Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Gửi đến các bạn học sinh Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh được TaiLieu.VN chia sẻ dưới đây nhằm giúp các em có thêm tư liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì thi. Cùng tham khảo giải đề thi để ôn tập kiến thức và làm quen với cấu trúc đề thi các em nhé, chúc các em thi tốt!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (6,0 điểm) sin x − 2cos x − 5sin x − cos x + a) Giải phương trình = 2cos x + b) Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC lấy 2, 4, n điểm phân biệt ( n > điểm không trùng với đỉnh tam giác ABC) Biết số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm cho 247 Tìm hệ số x9 khai triển P ( = x) (x − 2x) n Câu (5,0 điểm) a) Tính giới hạn L = lim x →0 ( x + 1) − x + + 3x − x − x2 b) Bảng hình vng ( 10 x10 ) gồm 100 hình vng đơn vị, hình có diện tích Hỏi có hình chữ nhật tạo thành từ hình vng đơn vị bảng Chọn ngẫu nhiên hình chữ nhật trên, tính xác suất để hình chữ nhật chọn có diện tích số chẵn Câu (5,0 điểm) a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hãy dựng đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng AC’ BA’ đồng thời song song với đường thẳng BD Gọi I, J giao điểm ∆ với AC’ BA’ AI Tính tỷ số AC ' b) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = 2a, SC = a, ∠A SB = ∠BSC = ∠C SA = α Gọi M trung điểm SB Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mp ( P ) chứa AM song song  π với BC Tìm α ∈  0;  để diện tích thiết diện lớn  2 Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc Tìm giá trị nhỏ a c   b biểu thức P = +  +  a + bc  b + ca c + ab  a1 1,= a2 = Câu (2,0 điểm) Cho dãy số ( an ) xác định  an+1 = + a1a2  an−1 + ( a1a2  an−1 ) , ∀n ≥ 1 1 Tìm lim  + +  +  an   a1 a2 -HẾT - Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………Số báo danh: ………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 11 Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án mà cho điểm tương ứng Câu Câu 1a điểm Nội dung Điểm 5π ⇔x≠± + k 2π , k ∈  (*) Với đk trên, phương trình cho tương đương Điều kiện: cos x ≠ − 0,5 sin x − cos x − 5sin x − cos x + = ⇔ sin x + 2sin x − 5sin x − cos x + = ⇔ ( 2sin x − 1)( cos x + sin x − ) = 0,5 π    ⇔ ( 2sin x − 1)  sin  x +  −  = 4    0,5 π   2sin x − =0 x = + k 2π   ⇔ ⇔ sin x =⇔  sin  x + π  = (VN ) 5π = x + k 2π 4    (k ∈ ) 1,0 π Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm phương trình x = + k 2π , k ∈  Câu 1b Số tam giác Cn3+ − C43 − Cn3 = 247 0,5 điểm 0,5 ⇔ ( n + )( n + 5)( n + ) − n ( n − 1)( n − ) = 251 6 n = ⇔ 18n + 72n − 1386 =0 ⇔ n + 4n − 77 =0 ⇔   n = −11 Khi P ( = x) Câu 2a 2,5 điểm 1,0 (x 0,5 ( KTM ) 7−k − x ) có số hạng tổng quát C7k x ( ) ( −2 x ) = C7k ( −2 ) x14− k k k 0,5 Số hạng chứa x9 xuất 14 − k = ⇔ k = Vậy hệ số cần tìm C75 ( −2 ) = −672 0,5 x = lim  Ta có L x →0   ( 1,0   1− 2x −1 lim  + x →0 x   ( )+ − 2x −1 x2 − x − (1 − x ) x2 (  − x − (1 − x) + x − (1 + x )  +  x2 x2  )( 1− 2x +1− x 1− 2x +1− x ) )+ (1 + 3x ) − (1 + x ) 2 (1 + 3x ) + + 3x (1 + x ) + (1 + x )  x2 ( )   −2 3+ x   =−1 − − =− − − lim 2 x →0  − x + 2 − x + − x (1 + x ) + + x (1 + x ) + (1 + x )    Câu 2b Mỗi hình chữ nhật tương ứng với việc chọn đường nằm ngang đường nằm dọc hình vng cho Vậy số hình chữ nhật C112 C112 = 3025 2,5 Đánh số đường nằm dọc từ trái qua phải 1, 2, ,10,11 ( điểm đường đánh số lẻ đường đánh số chẵn) Đánh số đường nằm ngang từ xuống 1, 2, ,10,11 ( đường đánh số lẻ đường đánh số chẵn) Trước hêt đếm số hình chữ nhật có diện tích số lẻ 0,75 0,75 1,0 0,5 Để có hình chữ nhật có diện tích số lẻ kích