ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2016 c i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 1.1 Khơng gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa tính chất 3 1.1.2 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 11 16 1.2.1 1.2.2 Khái niệm ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Toán tử hiệu chỉnh 16 18 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov tốc độ hội tụ 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán đặt khơng chỉnh 22 phi tuyến với tốn tử nhiễu đơn điệu 2.1.1 Mô tả phương pháp hội tụ 22 23 2.1.2 Tốc độ hội tụ phương pháp Xấp xỉ hữu hạn chiều 27 29 2.2.1 Bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều 29 2.2.2 Tốc độ hội tụ 32 1.2 2.2 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 c ii Bảng ký hiệu R tập số thực H X không gian Hilbert thực không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C A tập đóng lồi H tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert dom(A) hx, yi miền hữu hiệu toán tử A tích vơ hướng hai vectơ x y kxk xn → x chuẩn vectơ x xn hội tụ mạnh đến x xn * x I xn hội tụ yếu đến x ánh xạ đơn vị c Mở đầu Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình tốn tử dạng: A(x) = f , (1) đây, A tốn tử đơn điệu từ khơng gian Hilbert thực X vào không gian Hilbert thực X, f phần tử X Nếu khơng có điều kiện đặc biệt đặt lên tốn tử A, chẳng hạn tính đơn điệu đơn điệu mạnh, tốn (1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh Trong tốn này, thay cho kiện xác {A, f } ta biết xấp xỉ {Ah , fδ } chúng Giả sử xδ nghiệm (1) với f thay fδ (giả thiết nghiệm tồn tại) Khi δ → fδ → f với tốn đặt khơng chỉnh xδ nói chung khơng hội tụ đến x0 -nghiệm xác tốn Có nhiều phương pháp khác để tìm lời giải cho tốn này, phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh tốn đặt khơng chỉnh (1) trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu khơng gian Hilbert: trình bày hội tụ phương pháp, nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trình bày ví dụ minh họa Nội dung đề tài viết hai chương Chương có tiêu đề "Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh" trình bày khái niệm khơng gian Hilbert thực số tính chất; giới thiệu tốn tử đơn điệu không gian Hilbert khái niệm phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh khơng gian Hilbert số ví dụ Chương có tiêu đề "Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov tốc độ hội tụ" trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho tốn đặt khơng chỉnh c phi tuyến trường hợp tốn tử nhiễu đơn điệu; trình bày tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh ví dụ số minh họa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K8B (khóa 2014–2016); Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8B (khóa 2014–2016) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Tác giả Lê Thị Thanh Tâm c Chương Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Chương giới thiệu khái niệm ví dụ phương trình tốn tử đặt không chỉnh Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu không gian Hilbert thực số tính chất khơng gian Hilbert; trình bày định nghĩa tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Mục 1.2 trình bày khái niệm ví dụ tốn đặt khơng chỉnh; nêu khái niệm tốn tử hiệu chỉnh ví dụ Các kiến thức chương viết sở tổng hợp tài liệu [1], [3] [4] 1.1 1.1.1 Khơng gian Hilbert Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi không gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X, ta gọi tổng x y, ký hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X, gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: (1) x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hoán); (2) (x + y) + z = x + (y + z) với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); (3) tồn phần tử không X, ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X; (4) với x ∈ X, tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x+(−x) = với x ∈ X; c (5) · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị); (6) α(β x) = (αβ )x, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (7) (α + β )x = αx + β x), với α, β ∈ R, với x ∈ X; (8) α(x + y) = αx + αy), với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng khơng gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu h., i, thỏa mãn điều kiện sau: (1) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; (2) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; (3) hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H α ∈ R; (4) hx, xi > x 6= hx, xi = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy (1) hx, αyi = αhy, xi với x, y ∈ H α ∈ R; (2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi (1.1) Chứng minh Với số thực α với x, y ∈ H ta có ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α hy, yi Từ suy ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ với c x, y ∈ H Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với x, y ∈ H Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.1.6 Khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định kxk = p hx, xi với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Chứng minh Thật vậy, từ điều kiện (4) Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > x 6= kxk = x = với x ∈ H Từ điều kiện (1) (3) Định