Bài tập Topo ppt

Lời nói đầu Tôpô là môn học cơ sở của Giải tích hiện đại, tài liệu viết về nó rất nhiều song rất ít tài liệu có các bài tập kèm theo lời giải chi tiết minh hoạ cho môn học hấp dẫn nhng tơng đối trừu tợng này. Nhằm giúp cho một số bạn học viên Cao học Toán các khoá sau (Kể từ khóa 10) học tập đỡ vất vả và cảm thấy thú vị hơn môn Tôpô. Dựa vào chơng trình học Tôpô đại cơng của Cao học 10 Toán, tác giả thống kê và giải các bài tập Tôpô đã gặp trong chơng trình học. Đa số các lời giải trình bày chi tiết, có những bài tập hay tác giả trình bày nhiềucáchgiảiđểbạnđọcthamkhảo. Vì năng lực còn hạn chế và đây chỉ là các l ời giải mang tính chủ quan của tác giả, điều kiện vật chất không cho phép, nên chỉ có thể trình bày đợc các bài toán sát với Bài giảng của PGS T S Trần Văn Ân cho Học viên cao học Toán khoá 9-10 ĐH Vinh. Chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót, song cũng mong nhận đợc sự ủng hộ, ý kiến đóng góp của bạn đọc quan tâm đến Tôpô. Cuốn sách gồm bốn phần chính: I. Không gian Tôpô II. Không gian Mêtric III. Không gian Compact IV. KhônggianLiênthông Nhân đây cũng xin đợc cảm ơn a nh Nguyễn Hồng Cờng HV CH10 Toán đã đề nghị tác giả hoàn thành tài liệu này. Vi nh, ngày 30 tháng 04 năm 2003 Ngô Quốc Chung 12 Trờng PTDL Hermann Gmeiner Vinh, Nghệ An 1 Email: nqchungv@yahoo.com 2 Mobile: 0906236777 1 2 Không gian tôpô Bài 1 : Cho không gian tôpô X, E là tập con của X ta luôn có: a)E đóng E E b) E = E E c)intE là tập mở lớn nhất chứa trong E d) E là tập đóng nhỏ nhất chứa E e)E là tập mở E là lân cận của x E Chứng minh a) Giả sử E đóng mà E E điểm x E mà x E x X\E lại do E đóng X\E mở lân cận U của x sao cho x U X\E U E = U E\{x} = trái với giả thiết x E E E Giả sử E E x X\E thì x E lân cận U của x sao cho U E\{x} = U E = (vì x E) U X\E X\E mở E đóng b) Giả sử x E E x E hoặc x E . Nếu x E rõ ràng x E. Nếu x E lân cận U của x thì ta có U E\{x} = và E\{x} E\{x} U E\{x} = x E E E E E Giả sử x/ X\E E x/ E tồntạilâncậnU của x sao cho U E\{x} = mà x/ E U E = X\{E E } là tập mở mà E E E E E E c) Ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở nằm trong E đều nằm trong intE. Thật vậy: Giả sử U là tập mở bất kì sao cho U E x U thì x U E E là lân cận của x x là điểm trong của E x intE U intE 3 nqchungv@yahoo.com 4 BâygiờtachứngminhintE là tập mở để hoàn thành chứng minh. Với m ọi x intE E là lân cận của x U mở để x U E U intE intE là tập mở d) Theo định nghĩa e) Rõ ràngE mở E là lân cận của x E Giả sử E là lân cận của mọi điểm thuộc nóx E, U x là tập mở sao cho x U x E E = xE {x} xE U x E E = xE U x E E là tập mở Bài 2 : Mỗi không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai là khả ly. Chứng minh Cách 1: Vì X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợcthứ2,nêntrongXcócơsở = {U n } nN đếm đợc Với m ỗi n N ta lấy tơng ứng một x n U n ,vàđặttập F = {x n } nN Rõ ràng F là tập đếm đợc, bây giờ ta sẽ chứng minh F = X. Thật vậy: Ta có (X\ F ) F = (1) Giả sử (X\ F ) = x X\F,vìX\F mở U n 0 sao cho x U n 0 X\F Lúc đó tồn tại x n 0 F sao cho x n 0 U n 0 X\F n 0 X\F F Điều này trái với (1) vậy X\F = X = F Cách 2: Gọi = {U n } nN là cơ sở đếm đợccủaX.Tađặttập F = {x n } nN trongđómỗix n đợc lấy r a tơng ứng trong một tập U n . Giả sử V là một tập mở bất kỳ trong X V = {U : U } U 0 V x 0 F sao cho x 0 U 0 V F V = F = X nqchungv@yahoo.com 5 Bài 3 : (a)GiaocủamộthọtôpôtuỳýtrênX là một tôpô trên X (b) Hợp của hai tôpô trên X có thể không là tôpô trên X (c) Đối với một họ tuỳ ý các tôpô trên X, tồn tại một tôpô duy nhất, mịn nhất trong các tôpô thô hơn mọi tôpô của họ đó, và tồn tại tôpô duy nhất, thô nhất trong các tôpô của họ. Chứng minh (a) Điều này dễ dàng chứng minh nhờ vào định nghĩa, xin dành cho bạn đọc (b) Ta sẽ chỉ ra một tập X cóhaitôpôtrênnómàhợpcủahaitôpônày không phải là một tôpô trên X Chọn tập X = {a, b, c}. Với hai t ôpô là 1 = {, {a, c}, {a, b, c}} 2 = {, {b, c}, {a, b, c}} Dễ dàng thử thấy 1 và 2 là các tôpô trên X. Lúc đó = 1 2 = {, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} không phải là một tôpô trên X. Thật vậy: {a, c}; {b, c} nhng {a, c} {b, c} = {c} (c) Gọi U = {U } I là một họ các tôpô trên X Đặt T = < I U ta sẽ chứng minh T là tôpô mịn nhất trong các tôpô thô hơn mọi tôpô của h ọ U. Thật vậy, giả sử U là một tôpô bất kì thô hơn các tôpô của họ U U U , U < I U = T T mịn hơn U (đpcm ) Gọi họ tôpô = {T : T mịn hơn mọi tôpô của họ U} Đặt T = < T T Ta sẽ chứng minh T là tôpô thô nhất trong các tôpô mịn hơn mọi tôpô của họ U.Thậtvậy Giả sử U là tôpô bất kỳ mịn hơn mọi tôpô của họ U U = T 0 nào đó nqchungv@yahoo.com 6 U T T thô hơn U (đpcm) Chú ý: Từchứngminhtrênchotathấygiaocủamộthọcáctôpôlàmộttôpônhng hợp của một họ các tôpô nói chung không phải là một tôpô. Bài 4 : (a) Giảsử(X, T ) là không gian tôpô; đối với mỗi x X,kýhiệuU x là họ các lân cận của nó. Khi đó : 1)NếuU U x thì x U 2)NếuU và V làcácphầntửcủaU x thì U V U x 3)NếuU U x và U V thì V U x 4)NếuU U x thì tìm đợc phần tử V U x sao cho V U và V U y với mỗi y V (nói cách khác, tập V là lân cận của mọi điểm thuộc nó) (b) Nếu hàm U lập tơng ứng mỗi điểm tuỳ ý x X với họ U x nào đó và thoả mãn các điều kiện 1), 2), và 3) thì họ T các tập sao cho U U x nếu x U,là tôpô nào đó trên X. Nếu điều kiện 4)cũngđợc thực hiện, thì U x đúng là hệ lân cận của x đối với tôpô T. Chứng minh (a) Ta có: 1) Giả sử U U x U là lân cận của x theo định nghĩa lân cậntập mở V sao cho: x V U x U 2) Giả sử U và V U x suy ra tồn tại các tập mở U x và V x sao cho x U x U và x V x V x U x V x U V mà U x V x mở U V U x 3) Giả sử U U x và V là tập bất kỳ sao cho U V .VìU là lân cận của x nên tồn tại tập mở U x sao cho x U x U x U x V V U x 4) Giả sử U U x lúc đó tồn tại tập mở V sao cho x V U. Ta sẽ chứng minh rằng V U y với mọi y V . Thật vậy: Với mỗi điểm y V lúc đó tồn tại tập V mở để y V V V là lân cận của y V U y (b) Với T = {U : U U x nếu x U} Ta sẽ chứng minh T làmộttôpôtrênX.Thậtvậy: i) Rõ ràng ,X T ii) Giả sử {U i } iI là một họ bất kì thuộc T tồn tại một U i 0 iI U i , nên theo tiên đề 3) iI U i T iii) Giả sử U, V T theo tiên đề 2) U V T Vậy T là một tôpô trên X nqchungv@yahoo.com 7 Với U x thoả mãn thêm điều kiện 4) ta chứng minh T là họ lân