TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

Tu â n Th.s ĐỖ MINH TUÂN Th sĐ ỗ M in h TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN NAM ĐỊNH, NĂM 2009 Lời nói đầu Th sĐ ỗ M in h Tu â n Trong năm gần đây, đề thi đại học trở nên trước nhiều , khơng cịn tính đánh đố bắt học sinh phải nhớ nhiều mẹo lặt vặt Một số tài liệu giảng dạy hay ngày trước "Các giảng luyện thi mơn Tốn", "Bộ đề thi tuyển sinh" cịn lại giá trị thực tiễn Chắt lọc tài liệu này, bám sát đề thi tuyển sinh năm gần (Từ năm 2002-2010) cộng với kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy luyện thi (có tham khảo số giảng trang web dạy học) biên soạn tài liệu mục đích để giảng dạy cách Tôi nghĩ tài liệu có ích người dạy tốn, bạn ngấp nghé cổng trường Đại học Tài liệu gồm 12 chuyên đề (vẫn thiếu) Phương trình đại số Phương trình lượng giác Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Hệ phương trình đại số Giải tích tổ hợp Hình phẳng tọa độ Giới hạn Bất đẳng thức Hàm số đồ thị 10 Hình học khơng gian tọa độ 11 Tích phân ứng dụng 12 Số phức Vì số lượng chuyên đề lớn nên tránh khỏi lỗi đánh máy, lỗi tính tốn sai, Mong bạn lượng thứ, góp ý xin gửi về: Th.s Đỗ Minh Tuân Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định Email: xuxutit@gmail.com Mobile: 0982843882 ————————————— Chúc bạn thành công kỳ thi đại học tới! Nam Định, ngày 20 tháng 06 năm 2010 Tác giả Đỗ Minh Tuân Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Mục lục Mục lục Mục lục Lời nói đầu 8 9 9 10 10 14 14 14 15 16 16 17 18 20 20 24 26 27 32 32 32 32 33 33 33 34 34 34 35 35 Th sĐ ỗ M in h Tu â n Phương trình đại số 1.1 Lý thuyết đa thức 1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.1.2 Tính giá trị đa thức, phân thức 1.2 Phương trình bậc 1.2.1 Phương pháp giải 1.2.2 Các ví dụ 1.3 Phương trình bậc hai 1.3.1 Phương pháp giải 1.4 Phương trình bậc 1.4.1 Tính chất đa thức 1.4.2 Đa thức bậc 1.4.3 Các ví dụ 1.5 Phương trình bậc 1.5.1 Dạng tổng quát 1.5.2 Các dạng phương trình bậc 1.5.3 Các ví dụ 1.6 Dấu đa thức 1.6.1 Đa thức bậc - bậc 1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát 1.6.3 Giải hệ bất phương trình 1.7 Bài tập điểm lẻ Phương trình lượng giác 2.1 Các kiến thức 2.1.1 Công thức liên hệ hàm lượng giác 2.1.2 Các cơng thức góc liên hệ với α 2.1.3 Bảng dấu hàm lượng giác 2.1.4 Bảng giá trị lượng giác 2.1.5 Công thức lượng giác tổng, hiệu 2.1.6 Công thức cộng lượng giác 2.1.7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng 2.1.8 Cơng thức góc nhân đơi, nhân ba - Cơng thức hạ bậc x 2.1.9 Cơng thức tính sin x, cos x, tan x, cot x theo t = tan 2.1.10 Bài tập Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Mục lục 2.2 Các phương trình lượng giác 2.2.1 Phương trình sin x = m 2.2.2 Phương trình cos x = m 2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m 2.2.4 Các ví dụ 2.2.5 Bài tập Các phương trình lượng giác khác 2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c 2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin cos 2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác 2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos 