Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN TẦN VỀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN CỠ LỚN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA H[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN TẦN VỀ MỘT SỐ THUẬT TỐN TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN CỠ LỚN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN TẦN VỀ MỘT SỐ THUẬT TỐN TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN CỠ LỚN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhắc lại sơ lược kiến thức đại số tuyến tính 1.1.1 Tầm quan trọng giá trị riêng 1.1.2 Một số khái niêm ký hiệu 1.1.3 Bài toán giá trị riêng Không gian Krylov 12 1.2 Một số phương pháp tìm giá trị riêng 15 2.1 Phương pháp luỹ thừa 15 2.1.1 Lặp đơn vectơ 15 2.1.2 Trường hợp đối xứng 17 2.1.3 Lặp nghịch đảo vectơ 18 2.1.4 Tính giá trị riêng bậc cao 20 Phương pháp Arnoldi 21 2.2.1 Cơ sở trực giao cho không gian Krylov 21 2.2.2 Phương pháp Arnoldi tính giá trị riêng 23 Phương pháp Lanczos 24 2.2 2.3 Ví dụ số 3.1 27 Một vài giải thích cho phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos 27 c ii 3.2 3.1.1 Thuật toán QR 28 3.1.2 Thuật toán Chia để Trị Cuppen 29 Ví dụ số 34 3.2.1 Phương pháp Arnoldi 34 3.2.2 Phương pháp Lanczos 36 3.2.3 Nhận xét 37 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 c iii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Thanh Sơn, người thầy tận tình bảo, hướng dẫn suốt thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học khóa Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, truyền thụ mang đến cho tơi kiến thức bổ ích khoa học sống Tôi xin cảm ơn động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, Ban chuyên môn, Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Trung Ngạn - Ân Thi, Hưng Yên dành cho tơi q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Vũ Văn Tần Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên c Mở đầu Giá trị riêng đóng phần quan trọng ứng dụng đại số tuyến tính, tốn điển hình nhiều lĩnh vực lý thuyết ứng dụng thực tế Những phương pháp giải trực tiếp cho kết xác làm với tốn cỡ nhỏ, không đáp ứng ứng dụng thực tế Với tốn có kích thước lớn phương pháp không khả thi giá trị riêng phải tính phương tiện khác May mắn thay có tồn số kỹ thuật khác để tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận Những phương pháp này, phương pháp lặp, làm việc cách liên tục cải tiến xấp xỉ giá trị riêng, chấm dứt xấp xỉ đạt mức độ phù hợp xác Các phương pháp lặp cho kết gần đáp ứng nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt ma trận cỡ lớn Nó hình thành sở nhiều đại tính tốn giá trị riêng ngày Luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày "Về số thuật tốn tính giá trị riêng ma trận cỡ lớn" Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại sơ lược kiến thức đại số tuyến tính số khái niệm ký hiệu, toán giá trị riêng không gian Krylov Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị riêng Nội dung chương nhằm trình bày phương pháp lũy thừa, phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos Chương 3: Ví dụ số Chương trình bày vài giải thích cho phương pháp Arnoldi phương pháp Lanczos thuật toán QR bản, thuật toán chia để trị c Cuppen, cuối số ví dụ số Kết làm việc chúng tơi chạy thuật toán biết MATLAB với ma trận lớn đươc lấy từ thực tiễn Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, với thời gian hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đánh giá, phê bình để luận văn hồn chỉnh nhiều ý nghĩa Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2015 Vũ Văn Tần Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 01/2014 - 01/2016 Chun ngành Tốn ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: vuvantanntn@gmail.com c Chương Kiến thức chuẩn bị Chương viết dựa tài liệu tham khảo [1], [3], [4] 1.1 1.1.1 Nhắc lại sơ lược kiến thức đại số tuyến tính Tầm quan trọng giá