Microsoft Word BIA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * TRẦN HỮU LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CÓ NGUỒN NHIỆT LUẬN VĂN THẠ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * TRẦN HỮU LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CĨ NGUỒN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * TRẦN HỮU LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CĨ NGUỒN NHIỆT CHUN NGHÀNH Mã số : GIẢI TÍCH : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đặng Đức Trọng Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010 LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành Thầy PGS.TS Đặng Đức Trọng, Thầy tận tình giúp đỡ, hướng dẫn truyền đạt nhiều ý kiến q báu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý giá, thiết thực cho luận văn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q Thầy Cơ tổ Toán – Tin Học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh trực tiếp giảng dạy trang bị đầy đủ kiến thức làm tảng cho tơi q trình viết luận văn Tơi xin tỏ lịng biết ơn đến gia đình tơi, q thầy bạn bè hỗ trợ, giúp đỡ động viên suốt q trình học tập hồn thành luận văn Trần Hữu Lương Ket-noi.com kho tai lieu mien phi MỤC LỤC Lời cảm ơn……………………………………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………………………………… 1.Phần 1- MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU……………………………………………………….1 1.1 Mở đầu………………………………………………………………………… 1.2 Ký hiệu…………………………………………………………………………… 2.Phần 2- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN…………………………………………… 2.1 Bài toán thuận Bài toán ngược……………………………………………… 2.2 Bài tốn chỉnh hóa Bài tốn khơng chỉnh Sự chỉnh hóa…………………….4 2.3 Hàm nguyên……………………………………………………………………5 2.4 Bất đẳng thức Holder………………………………………………………… 2.5 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn Đẳng thức Parseval…………………………… 2.6 Bất đẳng thức Jensen………………………………………………………… 2.7 Công thức tích phân Cauchy Thặng dư……………………………………….8 2.8 Định lý Beurling………………………………………………………………10 3.Phần 3- CÁC ĐỊNH LÝ………………………………………………………… 11 3.1 Bài toán……………………………………………………………………… 11 3.2 Các định lý …………………………………………………………………….13 3.2.1 Định lý ………………………………………………………… 13 3.2.2 Định lý ………………………………………………………… 13 3.3 Các bổ đề………………………………………………………………………14 3.3.1 Bổ đề 1…………………………………………………………… 14 3.3.2 Bổ đề 2…………………………………………………………… 16 3.3.3 Bổ đề 3…………………………………………………………… 19 3.3.4 Bổ đề 4…………………………………………………………… 22 3.3.5 Bổ đề 5…………………………………………………………… 27 3.3.6 Bổ đề 6…………………………………………………………… 29 3.4 Chứng minh định lý ……………………………………………………… 32 3.4.1 Chứng minh định lý …………………………………………… 32 3.4.2 Chứng minh định lý …………………………………………… 34 3.5 Giải số………………………………………………………………………… 37 3.5.1 Thuật tốn………………………………………………………….37 3.5.2 Ví dụ minh họa…………………………………………………….39 3.5.2.1 Ví dụ 1…………………………………………………….39 