Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Đồng Nai ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số 2 2 31 ( 4) (4 1)y m x m x x , với m là t[.]
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu (5,0 điểm) Cho hàm số y (m 4)x (4m 1)x x , với m tham số a) Hỏi có giá trị nguyên m để hàm số cho nghịch biến b) Tìm số thực m để hàm số cho đạt cực đại x c) Tìm số thực m để giá trị nhỏ hàm số cho [ 2; 1] Giải a) y ' 3x 2(4m 1)x m , Hàm số nghịch biến 2 'y ' (4m 1)2 3(m 4) 19m 8m 11 Vậy có hai giá trị nguyên m m 11 m 19 m b) Hàm số có cực đại x y '(1) m 8m m 9 + Nếu m y ' 3x 6x x không cực đại m (loại) + Nếu m 9, y ' 3x 74x 77, y '' 6x 74x, y ''(1) 80 nên hàm số có cực đại tạ x Vậy m 9 (nhận) c) Vì Min y suy giá trị hàm số y với x [2; 1] phải lớn hay [ 2;1] m 4m y(1) m 4m m 2 nghĩa y(2) m 16 m 13 m 16 m x 2 Thử lại ta có y x 7x có y ' 3x 14x x 14 Suy hàm nghịch biến [2; 1] y y(1) Vậy m thỏa mãn [ 2;1] Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình ( 10 3)x ( 10 3)x 38 2) Giải phương trình sin2x cos2x sin x cos x Giải 1) Vì ( 10 3) ( 10 3) (10 9) x x x t t 19 10 ( 10 3)2 Ta : t 38 t 38t ( 10 3)2 t t 19 10 ( 10 3) ( 10 3) ( 10 3)x ( 10 3)2 x ( 10 3)x ( 10 3)2 x 2 2) sin 2x cos 2x sin x cos x cos x (2 sin x 1) sin2 x sin x Đặt t ( 10 3)x (t 0) ( 10 3)x Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com cos x(2 sin x 1) (2 sin x 1)(sin x 2) (2 sin x 1)(sin x cos x 2) sin x sin x cos x ( VN ) x k 2 (k ) x k 2 Câu (2,0 điểm) Một trang trại xây bể nước hình hộp chữ nhật khơng nắp tích 18, 432 m (tính thành đáy bể), biết đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Chi phí xây bể tính theo tổng diện tích thành (mặt bên ngồi) đáy bể với giá 800 nghìn đồng /m Tìm kích thước bể để chi phí xây bể nhỏ tính gần chi phí Giải Gọi chiều dài rộng, chiều dài chiều cao hình hộp chữ nhật 18, 432 x, 2x, h (x, h 0) V 2x 2h 18, 432 h 2x 18, 432 55,296 2x Tổng diện tích mặt (khơng có nắp) S 2x 6xh 2x 6x x 2x 55,296 27, 648 27, 648 27, 648 27, 648 2x 3 2x 34, 56 x x x x x 27, 648 x 2, h 1, Dấu xảy 2x x Vậy ba kích thước chiều rộng, chiều dài chiều cao 2, ; 4, ; 1,2 Xét f (x ) 2x Chi phí 34,56.800000 27648000 (đồng) Câu (3,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a SA vng góc mặt phẳng đáy, SA a Biết M , N hai điểm thay đổi thuộc hai cạnh AB AD cho AM AN a 1) Chứng minh thể tích S AMCN có giá trị khơng đổi 2) Tính theo a khoảng cách từ C đến (SMN ) Chứng minh mặt phẳng (SMN ) tiếp xúc với mặt cầu cố định Giải Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com 1) Đặt AM m, AN n m n a ND m, BM n am an an am a a2 BM BC , S NDC ND.DC SAMCN a a (m n ) 2 2 2 a3 (khơng đổi) suy thể tích khối S AMCN SAS (không đổi) AMN DE ND m m2 m an m (m n )n m 2) Ta có DE CE a DE a AM NA n n n n n 2 m mn n n HC CE m mn n k d(C ,(SMN )) k.d(A,(SMN )) HA MA mn Gọi G, K hình chiếu vng góc A MN SG S MBC SG AK (SMN ) d(A,(SMN )) AK AM AN m 2n AM AN m n m 2n a 2 2 AG SA m 2n (m n )2 m 2n (m n )2 m n AK 2 AG SA2 m 2n m n (m n )2 (m n ) m 2n (m n )2 [(m n )2 2mn ] a m2 n2 m 2n (m n )2 mn(m n ) AK 2 [(m n ) mn ] (m n )2 mn AG (m n )(m mn n ) m n a (m