ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MAI VỀ MỘT MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH COURNOT VỚI CƯỚC PHÍ LÕM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên Năm 2016 c 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MAI VỀ MỘT MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT VỚI CƯỚC PHÍ LÕM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MAI VỀ MỘT MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT VỚI CƯỚC PHÍ LÕM Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2016 c Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi, hàm lồi, hàm lõm 1.2 Cực trị hàm lồi 1.3 Toán tử đơn điệu 1.4 Bất đẳng thức biến phân 4 11 14 Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm 2.1 Mơ hình Nash - Cournot cổ điển 2.1.1 Khái niệm mơ hình 2.1.2 Chuyển mơ hình tốn quy hoạch hàm tồn phương lồi mạnh 2.2 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.1 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.2 Thuật giải 18 18 18 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 c 22 27 27 33 Lời mở đầu Mơ hình cân thị trường bán độc quyền A Cournot đưa vào năm 1838 nhiều tác giả giới tập chung nghiên cứu Mơ hình Cournot có vai trị quan trọng thực tiễn sống, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Một tiếp cận thường dùng mơ hình Cournot sử dụng khái niệm cân Nash Một hướng nghiên cứu quan trọng mơ hình giải tốn với mơ hình cước phí lõm Trong toán thực tế, số lượng hàng hóa sản xuất tăng lên cước phí để sản xuất đơn vị sản phẩm giảm Do cước phí lõm Nội dung luận văn trình bày cách tiếp cận mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm, nghiên cứu thuật tốn để tìm điểm cân mơ hình có cước phí lõm Bản luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương tìm hiểu kiến thức tập lồi, hàm lồi, hàm lõm, toán tử đơn điệu, cực trị hàm lồi Sau tìm hiểu bất đẳng thức biến phân Chương 2: Mô hình Nash - Cournot với cước phí lõm Giới thiệu mơ hình Nash - Cournot cổ điển cách chuyển mơ hình dạng tốn quy hoạch hàm tồn phương lồi mạnh Sau đó, nghiên cứu mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm giới thiệu phương pháp giải mơ hình trường hợp hàm chi phí lõm tuyến tính khúc Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin kính gửi lời cảm ơn tới tồn thể thầy tham gia giảng dạy khóa học cao học 2014 - 2016, người tâm huyết giảng dạy c MỤC LỤC trang bị cho kiến thức sở Xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập trường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K8A quan tâm, động viên, giúp đỡ thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 05 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Mai c Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương giới thiệu kiến thức tập lồi, hàm lồi, tốn tử đơn điệu Tiếp trình bày toán bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3], [7] Trong luận văn kí hiệu Rn khơng gian Euclide thực n chiều Một phần tử x = (x1 , , xn )T ∈ Rn vectơ cột Ta nhắc lại với hai véctơ x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn , hx, yi := n X xi yi , i=1 gọi tích vơ hướng hai vectơ Chuẩn Euclide