Luận văn thạc sĩ về bất đẳng thức loại gruss và một số bài toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  PHẠM THÀNH CÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THÀNH CÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THÀNH CÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 c Mục lục Mở đầu Chương Về bt ng thc Gră uss 1.1 Mt s kin thc chuẩn bị 1.1.1 Hàm số, biến phõn v bin 1.1.2 Bt ng thc Hăolder 1.2 V bt ng thc Gră uss 1.3 Một số bất đẳng thức liên quan 1.3.1 Bất đẳng thức Karamata 1.3.2 Bất đẳng thức Steffensen 1.3.3 Bất đẳng thức Young phân toàn phần Chương Về bất đẳng thức loại Gră uss v mt s kt qu liờn quan 2.1 Bt ng thc Gră uss-Chebyshev 2.2 Bt ng thc loi Gră uss i với tích phân Stieltjes 2.2.1 Bt ng thc loi Gră uss i vi tớch phân Stieltjes có hàm lấy tích phân bị chặn 2.2.2 Bất đẳng thức loại Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes cú hm ly tích phân hàm Lipschitz 2.3 Bất đẳng thức loi Gră uss i vi tớch phõn Riemann-Stieltjes 3 10 10 13 15 17 17 19 19 27 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 c Mở đầu Chủ để “bất đẳng thức” chủ đề khai thác kỳ thi chọn học sinh giỏi, lớp, cấp phổ thơng, khơng phải tính trực quan toán “so sánh” mà vấn đề thực có nhiều ứng dụng tốn học đại Bài tốn bất đẳng thức nghiên cứu nhiều khía cạnh toán học, từ toán học lý thuyết túy đến toán học ứng dụng Cùng với phát triển cơng nghệ thơng tin, tốn giải gần quan tâm nhiều nhà tốn học ứng dụng, mà bên cạnh khơng thể thiếu toán “so sánh” Cùng với vai trò bất đẳng thức bất đẳng thức AM – GM, Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz ., nm 1935 nh toỏn hc ngi c G Gră uss chứng minh bất đẳng thức tích phân cho liên hệ tích phân tích hai hàm số tích phân hàm số mang tên ơng bất đẳng thức Gră uss ng dng v ỏp dng nhiu lnh vực khác Tốn học Vì lý chọn đề tài luận văn “Bất ng thc loi Gră uss v mt s bi toỏn liên quan” Nội dung luận văn chia thành hai chương tham khảo từ tài liệu [2] tài liệu liên quan trình bày danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, chia làm hai chương: Chương Về bất đẳng thc Gră uss Chng ny trỡnh by li cỏc kin thức liên quan đến luận văn như: Trình bày lại số khái niệm hàm số biến phân, biến phân tồn phân tính chất Bất ng thc Hăolder Bt ng thc Gră uss, ch iu kin yu hn gi thit Gră uss Mt s bất đẳng thức liên quan Karamta, Steffensen, Young Chương V bt ng thc loi Gră uss v mt số kết liên quan c Chương trình by cỏc bin th ca bt ng thc Gră uss, chng hn nh: Bt ng thc Gră uss-Chebyshev Bt ng thc kiu Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes cú hàm lấy tích phân bị chặn Bất đẳng thức kiểu Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes cú hm ly tớch phõn l hm Lipschitz Bt ng thc kiu Gră uss tích phân Riemann-Stieltjes Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học khoa học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường THCS Tân Liên, Vĩnh Bảo, Hải Phịng tồn thể anh chị em đồng nghiệp tạo nhiều điều kiện tốt cho tác giả thời gian học cao học; cám ơn anh chị em học viên lớp cao học Toán K11 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS Trần Xuân Quý ln quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp cao học Tốn K11 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ, anh chị em gia đình Xin chân thành cám ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 12 năm 2019 Học viên Phạm Thành Công c Chương Về bất đẳng thc Gră uss Trong chng ny, chỳng tụi, trỡnh by số kiến thức khái niệm tính chất hàm số liên tục tuyệt đối, biến phân biến phõn ton phn ca hm s Bt ng thc Hăolder dạng đại số dạng giải tích, Bất đẳng thức Gră uss Cỏc kt qu ny c s dng cho chứng minh Chương 1.1 1.1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Hàm số, biến phân biến phân toàn phần Định nghĩa 1.1.1 (a) Hàm số f : [a, b] → R gọi liên tục tuyệt đối [a, b] với ε > tồn số dương δ thỏa mãn n X |f (xi ) − f (yi )| < ε, i=1 với họ hữu hạn khoảng rời {[xi , yi ] : i = 1, 2, , n} P [a, b] với ni=1 |xi − yi | < δ (b) Hàm số f : [a, b] → R gọi có biến phân bị chặn [a, b] tồn