3.5.2.2 Ví dụ 2…………………………………………………….40 3.6 Kết luận…………………………………………………………………………45 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………48 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 1 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ PHẦN MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 1.1 Mở đầu Các tốn ngược đóng vai trị quan trọng vấn đề nội toán học thực tiễn, luận văn ta xét toán sau Giả sử T > 0, t ∈(0, T), Ω = (0, 1) × (0, 1), (x, y) ∈ Ω , g ∈ L1 (Ω), ϕ ∈ L1 (0, T ) ( g, ϕ hai hàm cho trước ) Khi đó, tốn (1) phát biểu sau Cho phương trình (x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) + ϕ (t ) f(x,y), (x, 0, t) = (x, 1, t) = 0, Với i u(x, y, 0) = g(x, y), ii u(1, y, t) = 0, iii (0, y, t) = (1, y, t) = Yêu cầu xác định cặp hàm ( u, f ) nghiệm hệ (1) Vấn đề là, trường hợp tổng quát khơng tìm xác u(x, y, t) f(x, y) thỏa toán Do vậy, đây, cần xây dựng hàm chỉnh hóa f(x,y) sở liệu xấp xỉ Phương pháp áp dụng dùng phương pháp nội suy ta tìm hệ số chuỗi Fourier khai triễn f, sau dùng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Tháng 08/ 2010 Phần MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 2 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Nếu gọi ε sai số liệu cho liệu xác sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa có bậc [ ln(ε −1 ) ]-1 Nội dung luận văn gồm phần sau Phần 1: MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU Phần2: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Phần3: CÁC ĐỊNH LÝ Mục đích luận văn xây dựng nghiệm chỉnh hóa f(x,y), kiến thức Bài tốn thuận Bài tốn ngược Bài tốn chỉnh hóa Bài tốn khơng chỉnh Sự chỉnh hóa Hàm ngun Bất đẳng thức Holder Hệ trực giao, hệ trực chuẩn Đẳng thức Parseval Bất đẳng thức Jensen Cơng thức tích phân Cauchy Thặng dư Định lý Beurling sử dụng để xây dựng nghiệm chỉnh hóa Trong kết chính, phần xây dựng sơ đồ chỉnh hóa cho f mơ tả lại theo nội dung báo “Determine the spacial term of a two-dimensional heat source ” nhóm tác giả Dang Duc Trong, Pham Ngoc Dinh Alain Phan Thanh Nam Ngoài ra, nội dung tốn ta giải toán khác phát biểu sau chứng minh định lý Cuối ví dụ giải số nhằm minh họa lại kết ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Tháng 08/ 2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 3 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 1.2 Ký hiệu Dưới số ký hiệu dùng luận văn : chuẩn khơng gian định chuẩn Lp( Ω ): tập hàm đo theo nghĩa Lebesgue Ω ∫ | f(t) | p dt < +∞ Ω với chuẩn f = ( ∫ f ( x) )1/ p p p L Ω C( Ω ): không gian hàm liên tục Ω với chuẩn f C (Ω) = sup { f ( x ) : x ∈ Ω} Ck( Ω ): không gian hàm liên tục khả vi đến cấp k Ω với chuẩn p f C (Ω) k { } = ∑ sup f ( k ) ( x) : x ∈ Ω k =0 C ∞ (Ω) : không gian hàm liên tục khả vi cấp Ω Hp( Ω ) (với p = 1, 2): không gian hàm L2( Ω ) cho f đạo hàm