phẩn tử x khoảng cách Euclide hai phẩn tử x, y định nghĩa sau: q kxk := hx, yi, d (x, y) := kx − yk 1.1 Tập lồi, hàm lồi, hàm lõm Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊂ Rn gọi tập lồi với ∀x, y ∈ C , ≤ λ ≤ 1, ta có: λx + (1 − λ) y ∈ C Một số ví dụ tập lồi: Các tập afin (các siêu phẳng), hình trịn, hình vng Tuy nhiên, hình vành khăn, đường trịn tập lồi Định nghĩa 1.2 Hàm f : Rn → R ∪ (+∞) gọi là: (i) Lồi C với λ ∈ (0, 1), x, y ∈ C ta có: f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) c Chương Kiến thức chuẩn bị (ii) Lồi chặt C λ ∈ (0, 1), x, y ∈ C , x 6= y ta có: f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) (iii) Lồi mạnh rên C với λ ∈ (0, 1), x, y ∈ C , tồn η ∈ R, η > ta có: f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) − λ (1 − λ) ηkx − yk2 (iv) Lõm C −f hàm lồi C Định nghĩa 1.3 Cho hàm bất kỳ: f : S → (−∞, +∞] với S ⊆ Rn , tập domf = {x ∈ S : f (x) < +∞} , epif = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≤ α} gọi miền hữu dụng tập lồi đồ thị hàm f Nếu domf 6= φ; f (x) > −∞ ∀x ∈ S ta nói f thường Nói cách khác f thường domf 6= φ Định lý 1.1 Hàm f (x), x ∈ Rn hàm lồi hàm biến số ϕ (λ) ≡ f (x + λd) hàm lồi theo λ với x, d ∈ Rn Chứng minh Ta thấy điều kiện cần rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử ϕ (λ) hàm lồi với x, d ∈ Rn Lấy x, y ∈ Rn đặt d = x − y Khi đó, với λ ∈ [0, 1] ta có: f ((1 − λ) x + λy) = f (x + λd) = ϕ (λ) = ϕ ((1 − λ) + λ.1) ≤ (1 − λ) ϕ (0) + λϕ (1) = (1 − λ) f (x) + λf (y) Định nghĩa 1.4 Một hàm a-phin hàm số có dạng f (x) = hc, xi + α c ∈ Rn , α ∈ R cho trước tùy ý Nếu f (x) hàm a-phin với x, y ∈ Rn số λ, β cho λ + β = ta có: f (λx + βy) = λf (x) + βf (y) Một hàm a-phin f (x) = hc, xi + α không lấy giá trị âm phải đồng với số (véctơ c phải 0), c 6= ta có: f (λx) = hc, xi + α → −∞, λ → −∞ c Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.5 Một tập M Rn gọi nón (mũi 0) x ∈ M, λ > λx ∈ M Nón M gọi nón lồi M tập lồi Điểm gốc thuộc khơng thuộc M Nón M khơng chứa đường thẳng gọi nón nhọn Trong trường hợp này, gốc gọi đỉnh M Mỗi nửa khơng gian (đóng hay mở) nón, khơng phải nón nhọn Định lý 1.2 Tập M Rn nón lồi có đỉnh gốc λM ⊂ M, ∀λ > M + M ⊂ M Nghĩa với x, y thuộc M với số λ > ta có x + y ∈ M λx ∈ M Chứng minh Nếu M nón lồi thì λM ⊂ M, ∀λ > theo định nghĩa nón Hơn nữa, lấy x, y ∈ M M lồi nên 21 (x + y) ∈ M , theo x + y ∈ M Vì M + M ⊂ M Ngược lại, có λM ⊂ M, ∀λ > M + M ⊂ M M nón với x, y ∈ M , λ ∈ [0, 1] ta có: (1 − λ) x ∈ M, λy ∈ M Từ đó, (1 − λ) x + λy ∈ M , nghĩa M tập lồi Tập M ∈ C nón lồi chứa tổ hợp tuyến tính khơng âm (cịn gọi tổ hợp nón) phần tử thuộc Nhận xét 1.1 * Có thể chứng minh hàm f lồi S khi: +) Tập đồthị epif tập lồi m m m P P P +) f λk xk ≤ λk f xk , ∀xk ∈ S, λk = 1, λk ≥ với k=1 k=1 k=1 k , m số nguyên ≥ ( Bất đẳng thức Jensen) * Hàm lồi f : S → (−∞, +∞] mở rộng thành lồi xác định tồn khơng gian Rn cách đặt f (x) = +∞ ∀x ∈ / S Vì vậy, để n đơn giản ta thường xét hàm lồi toàn R Định nghĩa 1.6 Bao đóng tập C, kí hiệu C giao tất tập đóng chứa C Định nghĩa 1.7 Một điểm a ∈ C gọi điểm tương đối C điểm C theo tơ-pơ cảm sinh af f C (tập a-phin nhỏ chứa C) Kí