ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THƠM VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG VỚI BỘI 5 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THƠM VỀ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THƠM VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG VỚI BỘI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THƠM VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG VỚI BỘI Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2020 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với luận văn trước Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 Học viên PHẠM THỊ THƠM Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG i c Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thị Dung, giảng viên Trường Đại học Nông Lâm- Đại học Thái Ngun Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong suốt q trình làm luận văn, Cô dành nhiều thời gian công sức để bảo hướng dẫn từ điều nhỏ nhặt tới vấn đề khó khăn Cơ ln kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tơi để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Ngun, ngày 10 tháng năm 2020 Học viên PHẠM THỊ THƠM ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số Frobenius tập Apéry 1.2 Phân loại nửa nhóm số 1.2.1 Nửa nhóm số đối xứng 1.2.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 10 1.2.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 12 Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 18 2.1 Đặc trưng nửa nhóm số hầu đối xứng bội 18 2.2 Iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số hầu đối xứng bội 25 2.2.1 Vành nửa nhóm số 25 2.2.2 Đặc trưng iđêan định nghĩa vành nửa nhóm hầu đối xứng bội Tài liệu tham khảo 28 36 iii c Mở đầu Cho nửa nhóm số H = hn1 , , nr i = {c1 n1 + c2 n2 + + cr nr | ci ∈ Z} hữu hạn sinh số nguyên dương {n1 , , nr } Khi ta nói r chiều nhúng, n1 bội H với kí hiệu tương ứng emb(H) e(H) Tập khoảng trống tập G(H) = N \ H số g(H) =| G(H) | gọi giống H Số Frobenius, ký hiệu F(H), số nguyên lớn không thuộc H Số nguyên x giả Frobenius x ∈ / H x + h ∈ H, với h ∈ H \ {0} tập tất số giả Frobenius H ký hiệu PF(H), số phần tử tập PF(H) gọi kiểu H, ký hiệu t(H) Trong lý thuyết nửa nhóm số, có ba lớp quan trọng quan tâm nghiên cứu nhiều nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng hầu đối xứng Cho trước nửa nhóm số bất kỳ, việc xác định xem chúng thuộc loại toán phức tạp Nhiều tác giả nghiên cứu nửa nhóm số với chiều nhúng việc phân loại nửa nhóm số giả đối xứng với chiều nhúng mô tả tường minh [5], [13] Ta có phân loại tất nửa nhóm số hầu đối xứng có chiều nhúng với bội 4, nghĩa nửa nhóm số có dạng H = ha, b, c, di với a Nếu a = t(H) = H hầu đối xứng sau thay đổi biến ta có b = 2α + β + 1, c = 2β + 2, d = 2α + 3β − 1, α số nguyên dương β số nguyên dương chẵn (xem [12, Định lý 2.6] [14]) Trường hợp nửa nhóm số hầu đối xứng có chiều nhúng với bội a = 5, nghĩa nửa nhóm số có dạng H = h5, b, c, di, nhờ cơng trình H Nari, T Numata and K Wanatabe [14], ta tính tường minh số