trị riêng Trong vật lý, giá trị riêng thường gắn với dao động Các đối tượng dây đàn, trống, cầu, dao động tần số định Và số tình chúng dao động nhiều đến mức bị phá hủy Ngày 07 tháng 11 năm 1940, cầu Tacoma Narrows, Washington, Hoa Kỳ bị sập sau khai trương gần nửa năm Gió mạnh kích thích cầu q nhiều khiến cầu bị sụp đổ Một vài năm trước cầu Thiên niên kỷ London bắt đầu lắc lư bị đóng cửa Đây ví dụ bật cấu trúc dao động Nhưng giá trị riêng xuất nhiều nơi khác Điện trường cyclotrones, hình thức đặc biệt máy gia tốc hạt có dao động cách xác để đẩy nhanh tiến độ hạt tích điện quay trịn quanh tâm Các giải pháp phương trình Schrodinger từ vật lý lượng tử hóa học lượng tử có giải pháp tương ứng với dao động mơ hình phân tử Các giá trị riêng tương ứng với mức lượng mà phân tử chiếm Nhiều giá trị đặc trưng khoa học giá trị riêng Xét dao động dây dịch chuyển vị trí x, < x < L, thời gian t ký hiệu u(x, t) Chúng ta có phương trình vi phân có dạng ∂ 2u ∂ ∂u − ρ(x) + p(x) + q(x)u(x, t) = 0, ∂t ∂x ∂x c (1.1) với u(0, t) = u(1, t) = Ở ρ(x) đóng vai trị mật độ khối lượng, p(x) modul đàn hồi khác địa phương Từ vật lý biết ρ(x) > p(x) > với x Để đơn giản giả sử ρ(x) = Để tìm u (1.1) chúng tơi phân tích (1.2) u(x, t) = v(t)w(x), v hàm mà phụ thuộc vào thời gian t, w phụ thuộc vào biến không gian x Với phân tích (1.1) trở thành v”(t)w(x) − v(t)(p(x)w0 (x))0 − q(x)v(t)w(x) = (1.3) Bây rút biến phụ thuộc vào t theo biến phụ thuộc vào x v 00 (t) = (p(x)w0 (x))0 + q(x) v(t) w(x) Chúng tơi thay đổi t x độc lập với mà không cần thay đổi giá trị vế phương trình Do đó, vế phương trình phải giá trị không đổi, biểu thị giá trị λ Như vậy, từ vế trái có phương trình −v 00 (t) = λv(t) √ √ Phương trình có nghiệm v(t) = a cos( λt) + b sin( λt) với giả sử λ > Vế bên phải (1.3) cho ta toán − (p(x)w0 (x))0 + q(x)w(x) = λw(x), w(0) = w(1) = (1.4) Một giá trị λ thuộc (1.4) có nghiệm không tầm thường (tức khác không) gọi giá trị riêng, w hàm riêng tương ứng Tất giá trị riêng (1.4) dương Bằng phân tích (1.2) chúng tơi nhận √ √ u(x, t) = w(x)[a cos( λt) + b sin( λt)] nghiệm (1.1) Ta thấy (1.4) có vơ số giá trị riêng thực dương < λ1 < λ2 < < λk , (λk → ∞ k → ∞), nghiệm khác không w(x) (1.4) c cho ta giá trị đặc biệt λk Vì vậy, nghiệm chung (1.1) có dạng u(x, t) = ∞ X p p wk (x)[ak cos( λk t) + bk sin( λk t)] k=0 Các hệ số ak bk xác định điều kiện ban đầu kết thúc Chúng giả sử u(x, 0) = ∞ X ak wk (x) = u0 (x), k=0 ∂u (x, 0) = ∂t ∞ p X λk bk wk (x) = u1 (x) k=0 Ở u0 u1 hàm cho Các wk tạo thành sở trực giao không gian hàm khả tích vng L2 (0, 1) Vì khơng khó khăn để tính tốn hệ số ak bk Ta thấy tốn khó giải tốn giá trị riêng (1.4) Phương trình (1.4) giải phân tích tình đặc biệt, chẳng hạn tất hệ số số Nói chung phương pháp số cần thiết để giải vấn đề toán (1.4) Để giải tốn (1.4) chúng tơi xấp xỉ w(x) giá trị điểm rời rạc xi = ih, h = 1/(n + 1), i = 1, , n Tại thời điểm xi xấp xỉ đạo hàm điểm khác biệt hữu hạn Đầu tiên viết g(xi+ ) − g(xi− ) d 2 g(xi ) ≈ dx h Cho g = p dw nhận dx g(xi+ ) = p(xi+ ) 2 w(xi+1 ) − w(xi ) h cuối cùng, cho i = 1, , n, dw w(xi+1 ) − w(xi ) w(xi ) − w(xi−1 ) d − p (xi ) ≈ − p(xi+ ) − p(xi− ) 2 dx dx h h h = [p(xi− )wi−1 + (p(xi− ) + p(xi+ ))wi + p(xi+ )wi+1 ] 2 2 h Lưu ý điểm cuối khoảng w0 = wn+1 = Chúng thu thập tất phương trình phương trình ma trận c ... NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN TẦN VỀ MỘT SỐ THUẬT TỐN TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN CỠ LỚN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... Chương Một số phương pháp tìm giá trị riêng Như biết giá trị riêng ma trận nghiệm phương trình đặc trưng, ý tưởng đơn giản để tìm giá trị riêng giải phương trình đặc trưng Một ma trận cỡ n ×... tựa tam giác Các khối chéo Rii ma trận × × Một khối × tương ứng với giá trị riêng thực, khối × tương ứng với cặp giá trị riêng phức liên hợp Ví dụ ma trận α β , α, β ∈ R có giá trị riêng