nghĩa 1.1.2, ta suy kαxk = |α|.kxk với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn, ta có |hx, yi| ≤ kxk.kyk với x, y ∈ H (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi 2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk Suy kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Khơng gian n l = x = {xn }n ∈ R : ∞ o ∑ |xn| < +∞ n=1 c không gian Hilbert với tích vơ hướng ∞ hx, yi = x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l ∑ xnyn, n=1 chuẩn s p kxk = hx, xi = ∞ ∑ |xn |2 = ∞ 1 2 ∑ |xn| n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Không gian L2 [a, b] không gian Hilbert với tích vơ hướng Zb (x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] a chuẩn !1 Zb kxk = 2 |x(t)| dt a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b], xét tích vô hướng hx, yi = Z b x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] a Không gian C[a, b] với chuẩn kxk = Z b |x(t)| dt 1 a không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert H n→∞ n→∞ c 13 Ví dụ 1.1.25 Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , , ξk ) = (η1 , η2 , , ηm ) với k ηi = i = 1, 2, 3, , m, ∑ j ξ j (1.7) j=1 j số Ma trận a11 a1k am1 · · · amk ma trận toán tử A Thật vậy, (1.7) dạng tổng qt tốn tử tuyến tính từ Rk vào Rm Cho A toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm Gọi e1 , e2 , , ek f1 , f2 , , fk sở Rk Rm cho với x = (ξ1 , ξ2 , , ξk ) ∈ Rk , y = (η1 , η2 , , ηm ) ∈ Rm : k x= ∑ ξ je j j=1 m y = ∑ ηi fi i=1 với e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , ek = (0, 0, , 1), f1 = (1, 0, , 0), f2 = (0, 1, , 0), , fm = (0, 0, , 1) Vì A tốn tử tuyến tính nên k Ax = ∑ ξ j (Ae j ) j=1 Đặt Ax = (η1 , η2 , , ηm ) Ae j = (a1 j , a2 j , , am j ) ta có (1.7) c 14 Cho H không gian Hilbert thực, C tập H Định nghĩa 1.1.26 Tập C ⊂ H tập lồi với x1 , x2 ∈ C với số thực λ ∈ [0, 1] ta có λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ C Từ định nghĩa ta thấy tập 0/ tập lồi Định nghĩa 1.1.27 Hàm f : C → R gọi là: (i) lồi C với λ ∈ [0, 1], với x, y ∈ C f (λ x + (1 − λ ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ; (ii) lồi chặt C với λ ∈ (0, 1), với x, y ∈ C, x 6= y f (λ x + (1 − λ ) y) < λ f (x) + (1 − λ ) f (y) Định nghĩa 1.1.28 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: (i) L-liên tục Lipschitz C, tồn số L dương cho kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ C Nếu < L < A ánh xạ co, L = A ánh xạ khơng giãn; (ii) bị chặn Lipschitz C với tập bị chặn B C, A ánh xạ liên tục Lipschitz B Định nghĩa 1.1.29 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: (i) đơn điệu C, hA(x) − A(y), x − yi ≥ ∀x, y ∈ C; (ii) η-đơn điệu mạnh C, tồn số η dương cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 c ∀x, y ∈ C; 15 (iii) hemi-liên tục (hemicontinuous) C A(x + ty) * Ax t → với x, y ∈ C demi-liên tục (demicontinuous) C từ xn → x suy Axn * Ax n → ∞; (iv) C hAx, xi = +∞, kxk→+∞ kxk lim x ∈ C Sau kết lý thuyết toán tử đơn điệu dùng Chương Bổ đề 1.1.30 Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian đối ngẫu X, f ∈ X ∗ A : X → X ∗ tốn tử hemi-liên tục Khi đó, tồn x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức: hA(x) − f , x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X x0 nghiệm phương trình A(x) = f Nếu A tốn tử đơn điệu X điều kiện tương đương với hA(x0 ) − f , x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X Bổ đề 1.1.30 gọi bổ đề Minty, tên nhà toán học Mỹ, người chứng minh kết trường hợp khơng gian Hilbert Sau ơng Browder chứng minh cách độc lập cho không gian Banach Với tốn tử r : X → Y từ khơng gian Banach X vào không gian Banach Y , ta viết r(x) = o(kxk) với x → 0X , r(x)/kxk → x → 0X Kí hiệu L(X,Y ) tập tất toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y Định nghĩa 1.1.31 Cho A : X → Y tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y Toán tử A gọi khả vi Fréchet điểm x ∈ X, tồn T ∈ L(X,Y ) cho A(x + h) = A(x) + T h + r(h) c 16 kr(h)k khk→0 khk Trong đó, lim = Nếu tồn tại, T gọi đạo hàm Fréchet A x, ta viết A0 (x) = T 1.2 Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Trong mục này, ta xét phương trình tốn tử A(x) = f , (1.8) đây, A toán tử từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y , f phần tử thuộc Y 1.2.1 Khái niệm ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Định nghĩa 1.2.1 Bài toán (1.8) gọi tốn đặt chỉnh (well-posed) (i) phương trình A(x) = f có nghiệm với f ∈ Y ; (ii) nghiệm nhất; (iii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu A f Nếu điều kiện không thỏa mãn tốn (1.8) gọi tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) Xét phương trình tốn tử (1.8) với A ma trận vuông cấp M = xác định A= 1 1 1.0001 1 1.0001 1 1 1 1 vế phải c 1 1 1 1 1.0001 1 1.0001 1 1 1.0001 ... hiệu chỉnh Tikhonov tốc độ hội tụ" trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán đặt khơng chỉnh c phi tuyến trường hợp tốn tử nhiễu đơn điệu; trình bày tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh. .. - LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành :Tốn ứng dụng Mã... 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho tốn đặt khơng chỉnh 22 phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu 2.1.1 Mô tả phương pháp hội tụ 22 23 2.1.2 Tốc độ hội tụ phương pháp