yếu tới bậc p có chuẩn L2 hữu hạn với chuẩn ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Tháng 08/ 2010 Phần MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 4 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ p f H (Ω) p = (∑ ∫ f ( k ) ( x) dx)1/2 k =0 Ω ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Tháng 08/ 2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần KIẾN THỨC LIÊN QUAN PHẦN KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2.1 Bài toán thuận Bài toán ngược Cho X , Y hai không gian định chuẩn f: X Y ánh xạ Khi ta nói, Bài tốn thuận : cho f x X, ta cần tính giá trị f(x), Bài toán ngược : cho f y Y, ta cần giải phương trình f(x) = y theo ẩn x 2.2.Bài tốn chỉnh hóa Bài tốn khơng chỉnh Sự chỉnh hóa Cho X , Y hai không gian định chuẩn f: X Y ánh xạ Phương trình f(x) = y gọi chỉnh thỏa điều kiện sau i Sự tồn tại: Với y Y, tồn x X cho f(x) = y ii Sự nhất: Với y Y, tồn nhiều x X để f(x) = y iii Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục liệu y (tức là: với dãy (xn) X : f(xn) f(x) kéo theo xn x hay dãy liệu nhiễu hội tụ đến dãy liệu xác nghiệm nhiễu hội tụ đến nghiệm xác) Nếu nghiệm x khơng phụ thuộc liên tục vào liệu y f(xn) f(x) xn khơng hội tụ đến x xn dần đến vơ Để xét tính chỉnh tốn, ta thường đưa dạng phương trình f(x) = y xét chỉnh hóa toán -Tháng 08/2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần CÁC ĐỊNH LÝ 34 ( m2 (n )2 ) 1 ] = Và điều mâu thuẫn lim [ eT 3 m m m Vậy f = hay f1 = f2 Khi chứng minh bổ đề ta có d ( [e dt ( n ) ) t uWdxdy] e ( ( n )2 ) t (t ). f Wdxdy Và f = nên ta d ( [e dt Do e ( ( n )2 ) t ( n )2 ) t uWdxdy] uWdxdy hàm Mà u(x,y,0) = nên [e ( ( n ) ) t uWdxdy ] Vậy suy uWdxdy , u = 0, u1 = u2 Vậy định lý chứng minh xong 3.4.2 Chứng minh định lý Ta có Tháng 08/2010 Phần CÁC ĐỊNH LÝ 35 f f0 L2 ( ) f r ( f ) L2 ( ) r ( f ) f L2 ( ) Bây ta đánh giá thừa số thứ Trước hết, F (m, n) L[B(r );H( ,g )(.,n )](im ), m,n r , G ( f )(im , n ) 0,( khác ) Nên, m, n r theo bổ đề ta G ( f )(., n ) hàm nguyên G( f0 )( z, n ) f L1 ( ) e z , z C Hơn , với ( > 0) đủ nhỏ, theo bổ đề ta có sup G ( f )( , n ) H ( , g )( , n ) (ln( 1 )) 4 e 24 r B ( r ) Theo bổ đề ta có G ( f )(im , n ) G ( f )(im , n ) G( f )(im , n ) L[B( r ); H ( , g )(., n )](im ) f0 L1 ( ) e r 20r e25 r (ln( 1 ))4 5 e24 r (với m, n r ( 0) đủ nhỏ) f0 L1 ( ) e r 20r e 49 r (ln( 1 ))4 f0 e r 20r ( L ( ) f0 L1 ( ) e r e 49 ) 49 (ln( 1 ))4 5 1/50 1 20r e (ln( )) 4 5 1 ( e r e. 50 ) 49 50 Tháng 08/2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần CÁC ĐỊNH LÝ 36 f0 L1 ( ) e r 49 1 20r e (ln( )) 1 49 (1 20r e (ln( )) 4 50 ). 4 5 50 ( r [ln 1/51 , với ( 0) đủ nhỏ, m, n r [ln số thực ln f0 L1 ( ) 1/50 f0 L1 ( ) 1/50 f0 L1 ( ) 1/50 ]) ] số nguyên nhỏ lớn Như vậy, với ( > 0) đủ nhỏ ta có f r ( f ) H ( ) (1 ( m n )) K ( m, n) G ( f )(im , n ) G ( f )(im , n ) m ,n r (1 r ) (1 2 r2 ).4. 