cận của x đối với tôpô T . Thật vậy: Giả sử U U x theo tiên đề 4) tồn tại V T sao cho x V U U x là một hệ lân cận của x đối với tôpô T Bài 5 : Giả sử i là toán tử chuyển tập con của X thành tập con của X và T là họ các tập con sao cho A i = A Vớiđiềukiệnnào,T sẽ là tôpô và (đồng thời i là toán tử phần trong đối với tôpô nào đó. Chứng minh I. Giả sử i là toán tử phần trong của X và T = {A X : A i = A} Để T là một tôpô trên X ta cho i thoả mãn các tiên đề sau: 1)X i = X 2)A i A 3)(A i ) i = X 4)A i B i =(A B) i Ta sẽ chứng minh T là một tôpô. Thật vậy: i) Hiển nhiên X T , lại có i (theo tiên đề 2) và i ( là tập con của mọi tập con của X) i = T ii) Trớc hết ta chứng minh bổ đề sau : Nếu A B thì A i B i Thật vậy A B A = A B A i = A i B i (theo 3) A i B i Giả sử {A } I là họ bất kì trong T ta sẽ chứng minh I A T tứctachứngminh I A =( I A ) i Rõ ràng ( I A ) i I A Ta chỉ cần chứng minh: I A ( I A ) i nqchungv@yahoo.com 8 Ta có A I A , nên theo bổ đề trên) A i ( I A ) i A = A i ( I A ) i I A = I A i ( I A ) i I A ( I A ) i iii) Giả sử A, B là hai tập bất kì thuộc lúc đó ta có: A i B i = A B và A i B i =(A B) i (theo tiên đề 4) A i B i = A B A B T II. Bây giờ ta sẽ chứng minh F X thì F i trùng với F o Giả sử F là tập con bất kì của X.VìF o là tập mở F o T (F o ) i = F o Lại do F o F F o =(F o ) i F i (theo bổ đề trên) F o F i (1) Lại có (F i ) i = F i (theo tiên đề 3) F i T mà F i F F i F o (2) Từ (1) và (2) F o = F i Bài 6 : Không gian tôpô đợc gọi là T 1 - không gian khi và chỉ khi mỗi tập một điểm là tập đóng. Chứng minh rằng: (a)TrênmỗitậpX có một tôpô thô nhất T duy nhất sao cho (X, T )làT 1 - không gian. (b)NếutậpX vô hạn và T là tôpô thô nhất sao cho (X, T )làT 1 - không gian thì (X, T ) liên thông. (c)Nếu(X, T )làT 1 -không gian thì tập các điểm giới hạn của tập con tuỳ ý là tập đóng. Kết quả mạnh hơn : Định lý Yang: Để tập giới hạn của tập con tuỳ ý là tập đóng, cần và đủ là tập giới hạn của tập {x} là tập đóng, trong đó x là điểm tuỳ ý của tập X. Chứng minh (a) Cách 1: Giả sử {T } I là họ tất cả các tôpô T 1 -không gian trên tập X.Đặt T = < I T nqchungv@yahoo.com 9 ta sẽ chứng minh T là tôpô thô nhất duy nhất sao cho (X, T )làT 1 - không gian. Bạn đọc tự chứng minh dựa vào câu A. Cách 2: Đặt T = {,X,X\F : F là tập con hữu hạn của X} .Tacó: i) Rõ ràng ,X T theo định nghĩa T ii) Giả sử {U } là họ bất kỳ thuộc T U = X\F trong đó F hữu hạn, với mọi .Tacó: U = (X\F )=X\( < F ) mặt khác F hữu hạn < F hữu hạn U T iii) U, V là hai tập bất kỳ thuộc T , khi đó F u ,F v hữu hạn sao cho U = X\F u ,V = X\F v Ta có: U V =(X\F u ) (X\F v )=X\(F u F v ) mà F u F v hữu hạn U V T . Vậy T là một tôpô trên X. Bâygiờtachứngminh(X, T ) là T 1 -không gian thô nhất. Thật vậy: Vì {x} hữu h ạn X\{x} T X\{x} mở {x} là tập đóng (X, T ) là T 1 -không gian. Giả sử (X, U) là T 1 -không gian bất kỳ. Ta có: V T V = X\F với F là tập hữu hạn tức F = {x 1 ,x 2 , , x n } V = X\{x 1 ,x 2 , , x n } = X\( n =1 x i )= n < i=1 X\{x i } Theo giả thiết (X, U) là T 1 -không gian i = 1,n tập {x i } đóng X \x i U, i = 1,n n < i=1 X\{x i } U V U T U T thô hơn U