ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THÁI SƠN VỀ TÍNH CHẤT COFINITE VÀ TÍNH CHẤT KHÔNG TRIỆT TIÊU CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 c ĐẠI HỌC THÁI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THÁI SƠN VỀ TÍNH CHẤT COFINITE VÀ TÍNH CHẤT KHƠNG TRIỆT TIÊU CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THÁI SƠN VỀ TÍNH CHẤT COFINITE VÀ TÍNH CHẤT KHƠNG TRIỆT TIÊU CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2020 c Thái Nguyên, năm 2018 c Lời cảm ơn Để thực tốt luận văn này, cố gắng nỗ lực thân, nhận quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè gia đình Nhân tơi xin gửi lời cảm ơn Trước hết xin gửi lời cảm ơn quý Thầy Cơ khoa tốn trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Thái Nguyên quý Thầy Cô viện toán học Việt Nam truyền thụ giảng dạy kiến thức bổ ích, làm tảng cho tơi trình nghiên cứu luận văn Và hết, xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Nguyễn Văn Hồng, người tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian xem xét, chỉnh sửa đưa nhận xét quý báu để luận văn tơi hồn thiện Bên cạnh dạy thầy cô, nhận quan tâm gia đình bạn bè Xin chân thành cảm ơn người Thái Nguyên, tháng năm 2020 i c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc ii c Mục lục MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập Ass, Supp môđun 1.2 Môđun Ext 1.3 Độ sâu, chiều hệ tham số môđun 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 1.5 Vành môđun Cohen-Macaulay 12 1.6 Môđun I -cofinite 13 Về tính chất cofinite tính chất khơng triệt tiêu mơđun đối đồng điều địa phương 14 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương vành đầy đủ 14 2.2 Môđun đối đồng điều địa phương vành địa phương Noether 18 2.3 Môđun đối đồng điều địa phương iđêan sinh phần hệ tham số 26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 32 iii c MỞ ĐẦU Như giả thiết, vành R vành giao hốn Noether có phần tử đơn vị khác với phần tử không Với iđêan I R R-môđun M , khái niệm môđun đối đồng điều địa phương thứ i M giá I định nghĩa công thức i n HIi (M ) = lim Ext (R/I , M ) R −→ n Những kiến thức chi tiết lớp môđun đối đồng điều địa phương trình bày tài liệu [5], [7] Trong báo [9], C Huneke nêu câu hỏi sơ khai sau: Cho W = {depth(Mp ) + ht(I + p)/p : I * p ∈ Supp M } Khi phát biểu sau liệu có hay khơng: ≤ n ∈ / W HIn (M ) R-môđun hữu hạn sinh? Liên quan đến câu hỏi sơ khai này, ta xem thêm báo [12] Năm 2014, Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami [3] chứng minh kết tương tự cho câu hỏi nêu trường hợp R vành địa phương đầy đủ I iđêan cực đại R Năm 1969, Grothendieck nêu giả thuyết rằng, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh, R-mơđun HomR (R/I, HIi (M )) hữu hạn sinh với i ≥ R Hartshorne xây dựng phản ví dụ cho giả thuyết [8]; đồng thời, ông định nghĩa môđun T I -cofinite Supp T ⊆ Var(I) ExtiR (R/I, T ) hữu hạn sinh với i ≥ 0, ông hỏi câu hỏi sau Với vành R iđêan I mơđun HIi (M ) I -cofinite với i môđun hữu hạn sinh M ? Hartshorne chứng minh rằng, I iđêan vành địa phương quy đầy đủ R M R-mơđun hữu hạn sinh, HIi (M ) I -cofinite hai trường hợp sau đây: • (i) I iđêan (xem [8, Hệ 6.3]), • (ii) I iđêan nguyên tố với dim R/I = (xem [8, Hệ 7.7]) Chủ đề tiếp tục nghiên cứu nhiều tác giả khác sau (xem c [1], [4], [6], [10], [14], [20]) Trong báo [3], Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami chứng minh số kết liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương cofinite tính triệt tiêu số mơđun đối đồng điều địa phương Mục đích luận văn trình bày chi tiết lại kết trình bày báo [3], số kiến thức bổ trợ Chương tham khảo sách [5] [15], số kiến thức bổ sung cần thiết khác dùng Chương tham khảo tài liệu lại c Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm trình bày số kiến thức sở tảng để người đọc dễ theo dõi kiến thức trình bày Chương Chương trình bày vắn tắt tập Ass, Supp, môđun Ext, độ sâu, chiều, hệ tham số, môđun đối đồng điều địa phương, vành môđun Cohen - Macaulay Ta giả thiết chung R vành giao hốn Noether có đơn vị khác phần tử không Những kiến thức chương chủ yếu tham khảo từ sách: “Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications” M P Brodmann - R Y Sharp (1998) (xem [5]) “Commutative ring theory” H Matsumura (1986) (xem [15]), mục cuối chương nhắc lại số kiến thức tính chất cofinite mơđun (trích số báo [18], [2], [8]) 1.1 Tập Ass, Supp môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun Iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M cho annR (x) = p (để ý rằng, p 6= R nên x 6= 0) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) (hoặc Ass M ) gọi tập iđêan nguyên tố liên kết M Định nghĩa 1.1.2 Cho M R-mơđun Tập giá mơđun M kí hiệu Supp(M ), xác định công thức Supp M = {p ∈ Spec(R) : Mp 6= 0} c Nhận xét 1.1.3 Cho I iđêan R Ta đặt Var(I) = {p ∈ Spec(R) : p ⊇ I} Nếu M R−mơđun hữu hạn sinh Supp M = Var(ann(M )), ann(M ) = (0 :R M ) Rõ ràng ta có Supp(R/I) = Var(I) Mệnh đề 1.1.4 Giả sử M R-môđun khác p phần tử tối đại tập iđêan linh hóa tử phần tử 6= x ∈ M Khi p iđêan nguyên tố Do p ∈ Ass M Hệ 1.1.5 Nếu R vành Noether M R-mơđun khác 0, tồn iđêan ngun tố liên kết M Do trường hợp Ass M 6= ∅ M 6= Hệ 1.1.6 Nếu R vành Noether M R-môđun Noether khác Khi tồn chuỗi mơđun = Mr ⊆ Mr−1 ⊆ ⊆ M2 ⊆ M1 = M cho môđun thương Mi /Mi+1 đẳng cấu với R/pi pi iđêan nguyên tố R Định nghĩa 1.1.7 Cho M R-môđun Phần tử x ∈ R gọi ước không M tồn 6= m ∈ M cho xm = Tập tất ước khơng M kí hiệu ZdvR (M ) Mệnh đề 1.1.8 Cho R vành Noether, M R-mơđun khác Khi tập ước không M hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M Nói cách khác, ta có [ ZdvR (M ) = p p∈Ass M Mệnh đề 1.1.9 Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh, N R-mơđun Khi AssR (HomR (M, N )) = Ass(N ) ∩ Supp(M ) c ... 1.6 Môđun I -cofinite 13 Về tính chất cofinite tính chất khơng triệt tiêu mơđun đối đồng điều địa phương 14 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương vành đầy đủ 14 2.2 Môđun. .. HỌC SƯ PHẠM LÊ THÁI SƠN VỀ TÍNH CHẤT COFINITE VÀ TÍNH CHẤT KHƠNG TRIỆT TIÊU CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn... p -cofinite; (ii) Hmt−1 (M ) Artin; (iii) (Hpt−1 (M ))p = 13 c Chương Về tính chất cofinite tính chất khơng triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương Chương trình bày tính chất cofinite mơđun đối