��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M ����������������� MA THÀ NHUNG V� H�M PH�N H�NH f ′P ′(f ) V� g′P ′(g) CHUNG NHAU MËT H�M NHÄ LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n N«m 2015 c ��I HÅC TH�I N[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM MA THÀ NHUNG V HM PH N HNH f 0P 0(f ) V g 0P 0(g) CHUNG NHAU MËT HM NHÄ LUN VN THC S TON HC ThĂi Nguyản - Nôm 2015 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM MA THÀ NHUNG V HM PH N HNH f 0P 0(f ) V g 0P 0(g) CHUNG NHAU MËT HM NH Chuyản ngnh: GII TCH M số: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc PGS.TS H TRN PHìèNG ThĂi Nguyản - Nôm 2015 c i Líi cam oan Tỉi xin cam oan r¬ng nëi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trũng lp vợi cĂc à ti khĂc  cỉng bè ð Vi»t Nam Tỉi cơng xin cam oan rơng mồi sỹ giúp ù cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát Luên vôn Ma Th Nhung XĂc nhên XĂc nhên cừa trững khoa chuyản mổn cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc PGS.TS H TrƯn Phữỡng c ii Lới cÊm ỡn hon thnh ữủc luên vôn, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS H TrƯn Phữỡng (Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản) Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn LÂnh Ôo o tÔo, c biằt l cĂc thƯy cổ trỹc tiáp quÊn lỵ Ôo tÔo sau Ôi hồc, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K21 (2013- 2015) Trữớng Ôi hồc Sữ PhÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc Tæi xin gûi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! ThĂi nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát Luên vôn Ma Th Nhung c iii Mửc lửc Lới cam oan i Líi c£m ìn ii Mưc lưc iii M Ưu 1 Mởt số tẵnh chĐt và phƠn bố giĂ tr cừa hm phƠn hẳnh 1.1 CĂc h m Nevanlinna 1.1.1 Hm ám v tẵnh chĐt 1.1.2 Hai ành lỵ cỡ bÊn Mởt số tẵnh chĐt cừa hm phƠn hẳnh vợi Ôo hm 1.2.1 Trữớng hủp a thực chựa hm phƠn hẳnh vợi Ôo h m 1.2.2 Bê · ch¼a khâa 1.2 11 VĐn à nhĐt a thực chựa Ôo hm chung mët h m nhä 21 2.1 21 X¡c ành nhĐt hm phƠn hẳnh l Q 2.1.1 Tr÷íng hđp P = b(x − a1 )n (x − )ki i=2 c 21 iv 2.1.2 Tr÷íng hđp P = b(x − a1 ) n l Q (x − ) 31 i=2 2.2 XĂc nh nhĐt hm nguyản l Q n (x − )ki 2.2.1 Tr÷íng hđp P = b(x − a1 ) 36 36 i=1 2.2.2 Tr÷íng hñp P = b(x − a1 )n l Q (x − ) 42 i=1 Kát luên 46 Ti liằu tham khÊo 47 c Mð ¦u Mët ùng dưng quan trång cừa Lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr Nevanlinna l nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa mởt hm phƠn hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn Nôm 1926, R Nevanlinna ữủc chựng tọ mởt hm phƠn hẳnh trản mt phng phực C ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt bi Ênh ngữủc khổng tẵnh cừa phƠn biằt cĂc giĂ tr Cổng trẳnh ny cừa ặng ữủc xem l nguỗn cho cĂc vĐn à nghiản cựu và têp xĂc nh nhĐt Và sau, viằc nghiản cựu sỹ xĂc nh cĂc hm phƠn hẳnh bi Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn phƯn tỷ  thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc Nôm 1976, F.Gross ([8])  t cƠu họi: "tỗn tÔi mởt têp hủp hỳu hÔn S , iÃu kiằn E(S, f ) = E(S, f ) k²o theo f ≡ g ?" N«m 1995, H.X Yi ([14]) tr£ líi c¥u tr£ líi c¥u họi cừa Gross trữớng hủp hm nguyản v nôm 1998, G Frank v M.Reinders ([6])  nghiản cựu trữớng hủp hm phƠn hẳnh Trong thỹc tá, cƠu họi cõa Gross câ thº ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau: kh¯ng nh tỗn tÔi hay khổng a thực P cho vợi bĐt cự cp hm phƠn hẳnh khĂc hơng f v g ta câ f ≡ g n¸u P (f ) v P (g) chung mët gi¡ trà mët giĂ tr CM? Mởt cĂch tỹ nhiản, ta ữa cƠu họi sau: tỗn tÔi hay khổng a thực chựa Ôo hm P cho vợi bĐt