n )2 mn Cách khác: Chọn A(0;0;0), S (0;0;a),C (a;a;0), M (m;0;0), N (0; n;0) d(C ,(AMN )) k AK SM (m; 0; a ), SN (0; n; a ) [SM , SN ] (an;am; mn ) Phương trình (SMN ) : anx amy mnz mna d(C ,(SMN )) a mna a (n m ) m 2n a(a mn ) a 2amn m 2n a(a mn ) a 2[(m n )2 2mn ] m 2n a(a mn ) a mn a 2n a 2m mna (an )2 (am)2 (mn )2 a(a mn ) a (a 2mn ) m 2n a Vì d(C ,(SMN )) a cố định C cố định nên (SMN ) tiếp xúc mặt cầu cố định có tâm C bán kính R a Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com Câu (3,0 điểm) 1) Một tổ gồm học sinh An, Bình, Châu, Dũng, Em, Fin, Giang, Hạnh chuyến bay để dự đợt học tập, tham quan trải nghiệm ; đại lý dành cho tổ vé máy bay có số ghế 18A, 18B, 18C , 18D, 18E, 18F, 18G, 18H Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên vé Tính xác suất để có học sinh tổ mà bạn chọn vé có chữ số ghế trùng với chữ đầu tên 2) Cho n k hai số nguyên dương thỏa mãn n k Chứng minh C nkC nk k số chẵn Giải 1) n() 8! Chọn học sinh học sinh, sau phát vé có chữ số ghế trùng với chữ tên học sinh có cách chọn Cịn học sinh cịn lại phát khơng đề bài, giả sử vé xếp sẵn theo thứ tự ABCD + Bạn có tên chữ B đứng đầu xếp vào vị trí ta có cách sau: BADC ; BCDA ; BDAC + Bạn có tên chữ C đứng đầu xếp vào vị trí ta có cách sau: CADB ; CDAB ; CDBA + Bạn có tên chữ D đứng đầu xếp vào vị trí ta có cách sau: DABC ; DCAB ; DCBA Vậy có C 84 1.9 (cách chọn) nên xác suất cần tìm là: C 84 8! 64 2) Ta có: n !(n k )! (n k )! (n k )!(2k )! (n k )!.2 k (2k 1)! k ! k !(n k )! n ! k ! k !(n k )! k ! k !(n k )!(2k )! (2k )!(n k )! k !k ! (n k )!.2 (2k 1)! 2C nnkk C 2kk 1 (2k )!(n k )! [(2k 1) k ]! k ! C nkC nk k Câu (3,5 điểm) 1 1 1) Giải phương trình x log2 x 2 x log2 x x 2) Cho ba số thực a,b, c thỏa mãn ab bc 2ac Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a 2b c Giải 1 1 x log2 x 2 x log2 x x 2 x x x x Điều kiện x x 2 x 2 x x (1) Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com (1) ( x 1) log2 1 1 x log2 x x Xét hàm f (t ) (t 1)2 log2 t (t 0) , f '(t ) 2t Có thể xét f ''(t ) f ''(t ) t ln 2 ln Lập bảng biến thiên suy f '(t ) f ' ln Suy f '(t ) t f (t ) đồng biến Ta 2 ln 2 2t t ln 2 2 2 ln t ln 2 ln ln 2 2 ln x 3 13 2 x x 2x 4x (x 1)(x 3x 1) x x 3 13 x 3 13 2) Cho ba số thực a,b, c thỏa mãn ab bc 2ac Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a 2b c So với điều kiện ta có nghiệm x 1, x Ta có: ab bc 2ca ( 1).a.[( 1)b ] ( 1).c.[( 1)b ] 2ca a ( 1)2b c ( 1)2b ( 1) (a c ) ( 1) 2 1 2 1 2 1 6 a ( 1)b c (a 2b c ) 2 2 1 6 P P 12( 1) - HẾT - Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com ... minh C nkC nk k số chẵn Giải 1) n() 8! Chọn học sinh học sinh, sau phát vé có chữ số ghế trùng với chữ tên học sinh có cách chọn Còn học sinh lại phát không đề bài, giả sử vé xếp sẵn theo... (không đổi) suy thể tích khối S AMCN SAS (khơng đổi) AMN DE ND m m2 m an m (m n )n m 2) Ta có DE CE a DE a AM NA n n n n n 2 m mn n n HC CE m mn n... tổ vé máy bay có số ghế 18A, 18B, 18C , 18D, 18E, 18F, 18G, 18H Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên vé Tính xác suất để có học sinh tổ mà bạn chọn vé có chữ số ghế trùng với chữ đầu tên 2) Cho n k hai