b, c, d (sau hoán vị cần thiết) thỏa mãn điều kiện định thu nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng Cho k trường Khi vành nửa nhóm số k[H] liên kết với H đại số c vành đa thức k[t] sinh đơn thức t ni , hay k[H] = k[t n1 , ,t nr ] Cho R := k[x1 , , xr ] vành đa thức r biến k, đặt I = IH hạt nhân toàn cấu tự nhiên ϕ : R → S := k[H] định nghĩa ϕ(xi ) = t ni , với i r Nếu ta xem R S vành phân bậc S0 = R0 = k, degt = deg xi = ni , với i r với phân bậc này, I iđêan sinh nhị thức gọi iđêan định nghĩa H vành S ⊂ k[t] có biểu diễn thương R/I Vành nửa nhóm số xem cầu nối Số học Đại số, nhiều tính chất nửa nhóm số phản ánh tính chất đại số vành nửa nhóm liên kết với chúng Đặc biệt, có nhiều nghiên cứu tính chất đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng H thông qua số phần tử sinh iđêan định nghĩa I (xem [4], [7], [8], [12], [13], ) Ký hiệu µ(I) số phần tử sinh I Khi chiều nhúng r = 3, J Herzog [8] đưa đặc trưng đầy đủ iđêan định nghĩa I ơng chứng minh µ(I) Khi r = H nửa nhóm giả đối xứng, iđêan định nghĩa I mô tả chi tiết H Bresinsky [4] với kết µ(I) Mục đích luận văn tìm hiểu nửa nhóm số hầu đối xứng với bội chiều nhúng Các kết chương viết dựa theo báo H Nari, T Numata and K Wanatabe [14] Cấu trúc luận văn gồm hai chương Chương dành để nhắc lại kết số Frobenius, giả Frobenius, tập Apéry mối liên hệ khái niệm Trong chương 1, việc phân loại thành lớp nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng chứa đặc trưng chúng đưa chứng minh chi tiết Chương chứng minh lại kết H Nari, T Numata and K Watanabe báo [14] Mục dành để chứng minh chi tiết đặc trưng nửa nhóm số có bội chiều nhúng Kết Mục hệ Mục 1, tính tường minh iđêan định nghĩa I vành nửa nhóm số k[H], qua tính µ(I) = H giả đối xứng µ(I) = H hầu đối xứng với t(H) = Phần kết luận luận văn tổng kết số công việc thực c Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số Frobenius tập Apéry Ký hiệu Z N tương ứng tập số nguyên số ngun khơng âm Ta nói tập H ⊂ N nửa nhóm ∈ H H + H ⊆ H Cho H nửa nhóm N Nếu tồn số r > n1 < < nr ∈ N cho H = Nn1 + + Nnr = {k1 n1 + + kn nr |ki ∈ N} ta nói H sinh n1 , , nr Ta nói H sinh tối thiểu n1 , , nr tập thực tập {n1 , , nr } khơng sinh H Khi ta nói emb(H) = r chiều nhúng, e(H) = n1 bội H, tập khoảng trống G(H) = N \ H số g(H) =| G(H) | giống H Khi ta ký hiệu H = hn1 , , nr i N \ H tập hữu hạn ta nói H nửa nhóm số Ta có kết sau Định lý 1.1.1 Cho r > H = hn1 , , nr i Khi gcd(n1 , , nr ) = N \ H tập hữu hạn Chứng minh Giả sử N \ H tập hữu hạn Ta đặt gcd(n1 , , nr ) = d Khi số thuộc tập H chia hết cho d nên d > số tự nhiên có dạng kd + 1, với k ∈ N, không thuộc tập H, dẫn đến N \ H tập vô hạn, suy mâu thuẫn Vậy d = Ngược lại, giả sử r = 2, tức H = hn1 , n2 i gcd(n1 , n2 ) = • Trường hợp n1 = n2 = H = {k1 n1 + k2 n2 |ki ∈ N} = N Do N \ H = 0/ tập hữu hạn • Trường hợp n1 > n2 > Theo định lý Bezout, tồn số nguyên tố c s1 , s2 cho s1 n1 + s2 n2 = Ta giả sử s1 > s2 < Cho k > số nguyên đủ lớn, ta viết k = qn2 + t, ≤ t < n2 , k = qn2 + t(s1 n1 + s2 