ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NG[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Đào Quang Khải THÁI NGUYÊN - 2020 c Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Đào Quang Khải Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa công bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020 Tác giả Hoàng Thành Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Đào Quang Khải i c Lời cảm ơn Trong q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, TS Đào Quang Khải Tôi muốn gửi lời cảm ơn môn Giải tích, Khoa Tốn, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020 Tác giả Hoàng Thành ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm hàm suy rộng 1.1.1 Một số ký hiệu 1.1.2 không gian hàm D(Ω) không gian hàm suy rộng D0 (Ω) 1.1.3 Không gian hàm E(Ω) khơng gian hàm suy rộng có giá compact E (Ω) 1.1.4 Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) không gian hàm tăng chậm S (Rn ) 10 1.2 Tích chập 13 1.2.1 Tích chập hàm Lp (Rn ), ≤ p ≤ ∞ 13 1.2.2 Tích chập hàm suy rộng hàm 14 1.3 Phép biến đổi Fourier S(Rn ) S (Rn ) 14 1.4 Không gian Sobolev 17 1.4.1 Không gian Sobolev cấp nguyên không âm 17 1.4.2 Không gian Sobolev cấp thực 18 1.4.3 Không gian Sobolev 19 iii c 1.5 Một số khái niệm phương trình Navier-Stokes 20 1.5.1 Phương trình Navier-Stokes 20 1.5.2 Nghiệm yếu phương trình Navier-Stokes 22 1.5.3 Nghiệm mềm 25 Sự suy giảm L2 theo thời gian nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes 27 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Những lập luận hình thức 29 2.3 Sự suy giảm Nghiệm Leray-Hopf 36 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 48 iv c Lời mở đầu Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình Navier-Stokes quan trọng phương trình học chất lỏng dùng để mô tả chuyển động chất lỏng chất khí Chúng sử dụng để nghiên cứu thời tiết, thiết kế hình dáng động học máy bay, tơ, nghiên cứu chuyển động máu, phân tích nhiễm, dự báo thời tiết, dòng chảy đại dương nhiều vấn đề khoa học khác Phương trình Navier-Stokes nhận quan tâm lớn mặt tốn học t, chúng có vai trị đặc biệt quan trọng phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại Mặc dù lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trải qua phát triển to lớn kỷ 20 số vấn đề phương trình Navier-Stokes chưa giải quyết, tồn nghiệm dáng điệu nghiệm Cụ thể cho giá trị thời điểm ban đầu trơn phương trình Navier-Stokes có tiếp tục trơn theo tất thời gian sau không, câu hỏi nêu vào năm 1934 J Leray chưa có câu trả lời khẳng định phủ định Tính nghiệm yếu tốn vấn cịn câu hỏi mở Nội dung đề tài Mục đích đề tài nghiên cứu dáng điệu nghiệm toán Cauchy cho phương trình Navier-Stokes khơng nén khơng gian ba c chiều ut = ∆u − u · ∇u − ∇p + f ∇·u=0 u(x, 0) = u (x) f giả thiết tiến tới t → ∞ Luận văn trình bày vài kết nghiên cứu suy giảm nghiệm yếu Leray-Hopf L2 theo thời gian thời gian tiến vô cùng, dựa báo Maria Elena Schonbek [2] c Luận văn gồm lời mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Cụ thể là: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Sự suy giảm L2 nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes c Chương Kiến thức chuẩn bị Các mục 1.1, 1.2 1.3 chương chúng tơi tham khảo tài liệu [1], cịn mục 1.4 1.5 tham khảo tài liệu [3] [5] 1.1 Không gian hàm hàm suy rộng 1.1.1 Một số ký hiệu Cho Ω tập mở Rn ta định nghĩa sau: C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω)| supp u tập compact}, k ∞ ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), supp u = {x ∈ Ω|u(x) 6= 0} Ký hiệu: Lp (Ω) = {u : Ω → C|u đo được, R Ω |u(x)|p dx < ∞} với ≤ p < ∞ L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess sup |u(x)| < ∞} x∈Ω ... SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER- STOKES Chun ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học... 1.5 Một số khái niệm phương trình Navier- Stokes 20 1.5.1 Phương trình Navier- Stokes 20 1.5.2 Nghiệm yếu phương trình Navier- Stokes 22 1.5.3 Nghiệm mềm ... Sự suy giảm L2 theo thời gian nghiệm yếu cho phương trình Navier- Stokes 27 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Những lập luận hình thức 29 2.3 Sự suy