ∫ • 3 6 1 2 2 3 I x dx x x C x = + = + + ÷ ∫ • 7 2 1 1 1 cos cos sin dx I x x x dx x C x x x x = + = + = − + ÷ ÷ ∫ ∫ Mẫu 2: Vi phân cơ bản • 6 6 7 1 1 1 (2 12) (2 12) 2 14 I (2x 12) dx (2x 12) d x x C= + = + + = + + ∫ ∫ • 4 11 4 11 4 11 2 1 (4 11) 4 4 x x x e I e dx e d x C + + + = = + = + ∫ ∫ • 3 1 1 1 1 (8 3) ln 8 3 (8 3) 8 (8 3) 8 I dx d x x C x x = = + = + + + + ∫ ∫ • 2 4 1 1 1 sin 2 (1 cos4 ) ( sin 4 ) 2 2 4 I xdx x dx x x C= = − = − + ∫ ∫ • 5 1 1 cos 2 cos 2 ( 2 ) sin 2 4 4 4 4 2 2 I x dx x d x x C π π π π = + = + + = + + ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ • 6 2 2 1 1 1 (3 1) cot(3 1) 3 sin (3 1) sin (3 1) I dx d x x C x x = = + = − + + + + ∫ ∫ Mẫu 2: Vi phân nâng cao • 2 2 3 1 3ln 3ln (ln ) ln x I dx xd x x C x = = = + ∫ ∫ • ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 12 12 ( 12) 12 3 I x x dx x d x x C= + = + + = + + ∫ ∫ • ( ) 3 3 4 4 4 4 3 1 1 2 12 2 12 (2 12) 2 12 8 12 I x x dx x d x x C= + = + + = + + ∫ ∫ • 2 2 3 4 2 cos sin 2 2cos sin 2 cos os os 3 I x xdx x xdx xdc x c x C= = = − = − + ∫ ∫ ∫ • 5 2 1 1 1 1 (2 tan 12) ln 2tan 12 2 2 tan 12 2 os (2 tan 12) I dx d x x C x c x x = = + = + + + + ∫ ∫ • cot 2 cot cot 6 2 cot cot ( cot ) (cot ) 2 sin x x x e x x I dx e x d x e C x + = = − + = + + ∫ ∫ II.BÀI TẬP Bài 1.1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 3 1 1 I x dx x = − ÷ ∫ 2 2 (2x 12)I dx= + ∫ 3 (2x 12)I dx= + ∫ -1 2 4 (2x 12) (2 12)I x dx − = + + + ∫ 2 7 5 (2x 12)I dx= + ∫ 6 2013 I (2x 12) dx= + ∫ 7 (2x 12) I dx x-3 + = ∫ 8 1 (2x 12)(2x-12) I dx= + ∫ Bài 1.2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: x 2 2 1 (2 )I x dx= + ∫ 2x+12 2 2 12 1 x I e dx e + = + ∫ 3x 3 2 e 1 1 x x I dx e e + = − + ∫ 2 2x 4 (2e 1).2 x e x I dx + = + ∫ 3 2 5 6(e +e ) x x I dx= ∫ 1 6 e (2 e ) x x x I dx − + = − ∫ 1 7 2 x x e I dx + = ∫ 2 12 8 2 1 x x e I dx e − + = ∫ Bài 1.3. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 sin(8 11)I x dx= + ∫ 2 2 1 sin (3 11) I dx x = + ∫ 2 3 sin ( ) 4 I x dx π = + ∫ 9 10 4 x sin(x 1995)I dx= + ∫ 2 5 cosI xdx= ∫ 6 cos(2x ) 4 I dx π = + ∫ 7 2 11 cos (11 9) I dx x = + ∫ 8 cos( 3) x x I e e dx= + ∫ Bài 1.4. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2 1 (sin os )I x c x dx= + ∫ 4 4 2 ( os sin )I c x x dx= − ∫ 3 1 2 12 I dx x x = + + − ∫ 4 1 8 3 8 12 I dx x x = + + − ∫ 5 2 1 3 2 I dx x x = − + ∫ 6 2 tan 2 sin 4 x I dx x = ∫ Bài 1.5. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 3 1 (2 12) I dx x = + ∫ 1995 2 (29x 3)I dx= + ∫ 2 4 3 3 1 5 3 2 x x x I dx x + − + = ∫ 2 4 1 x I dx x − = ÷ ∫ 3 5 5 2 2 x x I dx x + = ∫ 4 4 6 3 2x x I dx x − + + = ∫ 7 2 1 1 I dx x = − ∫ 8 12 1 ( 2) I dx x x = + ∫ Bài 1.6. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 I x x x x dx= ∫ 2 3 ( 1) x I dx x = − ∫ 2 3 1 1 x x I dx x + + = − ∫ 4 3 1 ( 1) I dx x x = + ∫ 5 3 3 1 ( 3) x I dx x + = + ∫ 6 4 1 ( 1) I dx x x = + ∫ 5 3 7 1I x x dx= − ∫ 8 2 5I x xdx= − ∫ Bài 1.7. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2 1 1 2 .3 .5 x x x I dx + − = ∫ 2 1 2 2 .3 .5 10 x x x x I dx + + = ∫ 3 3 5 2 2 x x I dx x + = ∫ 4 1 (2 12) I dx x x = + ∫ 5 2 1 cos (2 ) I dx x π = − ∫ 6 tan3 sin 6 x I dx x = ∫ ( ) 4 5 7 cos(4 5) x I e x dx − = + − ∫ 8 (t anx cot )I x dx= + ∫ Bài 1.8. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: ( ) 2 12 1 3sin(2 12) x I e x dx − = + + ∫ 2 2 2 sin (12 2 ) I dx x = − ∫ 2 3 cos (3 ) 2 I x dx π = + ∫ 2 4 tan 2I xdx= ∫ 2 12 12 5 (2 ) x x I e dx − − = − ∫ 6 1 4 11 2 12 I x dx x = − + ÷ + ∫ . dxxfkdxxkf )()( Bảng công thức tìm nguyên hàm cơ bản Loại hàm Cơ bản Nâng cao 1. Hàm lũy thừa ∫ + + = + C x dxx 1 1 α α α ∫ + + + =+ + C bax a dxbax 1 )( 1 )( 1 α α α 2. Hàm số mũ ∫ += C a a dxa x x ln ∫ += + + C a a a dxa bax bax ln 1 ∫ +=. bản • 6 6 7 1 1 1 (2 12 ) (2 12 ) 2 14 I (2x 12 ) dx (2x 12 ) d x x C= + = + + = + + ∫ ∫ • 4 11 4 11 4 11 2 1 (4 11 ) 4 4 x x x e I e dx e d x C + + + = = + = + ∫ ∫ • 3 1 1 1 1 (8 3) ln 8 3 (8 3) 8 (8 3). + ∫ 6 2 013 I (2x 12 ) dx= + ∫ 7 (2x 12 ) I dx x-3 + = ∫ 8 1 (2x 12 )(2x -12 ) I dx= + ∫ Bài 1. 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: x 2 2 1 (2 )I x dx= + ∫ 2x +12 2 2 12 1 x I e dx e + = + ∫ 3x 3 2 e 1 1 x