TừchứngminhtrêncũngchotatínhduynhấtcủaT nqchungv@yahoo.com 10 (b) Để chứng minh X là không gian liên thông ta chứng minh không tồn tại một tập con thực sự khác vừa đóng vừa mở của X.Thậtvậy: Giả sử U là tập con thực sự, khác rỗng mở bất kỳ trong X U = X\F với F là tập con hữu hạn của X,vìX vô hạn U = X\F vô hạn, vậy mọi tập con khác rỗng mở của X đều vô hạn. Lại có X\U = F = hữu hạn F không mở U không đóng, do U lấy bất kỳ mọi tập mở khác rống và X đều không đóng X là không gian không liên thông. (c)(X, T ) là T 1 -không gian. A là tập con bất kỳ của X. Để chứng minh A đóng ta sẽ chứng minh X\A mở. Thật vậy: Với mọi x X\A x A lân cận mở U của x sao cho U A\{x} = . Giả sử y U A .VìX là T 1 - không gianlân cận mở V của y sao cho x V ,doU mở y U W = U V cũng là lân cận mở của y.VàW A\{y} = W A\{x, y} U A\{y} = (Vì x W và W U) W A\{y} = mâu thuẫn với y A . Vậy U A = x U X\A X\A mở A đóng. Bây giờ ta chứng minh định lý Yang: Hiển nhiên A X mà A đóng x X thì {x} đóng. Ta sẽ chứng minh nếu {x} đóng với mọi x X thì A đóng với mọi A X. Thật vậy: x X thì x {x} vì nếu x {x} lân cận U của x.Tacó: U {x}\{x} = vô lý x X\{x} vì {x} đóng X\{x} mở X\{x} là lân cận của x với mọi x X. Giả sử A là tập con bất kỳ của X, x X\A tồntạilâncậnU của x sao cho U X\{x} = . Lúc đó V = U X\{x} cũng là lân cận của x và V X \{x } = . Ta sẽ chứng minh V X\A Mỗi y V nếu y = x rõ ràng y X\A Nếu y = x,doV X\{x} y X\{x} và lân cận V y của y sao cho V y {x}\{y} = V {x} = Đặt W = V y V W là lân cận của y và W {x} = W A\{y} = W\{x} A\{y} = W A\{x, y} V A\{x} = W A\{x} = y A y X\A V X\A X\A mở A đóng. [...]... A A = (n, n) là tập compact trong (R, T ) Bây giờ ta chứng minh A không phải là tập compact Ta có: A = (n, n) = R Thật vậy, do mọi tập mở U trong (R, T ) đều có dạng U = (k, k) U A = (k, k) (n, n) 0U A=A=R Lại có tập R không là tập compact vì nó phủ mở {(n, n)} không có phủ n=1 con hữu hạn A = (n, n) không là tập compact trong (R, T ) Giả sử X là không gian chính quy và A là tập compact trong... 1) ì X Tập F = (0; 1) ì X không compact vì phủ mở {( 1 1 ;1 ) ì X} n=1 n+1 n+1 của F không có phủ con hữu hạn Vậy tồn tại hai tập compact F1 , F2 nhng giao của chúng không compact Giả sử {F }I là một họ các tập compact đóng bất kỳ F = I F là một tập đóng và F F -compcat nào đó của họ F là tập compact b) Trên R ta đặt T = {(n, n) : n N} khi đó dễ dàng chứng minh T là một tôpô trên N Lúc đó tập A... hàm khoảng cách giữa điểm với tập, giữa tập với tập Chứng minh a) Không gian tôpô thô X = {a, b}; a, b R và a < b Nghĩa là tôpô trên X : TX = {, X} Không gian tôpô R với tôpô thông thờng Xét không gian tích P =RìX Lúc đó tôpô trên P là TP = {, U ì X : U là tập mở trên R} Xét hai tập hợp F1 = ([0; 1] ì b) ((0; 1) ì a) F2 = ((0; 1) ì b) ([0; 1] ì a) Lúc đó F1 và F2 là hai tập compact trong P Thật vậy:... Từ bài toán trên ta có ngay hệ quả sau: Không gian tôpô X là không liên thông khi và chỉ khi tồn tại một tập con thực sự khác rỗng vừ đóng vừa mở 35 nqchungv@yahoo.com 36 Bài 30 :Giả sử f : X Y là một ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y khi đó nếu X là không