thước hình chữ nhật phải số lẻ –Xét kích thước thứ nhất: Để tạo kích thước số lẻ, ta chọn đường đánh số lẻ ( đường) ghép với đường đánh số chẵn ( đường) Như có 6.5 = 30 (cách) – Xét kích thước thứ hai: Để tạo kích thước số lẻ, ta chọn đường đánh số lẻ ( đường) ghép với đường đánh số chẵn ( đường) Như có 6.5 = 30 (cách) Do số hình chữ nhật là: 30.30 = 900 (hình) Vậy số hình chữ nhật có diện tích chẵn 3025 − 900 = 2125 (hình) 2125 85 Xác suất cần tìm = 3025 121 Giả sử xác định đường thẳng ∆ cắt AC’ Câu 3a BA’ I J Xét phép chiếu song song lên mp (ABB’A’) theo phương chiếu D’B’ Khi đó, hình 2,5 chiếu ba điểm thẳng hàng A, I , C ' ba điểm điểm thẳng hàng A, J , K (K điểm đối xứng với A’ qua B’) Do J thuộc BA’ nên J giao điểm AK BA’ Từ suy cách dựng: A 0,5 0,5 D C B I J A' D' 0,75 C' B' K Dựng K hình chiếu C’ theo phương chiếu D’B’ lên mp (ABB’A’) Lấy giao điểm J AK BA’ Qua J dựng đường thẳng ∆ song song C’K ta đường thẳng cần tìm AJ AB Ta thấy A ' B ' = B ' K ⇒ A ' K = AB Do AB / / A ' K nên = = JK A ' K 0,75 0,5 AI AJ AI = =⇒ = IC ' JK AC ' Lưu ý: Nếu học sinh dùng phương pháp vecto để tìm vị trí diểm I, J tính tỷ số AI cho điểm tối đa AC ' Câu 3b Gọi M, N trung điểm SB, SC thiết diện tam giác S AMN Ta có     2,5 S AMN= AM AN − AM AN = AM AN − AM AN N điểm 2 Lại có IJ / / C ' K ⇒ ( ) ( 0,5 ) A 0,5 M C B Mặt khác AM = SM + SA2 − SM SA.cos α = a ( − cos α ) a2 AN = SN + SA − SN SA.cos α = (17 − 8cos α )              a AM AN = SM − SA SN − SA = SM SN − SA.SN − SA.SM + SA = (8 − 5cos α ) Khi 2 ( S AMN = 0,5 )( ) a4 a4 a2 cos α − 28cos α + 21 ( − cos a )(17 − 8cos α ) − (8 − 5cos α )= 4 0,5 0,5 Đặt t cos α ( ≤ t < 1) Lập bảng biến thiên hàm số f ( t ) = 7t − 28t + 21 [ 0;1) = ta có GTLN f ( t ) 21, đạt t = Câu 2,0 điểm 21a π Vậy S AMN đạt GTLN α = bc ca ab + + = Ta có ab + bc + ca = abc ⇔ a b c 0,5 bc ca ab a b c bc ca ab tan = A, tan = B, tan C Do tồn tam giác ABC nhọn thỏa = mãn a b c    1  1   Khi P = + 3 + = + 3 +   2 bc ca ab  + tan B + tan C   1+  + tan A 1+ 1+ a b c   1 C) cos A + ( cos B + cos 2C )  + + = cos A + ( cos B + cos =  2 cos A + ( cos B + cos 2C ) = cos A − + cos ( B + C ) cos ( B − C ) Xét Q = 0,5 0,5   3 = cos A − − cos A cos ( B= − C ) cos A − cos ( B − C )  − cos ( B − C ) −   ≥ − cos ( B − C ) − ≥ − 2 −3 Suy P ≥ π  a= +  A =  Dấu xảy  ⇒ 3+  B= C= 5π b= c=   12 Câu Ta có a = + a a  a (1 + a a  a ) nên quy nạp, ta chứng minh n +1 2,0 điểm n −1 an +1 = + a1a2  an , ∀n ≥ 0,5 0,5 n −1 Do an +1 + an =1 + an + a1a2  an =1 + an2 với n ≥ 1 Từ ta có biến đổi an +1 = , ∀n ≥ − an ( an − 1) ⇔ = − an an − an +1 − 1 1 Đặt bn = + +  + , ∀n ≥ a1 a2 an  1  1 Suy bn = + ∑ − 1+ − = 2− = ak +1 −  a2 − an +1 − an +1 − k =  ak − n 0,75 0,75 Dễ thấy an > 1, ∀n ≥ Theo an +1 + an = + an2 ⇒ an +1 − an =( an − 1) > , suy dãy ( an ) tăng Giả sử dãy ( an ) bị chặn hội tụ L ( L > 1) Ta có an +1 ≥ + an −1 + an2−1 với n ≥ Chuyển qua giới hạn, ta có L ≥ + L + L2 hay + L ≤ 0, vô lý Suy dãy ( an ) khơng bị chặn Do lim an = +∞ Do lim bn = 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 202 2-2 023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 11 Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án mà cho điểm tương... C112 C112 = 3025 2,5 Đánh số đường nằm dọc từ trái qua phải 1, 2, ,10 ,11 ( điểm đường đánh số lẻ đường đánh số chẵn) Đánh số đường nằm ngang từ xuống 1, 2, ,10 ,11 ( đường đánh số lẻ đường đánh... với đường đánh số chẵn ( đường) Như có 6.5 = 30 (cách) – Xét kích thước thứ hai: Để tạo kích thước số lẻ, ta chọn đường đánh số lẻ ( đường) ghép với đường đánh số chẵn ( đường) Như có 6.5 = 30