2.3.5 Phân tích thành nhân tử 2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức 2.3.7 Loại nghiệm khơng thích hợp 2.3.8 Bài tập M in h Tu â n 2.3 Mục lục Th sĐ ỗ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 3.1.1 Kiến thức cần nhớ 3.1.2 Các dạng tập 3.1.3 Các ví dụ 3.2 Phương trình chứa thức 3.2.1 Các dạng tập 3.2.2 Các ví dụ 3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 3.3.1 Dạng 3.3.2 Các ví dụ 3.4 Bất phương trình chứa thức 3.4.1 Dạng 3.4.2 Các ví dụ 3.5 Bài tập Hệ phương trình đại số 4.1 Hệ phương trình bậc 4.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 4.1.2 Hệ phương trình bậc ba ẩn 4.1.3 Hệ phương trình bậc bốn ẩn 4.2 Hệ phương trình bậc - bậc hai: 4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: 4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 4.4 Hệ đối xứng 4.4.1 Hệ đối xứng loại I: 4.4.2 Hệ đối xứng loại II: 4.5 Hệ phương trình tổng quát 4.6 Bài tập Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 36 36 36 36 37 38 39 39 40 41 41 42 43 44 44 49 49 49 49 50 51 51 52 53 53 53 53 53 54 55 59 59 59 60 60 61 62 62 63 65 65 66 69 71 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Mục lục Mục lục sĐ ỗ Th Tu â đường Conic h M in Hình phẳng tọa độ 6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng 6.1.1 Kiến thức 6.1.2 Dạng 6.2 Đường tròn 6.2.1 Kiến thức 6.2.2 Các dạng 6.3 Ba đường Conic 6.3.1 Kiến thức chung 6.3.2 Elip 6.3.3 Hyperbol 6.3.4 Parabol 6.4 Bài tập Giới hạn 7.1 Giới hạn dãy số 7.1.1 Các tính chất giới hạn 7.1.2 Các ví dụ 7.2 Giới hạn hàm số 7.2.1 Giới hạn 7.2.2 Phương pháp tính giới hạn 7.2.3 Các ví dụ 7.3 Bài tập Bất đẳng thức 8.1 Các bất đẳng thức 8.2 Bất đẳng thức Cauchy 8.2.1 Tìm tổng, max tích 8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng 8.2.3 Cực trị có điều kiện 8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 8.5 Bài tập n Giải tích tổ hợp 5.1 Khái quát chung 5.2 Kiến thức 5.2.1 Quy tắc cộng - nhân 5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hốn vị 5.2.3 Cơng thức nhị thức Newton 5.3 Các ví dụ 5.4 Bài tập 77 77 77 77 78 79 79 82 85 85 85 86 91 91 93 100 100 101 107 111 114 126 126 126 127 128 128 129 129 132 135 135 138 138 140 144 147 148 150 Hàm số đồ thị 153 9.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 153 9.1.1 Kiến thức cần nhớ 153 9.1.2 Các bước khảo sát hàm số 156 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Mục lục 9.2 9.1.3 Hàm đa thức 9.1.4 Hàm phân thức Cực trị tiệm cận hàm số 9.2.1 Quy tắc tìm cực đại cực tiểu hàm số 9.2.2 Cực trị hàm số 9.2.3 Các toán tiệm cận 9.2.4 Củng cố kiến thức Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 9.3.1 Kiến thức 9.3.2 Các toán đơn 9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ chứa tham số 9.3.4 Phương pháp miền giá trị hàm số 9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên 9.3.6 Củng cố kiến thức Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 9.4.1 Kiến thức cần nhớ 9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong điểm M 9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong qua điểm M 9.4.4 Lớp toán tiếp xúc đa