gian liên thông thì f (X) là tập liên thông Chứng minh Giả sử f (X) không liên thông, theo nhận xét của bài 29 tồn tại tập. .. U là tập mở bất kì trong XU = U I trong đó {U }I là các tập thuộc cơ sở của tôpô tích Với mỗi ta có: n U = i=1 n U = U = p1 (Vi ) với n N i p1 (Vi )) với Vi là tập mở trong Xi i ( I i=1 I Khi đó n f 1 (U ) = f 1 ( n p1 (Vi )) i ( = I i=1 ( I i=1 f 1 p1 (Vi )) i n f 1 (U ) = ( n 1 (pi f ) (Vi )) = I i=1 ( 1 gi (Vi )) I i=1 n Do gi liên tục 1 gi (Vi ) là tập mở i=1 n ( I i=1 1 gi (Vi )) là tập mở... họ bất kỳ các tập compact đóng luôn là đóng và compact b) Bao đóng của một tập compact của không gian tôpô có thể không compact Nhng trong không gian chính quy bao đóng của tập compact luôn luôn compact nqchungv@yahoo.com 27 c) Cho A và B là các tập con đóng không cắt nhau của không gian giả mêtric và A compact Khi đó tồn tại x A sao cho dist(A, B) = dist(x, B) > 0 d) Cho A và B là các tập compact... tại tập vô hạn A không có điểm giới hạn Trớc hết ta chứng minh A là tập vô hạn thì mọi tập con của A đều đóng B là tập con bất kỳ của A, mọi x X\B thì x không là điểm giới hạn của A tồn tại lân cận V của x sao cho V \{x} A = V \{x} B = lại do x B / V B = V X\B X\B là tập mở B đóng Do A A, từ chứng minh trên A cũng là tập đóng Vì A không có điểm giới hạn và X là T1 -không gian, bằng cách... và X\A là hai tập tách đợc trong X mà Y = A (X\A) trái với X liên thông vậy không tồn tại tập con thực sự khác rỗng vừa đóng vừa mở trong X Nếu trong X không tồn tại tập con thực sự nào của X vừa đóng vừa mở ta chứng minh X liên thông Giả sử X không liên thông tồn tại hai tập A và B khác rỗng sao cho A B = A B = và X = A B X = A B và X = A B A = X\B và B = X\A A và B là các tập mở lại có... UY , VY là các lân cận của x, y trong Y và UY VY = Y là T2 -không gian Bài 12 : Giả sử X là không gian tôpô, Y là T2 -không gian f, g : X Y là các ánh xạ liên tục Khi đó : a) Tập F = {x X : f (x) = g(x)} là tập đóng trong X b) Nếu f = g trên tập con trù mật của X thì f = g Chứng minh a) Để chứng minh F đóng ta chứng minh tập G = X\F = {x X : f (x) = g(x)} mở Với mọi x G f (x) = g(x) U và V... thông trái với giả thiết f (X) liên thông Bài 31 : Nếu X là không gian compact và liên thông địa phơng thì số thành phần liên thông của X là hữu hạn Chứng minh Vì X là không gian liên thông địa phơng và tập X mở mọi thành phần liên thông của X đều là tập mở Gọi họ C = {C }I là họ tất cả các thành phần liên thông của X C C nếu = (1) Do tập một điểm là tập liên thông nên x X đều nằm trong một . Kết quả mạnh hơn : Định lý Yang: Để tập giới hạn của tập con tuỳ ý là tập đóng, cần và đủ là tập giới hạn của tập {x} là tập đóng, trong đó x là điểm tuỳ ý của tập X. Chứng minh (a) Cách 1: Giả. gian tôpô Bài 1 : Cho không gian tôpô X, E là tập con của X ta luôn có: a)E đóng E E b) E = E E c)intE là tập mở lớn nhất chứa trong E d) E là tập đóng nhỏ nhất chứa E e)E là tập mở E là. n < i=1 g 1 i (V i ) là tập mở I ( n < i=1 g 1 i (V i )) là tập mở f 1 (U) mở f liên tục. Bài 15 : Cho A và B là các tập con của không gian tôpô X,saochoX = A B và các tập AB và BA tách