số M > thỏa mãn n X |f (xi ) − f (xi−1 )| M, i=1 với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] c (c) Nếu hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn [a, b], biến phân toàn phần f [a, b] xác định sau b _ (f ) = a  n X sup P={x0 ,x1 ,··· ,xn } phân hoạch của[a,b]  i=1   |f (xi ) − f (xi−1 ) | Nhận xét 1.1.2 Một hàm liên tục tuyệt đối [a, b] liên tục có biến phân bị chặn [a, b] Ví dụ 1.1.3 Nếu f : [a, b] → R hàm đơn điệu tăng với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] ta có n X n X |f (xi ) − f (xi−1 )| = i=1 {f (xi ) − f (xi−1 )} i=1 = f (xn ) − f (x0 ) = f (b) − f (a) Vì vậy, hàm f có biến phân bị chặn b _ (f ) = f (b) − f (a) a Ví dụ 1.1.4 Nếu hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) với sup |f (x)| > M , với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] a Nếu đặt u = xa , v = y b , p = (a + b)/a q = (a + b)/b, rõ ràng p > ta có bất đẳng thức sau 1 1 + = =⇒ uv up + v q p q p q (1.2) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Young Kết gọi l bt ng thc Hăolder nh lý 1.1.7 (Bt ng thc Hăolder) Cho hai b s a1 , a2 , , an 1 b1 , b2 , , bn hai n số thực dương p > 1, thỏa mãn + = p q Khi ta có bất đẳng thức sau n X i=1 b i  n 1 n q X  p X p  q  bi i=1 i=1 Dấu xảy api = kbqi với i ∈ {1, 2, , , n} c (1.3) Kết bt ng thc Hăolder dng gii tớch, chỳng tụi trình bày kết mà khơng chứng minh Định lý 1.1.8 (Bt ng thc Hăolder dng gii tớch) Gi sử p, q > thỏa 1 mãn + = 1, f g hai hàm số liên tục đoạn [a, b], p q Z b a Z b |f (x)g(x)| dx a p !1 |f (x)| dx p Z b a q !1 |g(x)| dx q (1.4) Dấu “=” xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho A |f (x)|p = B |g(x)|q 1.2 ∀x ∈ [a, b] Về bất ng thc Gră uss Gi s f, g v p hàm khả tích [a, b] Ta có ký hiệu sau P (x) = Z x a Rb A(f ; p) = P (x) = P (b) − P (x), p(t)dt, a ! p(x)f (x)dx Rb a ! A(f ) = A(f ; 1), , p(x)dx T (f, g; p) = A(f g; p) − A(f ; p)A(g; p), A(f ; p) R(f, g; p) = , A(f ; p)A(g; p) T (f, g) = T (f, g; 1), R(f, g) = R(f, g; 1), Giả sử f g hai hàm số xác định khả tích [a, b], thỏa mãn điều kiện ϕ f (x) φ, γ g(x) Γ (1.5) với x ∈ [a, b], ϕ, φ, γ, Γ số thực cho trước Năm 1935 G Gră uss ó a khng nh sau: |T (f, g)| (φ − ϕ)(Γ − γ), (1.6) bi bỏo cụng b nm 1935 Gră uss chứng minh bất đẳng thức ˇ 1/4 xấp xỉ tốt Hàm T (f, g) gọi hàm Cebyˇ sev c Định lý 1.2.1 Cho f, g : [a, b] → R hàm khả tích [a, b] thỏa mãn điều kiện γ g(x) Γ với x ∈ [a, b] φ f (x) Φ, (1.7) Khi ta có bất đẳng thức sau |T (f, g)| tương tự ta có đẳng thức (1.12) hàm g Theo giả thiết (1.7) ta có (f (x) − φ)(Φ − f (x)) > với x ∈ [a, b], Z b (f (x) − φ)(Φ − f (x))dx > a từ đẳng thức (1.12) suy Zb Zb f (x)dx − f (x)dx (1.13) b−a a b−a a ! ! Zb Zb ≤ Φ− f (x)dx f (x)dx − φ b−a a b−a a " ! !#2 Zb 1 Zb Φ− f (x)dx + f (x)dx − φ b−a a b−a a = (Φ − φ)2 ! đánh giá trên, ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc A+B !2 > AB Tương tự ta có (g(x) − g(y))2 dxdy (Γ − γ)2 a Z bZ b a (1.14) Sử dụng bất đẳng thức (1.10) kết hợp với bất đẳng thức (1.11) đánh giá (1.13) (1.14), ta thu Z Z b b (f (x) a a − f (y))(g(x) − g(y))dxdy (Φ − φ)(Γ − γ)(b − a)2 từ (1.9), ta suy (1.8) Để chứng minh số xấp xỉ tốt nhất, ta chọn hàm f, g : [a, b] → R, ! ! a+b a+b xác định sau f (x) = sgn x − , g(x) = sgn x − Khi 2 ta có Z b Z b Z b f (x)g(x)dx = 1, f (x)dx = g(x)dx = a a a Φ−φ=Γ−γ =2 ta nhận dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.8) c Nhận xét (a) Điều kiện (1.7) làm giảm với điều kiện yếu sau Z b a (f (x) − φ)(Φ − f (x))dx > 0, Z b a (Γ − g(x))(g(x) − γ)dx > (1.15) (b) Nếu ta xét hàm f (x) = (x − a)p , p > 0, ta thu bất đẳng thức moment hàm g: Z b ...  - PHẠM THÀNH CÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... Chương Về bt ng thc Gră uss 1.1 Mt s kin thc chuẩn bị 1.1.1 Hàm số, biến phõn v bin 1.1.2 Bt ng thc Hăolder 1.2 V bt ng thc Gră uss 1.3 Một số bất đẳng thức liên quan 1.3.1 Bất đẳng thức. .. hàm số tích phân hàm số mang tên ơng bất đẳng thức Gră uss ng dng v ỏp dng nhiu lnh vực khác Tốn học Vì lý chọn đề tài luận văn ? ?Bất ng thc loi Gră uss v mt s bi toỏn liên quan? ?? Nội dung luận văn