Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGU[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán h khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2020 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng i c Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tụy Cô giáo, GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dạy bảo, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tơi suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chƣơng Kiểu đa thức môđun 1.1 Chiều độ sâu môđun 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 1.3 Vành môđun Cohen – Macaulay 11 1.4 Kiểu đa thức môđun 20 Chƣơng Kiểu đa thức dãy môđun 29 2.1 Lọc chiều môđun 29 2.2 Vành môđun Cohen – Macaulay dãy 34 2.3 Kiểu đa thức dãy môđun 38 2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ địa phương hóa 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii c Mở đầu Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d Ta ln có dimR (M ) ≥ depthR (M ) Nếu dimR (M ) = depthR (M ) ta nói M Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm Đại số giao hoán xuất nhiều lĩnh vực khác Tốn học Lớp mơđun đặc trưng thông qua lý thuyết quen biết địa phương hóa, đầy đủ hóa, số bội, đối đồng điều địa phương Để phân loại cấu trúc môđun hữu hạn sinh vành địa phương, N T Cuong [3] năm 1992 giới thiệu khái niệm kiểu đa thức môđun M , ký hiệu p(M ), thông qua hiệu số độ dài số bội ứng với lũy thừa phần tử hệ tham số M Nếu ta quy ước bậc đa thức −1 M Cohen-Macaulay p(M ) = −1 Khi M không Cohen-Macaulay, p(M ) xem khoảng cách từ M đến lớp môđun Cohen-Macaulay Theo nghĩa đó, p(M ) lớn cấu trúc M xa với cấu trúc môđun Cohen-Macaulay Một tính chất quan trọng mơđun Cohen-Macaulay tính chất không trộn lẫn Cụ thể, M Cohen-Macaulay dim(R/p) = d với p ∈ AssR (M ) Để nghiên cứu môđun trộn lẫn M , người ta xét đến lọc chiều M , dãy mơđun {Di }, D0 = M Di môđun lớn M có chiều nhỏ dimR (Di−1 ) với i ≥ Ta nói M Cohen-Macaulay dãy thương Di−1 /Di CohenMacaulay Rõ ràng môđun M Cohen-Macaulay M môđun Cohen-Macaulay dãy ⊂ M lọc chiều M Khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu giới thiệu R Stanley năm 1996 cho môđun hữu hạn sinh phân bậc, sau nghiên cứu P Schenzel [10] N T Cuong, L.T Nhan [4] cho trường hợp môđun hữu hạn sinh vành địa phương Để mở rộng khái niệm kiểu đa thức cách tự nhiên, năm 2016, L T Nhan, T D Dung T D M Chau [8] định nghĩa kiểu đa thức dãy M , ký hiệu sp(M ), số lớn kiểu đa thức p(Di−1 /Di ) Rõ ràng, M Cohen-Macaulay dãy sp(M ) = −1 Khi M không Cohen-Macaulay dãy, sp(M ) xem khoảng cách từ môđun M đến lớp môđun Cohen-Macaulay dãy Mục đích luận văn nghiên cứu kiểu đa thức dãy môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết số kết báo [8]: A measure of non-sequential c Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468 (2016), 275-295 Để tiện theo dõi đối sánh, luận văn trình bày chi tiết kết kiểu đa thức báo N T Cuong [3] Trong suốt luận văn, bên cạnh khái niệm kết quả, tác giả luận văn đưa nhiều ví dụ minh họa cụ thể Luận văn gồm chương Chương trình bày kiểu đa thức môđun Trong tiết đầu Chương 1, nhắc lại kiến thức cần thiết chiều, độ sâu, môđun đối đồng điều địa phương Tiết 1.4 dành để làm rõ cấu trúc môđun Cohen-Macaulay môđun liên quan Tiết 1.5 giới thiệu khái niệm kiểu đa thức kết biết kiểu đa thức báo N T Cuong [3] Chương nội dung luận văn, trình bày kiểu đa thức dãy môđun Tiết 2.1 bàn lọc chiều môđun Tiết 2.2 trình bày khái niệm mơđun Cohen-Macaulay dãy tính chất mơđun Tiết 2.3 giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy kết kiểu đa thức dãy báo [8] c Chương Kiểu đa thức môđun Mục tiêu chương trình bày khái niệm kiểu đa thức môđun giới thiệu N T Cuong [3] tính chất kiểu đa thức mối liên hệ với chiều đồng điều địa phương mơđun 1.1 Chiều độ sâu mơđun Trong suốt tiết này, cho R vành giao hoán Noether M R-môđun hữu hạn sinh Để tiện theo dõi, trước trình bày khái niệm vành mơđun Cohen-Macaulay, nhắc lại số khái niệm tính chất chiều, độ sâu Khái niệm chiều Krull sau định nghĩa cho vành giao hoán Noether môđun hữu hạn sinh vành giao hốn Noether (khơng thiết vành địa phương) Đặt AnnR (M ) = {x ∈ R | xM = 0} Khi AnnR (M ) iđêan R Định nghĩa 1.1.1 Một dãy iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn R, pi 6= pi+1 với i, gọi dãy nguyên tố độ dài n Chiều Krull R (gọi tắt chiều R), ký hiệu dim(R), cận độ dài dãy nguyên tố R Chiều môđun M , ký hiệu dimR (M ), định nghĩa chiều vành R/ AnnR (M ) Vành Z số ngun có chiều iđêan nguyên tố vành pZ với p số nguyên tố Vành Z12 có chiều vành có hai iđêan ngun tố (cũng tối đại), 2Z12 3Z12 c Chú ý vành giao hốn Noether có chiều vơ hạn Chẳng hạn, cho T = k[x1 , · · · , xn , · · · ] vành đa thức vô hạn biến trường k Gọi m1 , · · · , mn , · · · dãy số nguyên dương cho mi − mi−1 < mi+1 − mi với i Gọi pi iđêan nguyên tố T sinh biến xj với mj ≤ j ≤ mj+1 Gọi S giao phần bù tất pi , tức T S = (R \ pi ) Khi vành địa phương hóa TS vành giao hốn Noether i∈N có chiều vơ hạn (theo Ví dụ 1, phần Phụ lục A1, sách Vành địa phương M Nagata) Vành Noether địa phương ln có chiều hữu hạn (xem Hệ 1.3.7) Vì chiều mơđun hữu hạn sinh vành địa phương số hữu hạn Với iđêan I R, ta kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Vì M hữu hạn sinh nên ta có SuppR (M ) = VarR (AnnR (M )) Do R vành Noether nên ta có SuppR (M ) = AssR (M ) (theo [7, Định lý 6.5]) Vì AssR (M ) = Var(AnnR (M )) Do chiều mơđun M tính thơng qua chiều iđêan nguyên tố liên kết sau dimR (M ) = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR (M )} c M Tiếp theo mối liên hệ chiều M đầy đủ m-adic M Nhắc lại họ R-môđun {mn M }n=1,2, M làm thành sở lân cận M Cơ sở xác định M tơpơ gọi tơpơ tuyến tính m-adic sinh họ {mn M }n=1,2, Khi M trang bị tơpơ, ta định nghĩa dãy Cauchy M tương tự tập số thực sau Một dãy phần tử (xn ) M gọi dãy Cauchy với N ∈ N, tồn n(N ) ∈ N thỏa mãn xn+1 − xn ∈ mN M, với n ≥ n(N ) Ta nói hai dãy (xn ), (yn ) phần tử M tương đương, kí hiệu (xn ) ∼ (yn ), với N ∈ N, tồn n(N ) ∈ N thỏa mãn xn − yn ∈ mn M với n ≥ n(N ) Ký hiệu X tập dãy Cauchy M Dễ dàng kiểm tra quan hệ ∼ quan hệ tương đương X c := X/ ∼ đầy đủ m-adic M Trên M c, với Ta gọi tập thương M c, với r ∈ R, ta định nghĩa hai phép toán sau (xn ), (yn ) ∈ M (xn ) + (yn ) = (xn + yn ), r.(xn ) = (r.xn ) c có cấu trúc R-môđun Nếu Dễ dàng kiểm tra với hai phép toán M b gọi vành đầy đủ m-adic R Hơn nữa, M c R bM = R R c c dimR (M ) = dim b (M c), môđun Khi mối liên hệ chiều M M R xem [7] Ví dụ 1.1.2 Cho k trường Ký hiệu R1 := k[x1 , · · · , xd ] vành đa thức R2 := k[[x1 , · · · , xd ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức d biến trường k Chú ý R1 không vành địa phương, R2 vành địa phương với iđêan cực đại (x1 , · · · , xd ) R2 vành đầy đủ vành địa phương (R1 )(x1 ,··· ,xd ) Khi ta có dim(R1 ) = dim(R2 ) = d dim(Z[x1 , · · · , xd ]) = d + (theo [7, Định lý 15.4]) Ta có dim(R2 ) = dim(R1 )(x1 ,··· ,xd ) = d Với d ≥ 3, M = R2 /(x1 , x22 ) ∩ (x53 ) AssR2 (M ) = {(x1 , x2 ), (x3 )} Vì dimR2 (M ) = max{dim(R2 /(x1 , x2 )), dim(R2 /(x3 ))} = d − Định nghĩa 1.1.3 Một phần tử x ∈ R gọi ước môđun M tồn m ∈ M , m 6= cho xm = Một dãy phần tử x1 , · · · , xt vành R gọi M -dãy quy có độ dài t M 6= (x1 , · · · , xt )M xi không ước môđun M/(x1 , · · · , xi−1 )M Chú ý (R, m) vành địa phương, hốn vị M -dãy quy M -dãy quy (điều khơng cịn vành sở không vành địa phương), xem [7] Cho R := k[[x, y, z]] vành chuỗi lũy thừa hình thức với k trường Khi x, y, z R-dãy quy, dãy x, x + y, y khơng dãy quy y ước R/(x, x + y) = R/(x, y) Trong trường hợp đơn giản, ta dùng định nghĩa để kiểm tra dãy phần tử có dãy quy Trong trường hợp tổng quát, ta biết tập ước M hợp iđêan nguyên tố liên kết M , điều hỗ trợ cho việc xem xét dãy phần tử có quy hay khơng Ví dụ sau minh họa điều c ... sp(M ) xem khoảng cách từ mô? ?un M đến lớp mô? ?un Cohen-Macaulay dãy Mục đích luận văn nghiên cứu kiểu đa thức dãy mô? ?un hữu hạn sinh vành Noether địa phương Trong luận văn này, trình bày chi tiết... Chƣơng Kiểu đa thức mô? ?un 1.1 Chiều độ sâu mô? ?un 1.2 Mô? ?un đối đồng điều địa phương 1.3 Vành mô? ?un Cohen – Macaulay 11 1.4 Kiểu đa thức mô? ?un ... Chƣơng Kiểu đa thức dãy mô? ?un 29 2.1 Lọc chiều mô? ?un 29 2.2 Vành mô? ?un Cohen – Macaulay dãy 34 2.3 Kiểu đa thức dãy mô? ?un 38 2.4 Kiểu đa thức dãy