hiệu tập điểm tương đối C riC Theo định nghĩa ta có: riC := {a ∈ C|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} c Chương Kiến thức chuẩn bị B lân cận mở gốc Hiển nhiên riC = {a ∈ affC|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} Định lý 1.3 Bao đóng phần tương đối tập lồi tập lồi Chứng minh Giả sử C tập lồi a, b ∈ C Chẳng hạn a = lim xk , b = lim y k , xk , y k ∈ C với k Với k→∞ k→∞ k λ ∈ [0, 1] ta có: (1 − λ) x + λy k ∈ C Từ đó: (1 − λ) a + λb = lim (1 − λ) xk + λy k ∈ C k→∞ Như vậy, a, b ∈ C [a, b] ⊂ C chứng tỏ C lồi Bây giờ, giả sử a, b ∈ riC Khi tìm hình cầu B tâm O cho: (a + B) ∩ af f C (b + B) ∩ af f C nằm trọn C Với ∀x = (1 − λ) a + λb, λ ∈ [0, 1] , Ta có: (x + B) ∩ af f C = (1 − λ) (a + B) ∩ af f C + λ (b + B) ∩ af f C ⊂ C Như x ∈ riC , nghĩa riC lồi Tính chất 1.1 a) Giao họ tâp lồi tập lồi; b) Nếu C, D ∈ Rn tập lồi thì: C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D} , αC = {αx : x ∈ C, α ∈ R} , C − D = C + (−1) D c) Bao đóng tập hợp lồi tập lồi; d) Tập hợp tất tổ hợp lồi số hữu hạn điểm Rn tập hợp lồi Tập C ∈ Rn gọi lồi chặt với x, y ∈ C, x 6= y , điểm λx + (1 − λ) y với < λ < điểm C Mệnh đề 1.1 (i) Cho f g hàm lồi tập lồi A B, với A ∩ B 6= φ Khi đó, hàm (λf ) + (βg) lồi trên, với λ, β ≥ 0; (ii) Giới hạn theo điểm dãy hàm lồi hàm lồi Tức là: fi : C → R (i ∈ N ) dãy số {fi (x)} hội tụ với x ∈ C c Chương Kiến thức chuẩn bị hàm f (x) := lim fi (x) lồi C; i→∞ (iii) Nếu f : C → R lồi C hàm biến ϕ : I → R không giảm khoảng I, cho f (C) ⊆ I ,thì hàm hợp ϕ0 f lồi C 1.2 Cực trị hàm lồi Định nghĩa 1.8 Cho C ⊆ Rn khác rỗng f : Rn → (−∞, +∞] Một điểm x∗ ∈ C gọi cực tiểu địa phương f C tồn lân cận U x∗ cho: f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ U ∩ C; Điểm x∗ ∈ C gọi cực đại địa phương nếu: f (x) ≤ f (x∗ ) ∀x ∈ U ∩ C; Nếu f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C; x∗ gọi cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối f C Và nếu: f (x) ≤ f (x∗ ) ∀x ∈ C; x∗ gọi cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối f C Mệnh đề 1.2 Cho f : Rn → Rn ∪ {+∞} lồi Khi đó, điểm cực tiểu địa phương f tập lồi cực tiểu toàn cục Hơn tập hợp điểm cực tiểu f tập lồi Nếu f lồi chặt, điểm cực tiểu tồn Chứng minh Cho C ⊆ Rn Giả sử x∗ điểm cực tiểu địa phương f C Khi tồn lân cận U x∗ cho: f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ U ∩ C với x ∈ C , < λ < C lồi U lân cận x∗ ∈ C , nên điểm xλ := (1 − λ) x∗ + λx ∈ C ∩ U λ đủ nhỏ Do f (x∗ ) ≤ f (xλ ) f lồi, ta có: f (x∗ ) ≤ f (xλ ) ≤ (1 − λ) f (x∗ ) + λf (x) Từ suy ra: f (x∗ ) ≤ f (x) c ... phẩm giảm Do cước phí lõm Nội dung luận văn trình bày cách tiếp cận mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm, nghiên cứu thuật tốn để tìm điểm cân mơ hình có cước phí lõm Bản luận văn gồm hai... 2.2 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.1 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.2 Thuật giải 18 18 18 Kết luận 38 Tài liệu tham... thường dùng mô hình Cournot sử dụng khái niệm cân Nash Một hướng nghiên cứu quan trọng mô hình giải tốn với mơ hình cước phí lõm Trong tốn thực tế, số lượng hàng hóa sản xuất tăng lên cước phí để