cự cp hm phƠn hẳnh khĂc hơng f v g ta cõ f ≡ g n¸u P (f ) v P (g) chung mët gi¡ trà CM? ¢ câ mët sè cỉng trẳnh cổng bố theo hữợng nghiản cựu ny Chng hÔn nôm 2001, M L Fang and W Hong ([7])  chùng minh: Cho f v g l hai h m ph¥n hẳnh siảu viằt, n 11 l mởt số nguyản dữỡng Náu f n(f 1)f v gn(g 1)g0 chung gi¡ trà kº c£ bëi th¼ f = g N«m 2004, W C Lin v H X Yi ([12]) chùng minh: Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh siảu viằt, n 13 l mởt số nguyản dữỡng c Náu f n(f 1)2f v gn(g − 1)2g0 chung z kº cÊ thẳ f = g Vợi mong muốn tẳm hiu vĐn à hm phƠn hẳnh ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt bi iÃu kiằn Ôi số cõ chựa Ôo hm chúng tổi chồn à ti Và hm phƠn h¼nh f P (f ) v g P (g) chung mët h m nhä Möc ẵch chẵnh cừa luên vôn l trẳnh by mởt số kát quÊ ữủc cổng bố vo nôm 2013 bi K Boussaf, A Escassut v J Ojeda [2] Luên vôn ny gỗm cõ hai chữỡng nhữ sau: Chữỡng 1: Mởt số kián thực cỡ bÊn lỵ thuyát Nevanlinna Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr Nevanlinna cho cĂc hm phƠn hẳnh, chựng minh mởt số bờ · sû dưng vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ chẵnh Chữỡng Chữỡng 2: VĐn à nhĐt a thực chựa Ôo hm chung mởt hm nhọ Ơy l chữỡng chẵnh cừa luên vôn, chúng tổi trẳnh by lÔi mởt số kát quÊ nguyản cựu cừa K Boussaf, A Escassut v J Ojeda v· i·u ki»n Ôi số cừa a thực chựa Ôo hm hai hm phƠn hẳnh l bơng c Chữỡng Mởt số tẵnh chĐt và phƠn bố giĂ tr cừa hm phƠn hẳnh 1.1 CĂc hm Nevanlinna 1.1.1 Hm ám v tẵnh chĐt thuên tiằn cho viằc theo dói cĂc vĐn à trẳnh by luên vôn, trữợc hát chúng tổi nhưc lÔi mởt số khĂi niằm lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cừa Nevanlinna CĂc kián thực ny cõ th tẳm thĐy nhiÃu ti liằu, chng hÔn [2] Cho f l mởt hm phƠn hẳnh tr¶n DR = {z ∈ C : |z| ≤ R} v mët sè thüc r > 0, â < R ≤ ∞ v < r < R ành ngh¾a 1.1.1 H m m(r, f ) = 2π l Z 2π log+ |f (reiϕ )|dϕ h m x§p x¿ cõa h m f Ta k½ hi»u n(r, f ) l sè cüc iºm kº c£ bëi, n(r, f ) l sè cüc iºm ph¥n bi»t cõa h m f Dr Vợi mởt số nguyản dữỡng , kẵ hi»u n[∆] (r, f ) l sè cüc iºm bëi ch°n bði ∆ cõa h m f (tùc l cüc iºm k > ch ữủc tẵnh lƯn têng n[∆] (r, f )) Dr c H m Z r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r, N (r, f ) = t nh nghắa 1.1.2 hm ám k c£ bëi cõa h m f c¡c cüc iºm) H m ÷đc gåi l Z N (r, f ) = ÷đc gồi l hm ám tÔi n(t, f ) n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t h m ¸m khỉng kº bëi H m r Z N[∆] (r, f ) = ÷đc gåi l r (cán ÷đc gåi l n[∆] (t, f ) − n[∆] (0, f ) dt + n[∆] (0, f ) log r t h m ¸m bëi ch°n bði ∆, â n(0, f ) = lim n(t, f ); t→0 n(0, f ) = lim n(t, f ); n[∆] (0, f ) = lim n[∆] (t, f ) Sè ∆ N[∆] (r, f ) t→0 ÷đc gåi l t→0 ch¿ sè bëi ch°n Ta k½ hi»u Z(r, f ) = N (r, 1/f ); ành ngh¾a 1.1.3 Z(r, f ) = N (r, 1/f ); Z[∆] (r, f ) = N[∆] (r, 1/f ) H m T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) gåi l h m °c tr÷ng cõa h m f C¡c h m N (r, f ), m(r, f ), T (r, f ) ÷đc gåi chung l c¡c h m Nevanlinna C¡c bê · sau ¥y l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm Nevanlinna: c ... (tữỡng ựng n ≥ deg(Q) + 2) N¸u P (f )f = P (g)g th¼ P (f ) = P (g) Bê · 1.2.2 °t k = deg(Q) V¼ P (f )f = P (g)g , nản tỗn tÔi c C cho P (f ) = P (g) + c Gi£ sû rơng c 6= 0, theo nh lỵ 1.1.6... TR×ÍNG I HÅC S× PHM MA THÀ NHUNG V HM PH N HNH f 0P 0(f ) V g 0P 0(g) CHUNG NHAU MËT HM NHÄ Chuyản ngnh: GII TCH M số: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn... P (f )) ≤ (k + 1)T (r, f ) + O(1) Ta công câ Z(r, P (f ) − c) = Z(r, P (g)) ≤ Z(r, g) + Z(r, Q(g)) ≤ T (r, g) + T (r, Q(g)) Theo Bê · 1.1.2, ta câ Z(r, P (f ) − c) ≤ (k + 1)T (r, g) + O(1) c