dạng 9.4.5 Củng cố kiến thức Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước 9.5.1 Kiến thức 9.5.2 Tìm điểm khơng thuộc đường cong họ y = f (x, m) Sự tương giao 9.6.1 Kiến thức 9.6.2 Sự tương giao hàm đa thức với trục Ox 9.6.3 Sự tương giao hàm phân thức 9.6.4 Củng cố kiến thức Sự tiếp xúc đường cong 9.7.1 Kiến thức 9.7.2 Các ví dụ 9.7.3 Củng cố Biện luận số nghiệm đồ thị 9.8.1 Kiến thức 9.8.2 Các ví dụ Bài tập 9.6 9.7 9.8 9.9 h Th 9.5 sĐ ỗ M in 9.4 Tu â n 9.3 Mục lục 10 Hình khơng gian tọa độ 10.1 Kiến thức 10.1.1 Véctơ phép tốn véctơ khơng gian 10.1.2 Mặt phẳng không gian 10.1.3 Đường thẳng không gian 10.1.4 Vị trí tương đối 10.1.5 Chùm mặt phẳng 10.1.6 Góc 10.1.7 Khoảng cách 10.1.8 Diện tích, thể tích Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 156 158 159 159 160 163 166 168 168 169 171 173 175 177 178 178 178 179 180 181 182 182 184 186 186 187 189 191 193 193 193 196 197 197 198 201 208 208 208 209 210 211 211 212 212 213 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Mục lục Mục lục 10.1.9 Một số dạng toán mặt phẳng 10.1.10 Mặt cầu 10.2 Véc tơ, điểm 10.3 Phương trình mặt phẳng 10.4 Phương trình đường thẳng đường thẳng Th sĐ ỗ M in h Tu â n 11 Tích phân 11.1 Vi phân 11.1.1 Định nghĩa 11.1.2 Các tính chất 11.1.3 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp thường gặp 11.2 Nguyên hàm tích phân bất định 11.2.1 Định nghĩa 11.2.2 Các tính chất 11.2.3 Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp 11.3 Các phương pháp tính tích phân 11.3.1 Phép đổi biến số 11.3.2 Tích phân phần 11.3.3 Tích phân hàm phân thức 11.4 Tích phân xác định 11.5 Ứng dụng tích phân 11.5.1 Tính diện tích 11.5.2 Tính thể tích vật thể trịn xoay 11.6 Bài tập 12 Số phức 12.1 Kiến thức 12.1.1 Các kiến thức chung 12.1.2 Các phép toán số phức 12.2 Các dạng tập 12.2.1 Thực phép toán 12.2.2 Khai bậc 12.2.3 Giải phương trình đại số vấn 12.2.4 Biểu diễn số phức mặt phẳng 12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp 12.3 Bài tập Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang đề liên quan 214 216 217 221 224 226 226 226 226 226 227 227 227 228 229 229 231 232 234 235 235 236 237 259 259 259 259 260 260 260 262 263 263 263 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Chương Phương trình đại số Chương Phân tích đa thức thành nhân tử M in 1.1.1 Lý thuyết đa thức h 1.1 Tu â n Phương trình đại số sĐ ỗ +) Nếu P (x) đa thức bậc có nghiệm x1 , x2 P (x) = a.(x − x1 ).(x2 ) (a hệ số bậc cao P (x)) +) Tổng quát: Nếu P (x) đa thức bậc n có đủ n nghiệm x1 , x2 , · · · , xn Th P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) +) Một đa thức P (x) phân tích thành tích đa thức bậc đa thức bậc (vơ nghiệm) Ví dụ 1.1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) P (x) = 2x2 − 5x + b) P (x) = −3x2 + 12x − 12 c) P (x) = 4x3 − 4x2 − 7x − d) P (x) = 6x3 − 13x2 + 4x + Giải: a) P (x) có a = 2, x1 = 2, x2 = ! nên P (x) = 2(x − 2) x − = (x − 2)(2x − 1) b) P (x) có nghiệm kép x = nên P (x) = −3(x − 2)2 c) P (x) có a = nghiệm x = − x = 2??? Chú ý: P (x) đa thức bậc lại có nghiệm Nên có nghiệm nghiệm kép Tốt trường hợp