2/51 2/52 1/26 Suy f r ( f ) H () 1/52 Hay f r ( f ) H1 () 0, 0 Mặt khác, theo bổ đề ta có f r ( f ) L () f ( r 1) H1 () Nên Tháng 08/2010 Phần CÁC ĐỊNH LÝ 37 f r ( f ) L2 ( ) 0, Vậy f f0 L2 ( ) 0, 0 Nếu giả thiết thêm f H ( ) từ từ bổ đề ta suy f r ( f ) H () 0, Khi f f0 H1 ( ) 0, 0 Như lại theo bổ đề kết đánh giá thừa số thứ nhất, ta có f f ( L2 ( ) 1/52 f0 H () 1/52 f (r 1) ) f (r 1) H1 ( ) H1 ( ) ( 50 ) f ln( 1 ) H1 ( ) với ( > 0) đủ nhỏ Vậy định lý chứng minh xong Từ nội dung định lý ta xây dựng sơ đồ giải số sau 3.4 Giải số 3.4.1 Thuật toán Tháng 08/2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần CÁC ĐỊNH LÝ 38 Ở chọn (m )2 zl T = , k (với k Z sai số liệu), z 2j zl2 1 k, gk, k kiện cho trước, fk nghiệm chỉnh hóa Từ định lý ta có thuật tốn để tính giá trị fk sau r:= ceil( ln k ); 50 fk:= 0; for n from to 20r for j from to 20r zj:= 4r + j; 1 g Hj:= k cosh( z j x)cos(n y ) dxdy 0 T e ; ( z 2j ( n )2 ) t k (t ) dt end do; for m from to r coef:= 0; for j from to 20r : = 1; Tháng 08/2010 Phần CÁC ĐỊNH LÝ 39 for p from to 20r (m )2 zl if (p j) then := * end if ; z 2j zl2 end do; coef:= coef + * H j ; end do; fk:= fk + K(m,n)*coef*cos(m x)cos(n y); end do; end do; 3.4.2.Ví dụ minh họa 3.4.2.1 Ví dụ Cho liệu xác (t ) e 4 t , g ( x , y ) (1 cos( x )) cos( y ) hệ (1) có nghiệm xác u0 ( x, y, t ) e 4 t (1 cos( x ))cos( y ), f ( x, y ) 3cos( y ) 2cos( x) cos( y ) Với k Z , xét liệu nhiễu Tháng 08/2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần CÁC ĐỊNH LÝ 40 k (t ) (t ) e 4 t , g k ( x, y ) g ( x, y ) k sin (k x) cos(k y ) (1) có nghiệm nhiễu tương ứng uk ( nhieu ) ( x, y, t ) u0 ( x, y, t ) e 4 t sin ( k x) cos( k y ) , k f k ( nhieu ) ( x, y ) f ( x, y ) k [(5k 4)sin ( k x) 2k ] Ta thấy gk g L1 ( ) f k ( nhieu ) f 0, k , k L ( ) (27 k 56 48 ) , k k2 Nên toán tốn khơng chỉnh, nhu cầu chỉnh hóa tìm nghiệm xấp xỉ cần thiết Nếu chọn k = 100 = 1/k = 1/100, từ thuật tốn ta có f k ( x, y ) 2,999721cos( y ) 1,997145cos( x)cos( y ) Nên sai số so với nghiệm xác f k f0 L2 ( ) 0,001441 Kết tốt 3.4.2.2 Ví dụ Tháng 08/2010 Phần CÁC ĐỊNH LÝ 41 Cho liệu xác 0 (t ) et , g0 ( x, y ) ( x cos(1 x ) sin(1 x ) 1)(2 y y ) hệ (1) có nghiệm xác u0 ( x, y , t ) et ( x cos(1 x ) sin(1 x ) 1)(2 y y ), f ( x, y ) (2 x cos(1 x) 1)(2 y y ) ( x cos(1 x ) sin(1 x) 1)(12 y 6)) Với k Z , xét liệu nhiễu k (t ) 0 (t ), g k ( x, y ) g ( x, y ) k sin ( k x) cos(2 y ) (1) có nghiệm nhiễu tương ứng uk ( nhieu ) ( x, y , t ) u0 ( x, y, t ) et sin ( k x )cos(2 y ) , k f k ( nhieu ) ( x, y ) f ( x, y ) k [(4k 2 4 1)sin ( k x) 2 k ]cos(2 y) Khi gk g0 L1 ( ) f k ( nhieu ) f 0, k , k L2 ( ) 16 k 32 8 (48 24 3) , k k Nên tốn khơng chỉnh Nếu chọn = 1/100, từ thuật tốn ta tìm nghiệm chỉnh hóa fk(x,y) = 0,040435 + 0,426992cos( x) – 