n2 ) = ts1 n1 + (q + ts2 )n2 Vì k đủ lớn nên ta có (q + ts2 ) > 0, kéo theo k ∈ H Do N \ H tập hữu hạn Lập luận tương tự với trường hợp r > Từ Định lý 1.1.1, ta thấy H = hn1 , , nr i nửa nhóm số gcd(n1 , , nr ) = Ta nhắc lại số định nghĩa tính chất sở số Frobenius, giả Frobenius tập Apéry (xem [1], [3]) Định nghĩa 1.1.2 (i) Số Frobenius, ký hiệu F(H), số ngun lớn khơng thuộc H (ii) Ta nói số nguyên x giả Frobenius x ∈ / H x + h ∈ H, với h ∈ H \ {0} Ta ký hiệu PF(H) tập số giả Frobenius H PF(H) = {x ∈ / H | x + h ∈ H, ∀ 6= h ∈ H} = {x ∈ / H | x + ni ∈ H, ∀i = 1, , r} (iii) Kiểu H, ký hiệu t(H), số phần tử tập PF(H) (iv) Cho n 6= phần tử thuộc H Tập Apéry ứng với n H tập Ap(H, n) = {h ∈ H | h − n ∈ / H} Chú ý 1.1.3 (i) F(H) số lớn tập PF(H) Thật vậy, giả sử ngược lại F(H) ∈ / PF(H) Khi tồn h ∈ H \ {0} cho F(H) + h ∈ / H Nhưng điều mâu thuẫn với tính cực đại định nghĩa số F(H) Do F(H) số lớn tập PF(H) (ii) Cho 6H quan hệ hai xác định H sau: với d, d ∈ Z, ta viết d 6H d d − d ∈ H Khi (Z, ≤H ) tập thứ tự phần PF(H) tập gồm phần tử cực đại Z \ H theo quan hệ ≤H (iii) Với nửa nhóm số H, ta ký hiệu tập g − H = {F(H) − h | h ∈ H} Khi H g − H khơng giao F(H) − h ∈ g − H, F(H) − h ∈ H (F(H) − h) + h = F(H) ∈ H, vô lý (xem [5]) (iv) Số Frobenius số thuộc hai tập PF(H) tập g − H Thật vậy, theo ý (i), ta có F(H) số lớn thuộc tập PF(H) Mặt khác, ta có c F(H) = F(H) − ∈ g − H Lấy phần tử x ∈ g − H x 6= F(H), tồn < h ∈ H cho x = F(H) − h Do ta có x + h = F(H) ∈ / H, suy x∈ / PF(H) (xem [5]) Ví dụ 1.1.4 (1) Cho nửa nhóm H = h5, 6i Khi ta F(H) = 19, PF(H) = 19 = {F(H)} t(H) = G(H) = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 19} g(H) = 10 Tập g − H = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 19} Ta thấy G(H) = g − H F(H) ∈ PF(H) F(H) ∈ g − H Tập Apéry Ap(H, 5) = {0, 6, 12, 18, 24} x∈H x∈ /H ↓ ↓ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2) Cho H = h4, 7, 9i Khi F(H) = 10, PF(H) = {5, 10} ⊃ {F(H)} nên t(H) = tập khoảng trống G(H) = {1, 2, 3, 5, 6, 10} g(H) = Ta thấy tập g − H = {1, 2, 3, 6, 10}, F(H) ∈ PF(H) F(H) thuộc g − H Tập Apéry Ap(H, 4) = {0, 7, 9, 14} x∈H x∈ /H ↓ ↓ 10 11 12 13 14 15 (3) Cho H = h5, 9, 11, 17i Khi F(H) = 13, PF(H) = {6, 12, 13} nên t(H) = G(H) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 13}, g(H) = Ta tìm tập g − H = {2, 3, 4, 8, 13} Rõ ràng F(H) = 13 thuộc hai tập PF(H) c ... Nửa nhóm số hầu đối xứng 12 Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 18 2.1 Đặc trưng nửa nhóm số hầu đối xứng bội 18 2.2 Iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số hầu đối xứng bội 25. .. cứu nửa nhóm số với chiều nhúng việc phân loại nửa nhóm số giả đối xứng với chiều nhúng mô tả tường minh [5] , [13] Ta có phân loại tất nửa nhóm số hầu đối xứng có chiều nhúng với bội 4, nghĩa nửa. .. đối xứng 1.2.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng Khái niệm nửa nhóm số hầu đối xứng định nghĩa Barucci Froberg [3] Mục nhắc lại số kết [3], [12], [14] 12 c Định nghĩa 1.2.7 Một nửa nhóm số H gọi hầu đối