ta dùng lược đồ Hoocne để giải !2 (x − 2) Kết quả: P (x) = x + Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 1.2 Phương trình bậc Chương Phương trình đại số d) P (x) có a = nghiệm x = 1, x = − , x = ! ! x− = (x − 1)(3x + 1)(2x − 3) P (x) = 6(x − 1) x + 1.1.2 Tính giá trị đa thức, phân thức điểm lẻ Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính CALC máy 570ES Ví dụ 1.2: Tính giá trị biểu thức: x = + √ n √ Tu â a) y = x3 − 3x2 − x − x = − Th sĐ ỗ M in h √ √ x2 − x − x = + x = − b) y = 2x + √ √ Giải: a) x = − ⇒ y = −4 + √ √ x = + ⇒ y = −4 − √ √ 43 + 31 b) x = + ⇒ y = 73 √ √ 43 − 31 x=3− 2⇒y = 73 1.2 1.2.1 Phương trình bậc Phương pháp giải ☞ Dạng phương trình: ax + b = ☞ Cách giải: ➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm ∀x ∈ R ➤ Với a = 0, b 6= 0: Phương trình vơ nghiệm ➤ Với a 6= Phương trình có nghiệm x = − 1.2.2 b a Các ví dụ Ví dụ 1.3: Giải biện luận phương trình: (m2 − 1)x + m − = Giải: - Nếu m2 − = ⇔ m = ±1 +) Với m = phương trình trở thành: 0x + = Phương trình nghiệm ∀x ∈ R +) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − = Phương trình vơ nghiệm - Nếu m2 − 6= ⇔ m 6= ±1 Phương trình có nghiệm nhất: x = − m+1 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 1.3 Phương trình bậc hai Chương Phương trình đại số Ví dụ 1.4: Tìm điểm cố định họ đường thẳng:(dm ) : y = (m − 2)x + 2m − Giải: Gọi (x0 , y0 ) điểm cố định (dm ) ⇒ y0 = (m − 2)x0 + 2m − ∀m ⇔ m(x0 + 2) − 2x0 − − y0 = ∀m ⇔  x0 + = ⇔ −2x0 − − y0 =  x0 = −20 y0 = 1.3.1 Phương trình bậc hai Phương pháp giải Tu â 1.3 n Vậy điểm cố định họ (dm ) điểm A(−2; 1) M in h ☞ Dạng phương trình: ax2 + bx + c = ☞ Biện luận: sĐ ỗ ➢ Nếu a = 0: phương trình bậc Th ➢ Nếu a 6= 0: ∆ = b2 − 4ac ∆′ = b′2 − ac +) Nếu ∆ < 0: Phương trình vơ nghiệm b′ b +) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − = − 2a a +) Nếu ∆ > 0: Phương trình có nghiệm phân biệt √ √ − b′ ± ∆ ′ −b± ∆ = x1,2 = 2a a ☞ Nhẩm nghiệm: ➢ Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = c a ➢ Nếu a − b + c = phương trình có nghiệm: x1 = −1, x2 = − c a ☞ Phân tích tam thức bậc thành nhân tử Giả sử f (x) = ax2 + bx + c có nghiệm x1 , x2 f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) Ví dụ: f (x) = 2x2 − 5x + có nghiệm x1 = 2, x2 = nên f (x) = 2(x − 2)(x − ) = (x − 2)(2x − 1) ☞ Định lý Vi-et: Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình ta có:   b   x1 + x2 = − a  c   x1 x2 = a Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 10 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 9.2 Cực trị tiệm cận hàm số Chương Hàm số đồ thị ☛ Điều kiện cần + Dấu hiệu 2: Áp dụng trường hợp hàm số chứa tham số, hàm số khó xét dấu đạo hàm (chẳng hạn: hàm lượng giác) Ví dụ 9.5: Cho hàm số y = sin2 x − sin x xét đoạn [0; 2π] Giải: y ′ = sin x cos x − cos x  Th sĐ ỗ M in h Tu â n π  x = + kπ    cos x = π ′  ⇔  x = + k2π y = ⇔ cos x (2 sin x − 1) = ⇔ sin x − =   5π + k2π x= π π 5π 3π x ∈ [0; 2π] ⇒ x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 6 Ta có y ′′ = cos!2x + sin x π = > ⇒ x1 nên x1 hoành độ điểm cực tiểu y ′′ (x1 ) = y ′′ ! π = −1 < ⇒ x2 nên x2 hoành độ điểm cực đại y ′′ (x2 ) = y ′′ ! 