0,431701cos( y) - 0,800509cos( x)cos( y) Tháng 08/2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần CÁC ĐỊNH LÝ 42 Do sai số so với nghiệm xác fk f0 L2 ( ) 0,059997 Trong đó, sai số nghiệm nhiễu nghiệm xác ứng với k =100 lại lớn, f k ( nhieu ) f L2 ( ) 1, 24 *106 Điều cho thấy nghiệm chỉnh hóa mà ta tìm tốt Sau đồ thị tương ứng hàm ví dụ Tháng 08/2010 Phần CÁC ĐỊNH LÝ 43 H1- Đồ thị nghiệm xác f0(x, y) Tháng 08/2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần CÁC ĐỊNH LÝ 44 H2 - Đồ thị nghiệm nhiễu fk(nhieu)(x, y) ứng với k = 100 Tháng 08/2010 Phần CÁC ĐỊNH LÝ 45 H3 - Đồ thị nghiệm chỉnh hóa fk(x, y) ứng với k = 100 Tháng 08/2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần CÁC ĐỊNH LÝ 46 3.6.Kết luận Với việc sử dụng linh hoạt kiến thức liên quan đến hàm nguyên, bất đẳng thức Holder, đẳng thức Parseval, bất đẳng thức Jensen, thặng dư, định lý Beurling phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier , xây dựng f (x,y ) hàm xấp xỉ f(x,y) toán với bậc sai số [ ln( 1 )]1 , để dễ hình dung quan sát lại kỷ ví dụ Và dựa vào kết toán trên, giải tốn (1’) sau Giả sử T > 0, t(0, T), = (0, 1) (0, 1), (x, y) , g L1 (), L1 (0, T ) (g, hai hàm cho trước) Khi đó, tốn (1’) phát biểu sau Cho phương trình (x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) + h(x, y, t) với i hx(x, y, t) = (t ) f(x,y), h(xi, y, t) = h1(y,t) (ở xi giá trị cho trước (0,1) ), ii vx(x, y, 0) = g(x, y), iii vx(1, y, t) = 0, iv (0, y, t) = xx(1, y, t) = (x, 0, t) = (x, 1, t) = 0, Tháng 08/2010 Phần CÁC ĐỊNH LÝ 47 v Tồn đạo hàm theo x hàm vt, vxx, vyy, h(x,y,t) đạo hàm liên tục Yêu cầu xây dựng hàm xấp xỉ h(x, y, t) từ h1(y, t) Thật vậy, đạo hàm theo x hai vế phương trình (x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) + h(x, y, t), ta (vt)x = (vxx)x+(vyy)x+ (t ) f(x,y) Nếu đặt u(x,y,t) = vx(x,y,t) ta có (x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) + (t ) f(x,y), với i u(x,y,0) = vx(x, y, 0) = g(x, y), ii u(1,y,t) = vx(1, y, t) = 0, iii ux(0,y,t) = (0, y, t) = 0, ux(1,y,t) = (1, y, t) = 0, uy(x,0,t) = (x,0, t) = 0, uy(x,1,t) = (x, 1, t) = Nên theo tốn (1) ta xây dựng f hàm xấp xỉ f Bây ta xây dựng hàm xấp xỉ h(x,y,t) từ h1(y, t) sau Từ hx(x,y,t) = (t ) f(x,y) ta suy x x hx ( x, y, t )dx (t ) f ( x, y)dx hay xi xi Tháng 08/2010 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Phần CÁC ĐỊNH LÝ 48 x x h( x, y, t ) h( xi , y, t ) (t ) f ( x, y)dx h1 ( y, t ) (t ) f ( x, y)dx xi xi Thay f f , ta x h ( x, y, t ) h1 ( y, t ) (t ) f ( x, y)dx xi Và vậy, ta có đánh giá h( x, y , t ) h ( x, y , t ) L2 ( ) x x (t ) f ( x, y )dx (t ) f ( x, y ) dx xi xi L2 ( ) x (t ) f ( x, y ) f ( x, y ) L2 ( ) dx xi sup{ (t ) , t (0, T )}./x-x i / 50 f ln( 1 ) H ( ) 50 f H ( ) , ( N : sup{ (t ) , t (0, T )}) ln( 1 ) 50 N f ln( 1 ) H ( ) N 1 Tháng 08/2010