5π y ′′ (x3 ) = y ′′ = > ⇒ x3 nên x3 điểm hoành độ cực tiểu ! 3π = −3 < ⇒ x4 nên x4 điểm hoành độ cực đại y ′′ (x4 ) = y ′′ ! ! π π , Kết luận: Điểm cực tiểu ; ;0 ! ! 5π 3π Điểm cực đại , ; ;0 9.2.2 Cực trị hàm số Các toán đơn tìm cực trị Ví dụ 9.6: Cho hàm số y = (x − m)3 − 3x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = Giải: Ta có y ′ = 3(x − m)2 − 3, y ′′ = 6(x − m) Hàm số đạt cực tiểu điểm có hồnh  không khi:  độ  ′   m = −1 y (0) = 3m2 − = ⇔ ⇔ ⇔ m = −1 m=1  y ′′ (0) > −6m > m 0√  m < −2 − √ ⇔ m + 4m + > ⇔ (2) m > −2 + Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 161 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 9.2 Cực trị tiệm cận hàm số Chương Hàm số đồ thị Vậy (2) điều kiện để đường cong có cực trị Khi có cực trị x1 , x2 nghiệm phương trình (1) theo định lý Viet ta có:   (1 − m)   x1 + x2 =  m2 − 4m +   x1 x2 = M in h Tu â n x1 + x2 1 1 + = (x1 + x2 ) ⇔ = (x1 + x2 ) x1 x2 x1 x2 x1 + x2 = ⇔ (x1 + x2 ) (2 − x1 x2 ) = ⇔ x1 x2 = 
 (1 − m)  m = Thỏa mãn =0  m=1 ⇔ ⇔  m = −1 (Loại) ⇔  m2 − 4m +
m2 − 4m − = m = Thỏa mãn =2 Kết luận: Với m = m = thỏa mãn điều kiện toán x3 x3 x2 − + mx + 1, g (x) = + x2 + 3mx + m 3 Tìm m để hàm số có cực trị hoành độ cực trị hàm số có hồnh độ cực trị hàm số sĐ ỗ Ví dụ 9.9: Cho f (x) = Th Giải: Ta có f ′ (x) = x2 − x + m, g ′ (x) = x2 + 2x + 3m Trước hết ta cần tìm điều kiện để f (x), g(x), hàm số có cực trị Điều phương trình f ′ (x) = g ′ (x) = có nghiệm phân  biệt     m< ∆1 = − 4m > ⇔m< ⇔ (1) ⇔  ∆2 = − 3m >   m< Với điều kiện (1) : f ′ (x) có nghiệm phân biệt x1 < x2 g ′ (x) có nghiệm phân biệt x3 < x4   ′ x3 < x1 < x4 < x2 f (x3 ) f ′ (x4 ) < (2) Theo ta cần có : ⇔ x1 < x3 < x4 < x2 g ′ (x1 ) g ′ (x2 ) < (3) Theo định lý Viet ta  có:  x3 + x4 = −2 x1 + x2 = x3 x4 = 3m x1 x2 = m Vì x1 + x2 < x3 + x4 ⇒ (3) không xảy f ′ (x3 ) = x23 − x3 + m = x23 + 2x3 + 3m − (3x3 + 2m) = − (3x3 + 2m) f ′ (x4 ) = − (3x4 + 2m) (2) ⇔ (3x3 + 2m) (3x4 + 2m) < ⇔ 9x3 x4 + 6m (x3 + x4 ) + 4m2 < 15 ⇔ 9.3m + 6m (−2) + 4m2 < ⇔ 4m2 + 15m < ⇔ − < m < 15 Kết luận: Kết hợp với điều kiện (1) ta − < m < x2 + mx Ví dụ 9.10: Cho hàm số : y = 1−x Tìm m để khoảng cách điểm cực trị 10 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 162 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 9.2 Cực trị tiệm cận hàm số Chương Hàm số đồ thị − x2 + 2x + m Trước hết tìm điều kiện để đường cong có cực trị: (1 − x)2 Điều xảy y ′ = có nghiệm phân biệt khác Đặt f (x) = −x2 + 2x + m Điều kiện tương đương với   f (1) 6= m + 6= ⇔ m > −1 (1) ⇔ ′ ∆f = + m > m+1>0 Với điều kiện (1), giả sử đường cong có cực trị điểm x1 , x2 Khi x1 , x2 nghiệm phương trình −x2 + 2x + m = (2) Giả sử M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) điểm cực trị 2x1 + m Ta có y1 = = −2x1 − m Tương tự y2 = −2x2 − m −1  x1 + x2 = Theo định lý Viet ta có: x1 x2 = −m Ta có M N = 10 ⇔ M N = 100 ⇔ (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = 100 ⇔ (x1 − x2 )2 + (−2x1 − m + 2x2 + m)2 = 100 ⇔ (x1 − x2 )2 + (x1 − x2 )2 = 100 ⇔ (x1 − x2 )2 = 20 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 20 ⇔ − (−m) = 20 ⇔ m = Kết hợp với (1) ta có: m = M in h Tu â n Giải: Ta có : y ′ = sĐ ỗ − x2 + 2mx + Ví dụ 9.11: Cho hàm số y = x−1 Tìm m để cực đại, cực tiểu hàm số nằm phía y = 2x 9.2.3 Th − x2 + 2x − 2m + Đặt f (x) = −x2 + 2x − 2m + (x1 )2 Trước hết tìm điều kiện để hàm số có cực trị Phương trình y ′ = có nghiệm phân biệtkhác  f (1) 6= −2m + 6= ⇔ ⇔ m < (1) ⇔ ′ ∆f = −2m + > −2m + > Với điều kiện (1) hàm số có cực trị: M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) với x1 , x2 nghiệm phương trình : −x2 + 2x − 2m + = (2)  x1 + x2 = Theo định lý Viet ta có: x1 x2 = 2m − − 2x1 + 2m = −2x1 + 2m, y2 = −2x2 + 2m Ta có y1 = Vậy M (x1 , −2x1 + 2m), N (x2 , −2x2 + 2m) điểm cực trị M , N nằm phía đường thẳng 2x − y = nên ta có : (2x1 − y1 ) (2x2 − y2 ) < ⇔ (2x1 + 2x1 − 2m) (2x2 + 2x2 − 2m) < √ √ ⇔ (2m − 5) − 2m.2 + m2 < ⇔ m2 + 4m − 20 < ⇔ −2 − < m < −2 + √ Kết hợp điều kiện ta có: −2 − < m < −3 Giải: Ta có y ′ = Các toán tiệm cận Tiệm cận đặc trưng hàm phân thức, lẽ lớp tốn tiệm cận hàm phân thức đa dạng Ta xét trước tiên tốn mơ tả tính chất tiệm cận 2x + (C) M điểm tùy ý (C) x−2 Tiếp tuyến với (C) M cắt tiệm cận ngang tiệm cận đứng A B Ví dụ 9.12: Cho hàm số y = Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 163 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 9.2 Cực trị tiệm cận hàm số Chương Hàm số đồ thị a) Chứng minh M trung điểm AB b) Chứng minh M di động (C) tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận ngang đứng tam giác có diện tích khơng đổi c) Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) lại qua giao điểm đường tiệm cận Giải: a) Dễ thấy (C) có đường tiệm cận x = y = y B n Tu â M A I -1 x M in -2 h -3 -1 -2 -3 M0 (x0 , sĐ ỗ (x0 − 2)2 2x + x−2 Th y′ = − y= 2x0 + ) ∈ (C) Tiếp tuyến M0 có dạng: x0 − y = y ′ (x0 ) (x − x0 ) + y (x0 ) ⇔ y = − (x0 − 2) (x − x0 ) + 2x0 + x0 − Tọa độ điểm A nghiệm hệ :    2x0 +  x = 2x0 − y=− (x − x0 ) + ⇒ A (2x0 − 2; 2) x0 − ⇔ (x − 2)  y=2  y=2 Tọa độ điểm B nghiệm hệ:    2x0 +   x=2 y=− (x − x0 ) + 2x + ⇒ B x0 − ⇔ (x0 − 2)   y=  x=2 x0 − 2x0 + 2; x0 − ! xA + xB 2x0 − + = = x0 = xM 2 2x0 + + 2x0 + yA + yB x0 − = = = yM 2 x0 − Ta có : ⇒ M trung điểm AB b) Gọi I giao điểm tiệm cận Điều dẫn đến I (2; 2) Do tam giác IAB vuông I nên ta có : S∆IAB = IA.IB Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 164 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 9.2 Cực trị tiệm cận hàm số Chương Hàm số đồ thị 2x + 10 − = Từ ta có: IA = |2x0 − 4| , IB = |x0 − 2| ... đây, đề thi đại học trở nên trước nhiều , khơng cịn tính đánh đố bắt học sinh phải nhớ nhiều mẹo lặt vặt Một số tài liệu giảng dạy hay ngày trước "Các giảng luyện thi mơn Tốn", "Bộ đề thi tuyển... giá trị thực tiễn Chắt lọc tài liệu này, bám sát đề thi tuyển sinh năm gần (Từ năm 2002-2010) cộng với kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy luyện thi (có tham khảo số giảng trang web dạy học) tơi biên... (hay nhiều) tập hợp Biểu di? ??n tập hợp trục số, xóa phần khơng thuộc tập hợp Phần cịn trắng (chưa bị gạch) tập hợp cần tìm sĐ ỗ ☞ Lấy hợp: cần thuộc (hay nhiều) tập hợp Biểu di? ??n tập trục số: xóa