Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - 2016 c i Mục lục Lời nói đầu Lý thuyết p-nhóm 1.1 Nhóm, đồng cấu đẳng cấu nhóm 1.2 Nhóm giao hốn nhóm xyclic 1.3 Nhóm nhóm chuẩn tắc 1.4 1.5 1.6 Nhóm thương định lý đẳng cấu Tác động nhóm tập 12 Các p-nhóm p-nhóm Sylow Ứng dụng lý thuyết p-nhóm lý thuyết số 17 22 2.1 Bổ đề Burnside hệ 22 2.2 Định lý Fermat bé 25 2.3 Định lý Willson 27 2.4 Định lý Lucas 29 2.5 Định lý Fermat tổng hai bình phương 31 2.6 Luật tương hỗ bậc hai Về giá trị ký hiệu Legendre p2 −1 p 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 2.7 c 38 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết nhóm nói chung p-nhóm nói riêng có nhiều áp dụng Lý thuyết số Sở dĩ tập số nguyên Z với phép cộng nhóm giao hốn Thương nhóm (Z,+) cho nhóm vơ hạn sinh nhóm xyclic hữu hạn Trong nhóm thương nhóm Zp (hay Z/p Z) với p số ngun tố đóng vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết số Có thể đưa vào Zp phép tính nhân lớp đồng dư theo mođun p cách tự nhiên với phần tử đơn vị lớp đồng dư 1(mod p) lớp đồng dư khác 0(mod p) có nghịch đảo Zp Với hai phép tính cộng nhân định nghĩa, tập Zp trở thành trường hữu hạn với p phần tử, tập phần tử khác ký hiệu Z∗p Nhờ đặc điểm vừa nêu, tập Zp trở thành công cụ mạnh để chứng minh nhiều kiện tính chia hết Lý thuyết số Luận văn “p-nhóm ứng dụng lý thuyết số” gồm hai chương Chương I với tiêu đề Lý thuyết p-nhóm trình bày sơ lược Lý thuyết nhóm, khái niệm p-nhóm, tác dụng nhóm lên tập định lý p-nhóm Sylow Kết quan trọng chương công thức G-quỹ đạo G-tập, áp dụng nhiều chương II Chương II với tiêu đề Ứng dụng lý thuyết p-nhóm lý thuyết số trình bày chứng minh định lý: Fermat bé, Wilson, Lucas, Định lý Fermat tổng hai bình phương, ký hiệu Legendre luật tương hỗ bậc hai Định lý Fermat bé hệ Định lý Wilson sử dụng tất chứng minh định lý kể (trừ Định lý Lucas) Tác giả trình bày chứng minh Định lý Fermat bé dựa Bổ đề Burnside Khi áp dụng cơng thức bổ đề Burnside cho p-nhóm ta thu định lý Fermat bé Việc áp dụng tiến hành thông qua hệ Bổ đề Burnside (Mệnh đề 2.1.4) Chứng minh Định lý Lucas dựa công thức Ckpr = 0(mod p) ≤ k ≤ pr − 1, p số nguyên tố, r số nguyên dương khai triển nhị thức Newton trường đặc số p Công thức vừa nêu c chứng minh dựa công thức quỹ đạo áp dụng cho p-nhóm có cấp pr Tư liệu sử dụng luận văn trích từ tài liệu tham khảo [1-7] Tác giả xin chân thành cám ơn thầy cô thuộc Khoa Toán-Tin - Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, tận tụy thầy khóa cao học mà tác giả học viên Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn, T.S Hoàng Văn Hùng-giảng viên Đại học Hàng Hải Việt Nam, quan tâm thầy đến công việc tác giả suốt trình chuẩn bị luận văn Ngày, 29 tháng 05 năm 2016 Tác giả Trương Bá Vấn c Chương Lý thuyết p-nhóm 1.1 Nhóm, đồng cấu đẳng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.1: Một tập hợp khác rỗng G với luật hợp thành viết theo lối nhân gọi nhóm tính chất sau thỏa mãn: i) (ab)c = a(bc) với a, b, c ∈ G ; ii) ∃e ∈ G có tính chất: ae = ea = a với a ∈ G; iii) Với a ∈ G, tồn phần tử a ∈ G có tính chất: aa = a a = e Tính chất i) gọi tính chất kết hợp Phần tử e tính chất ii) gọi phần tử trung hòa G (khi luật hợp thành viết theo lối nhân ta gọi e phần tử đơn vị G, phần tử trung hòa nhóm với luật hợp thành viết theo lối cộng thường ký hiệu 0) Phần tử a tính chất iii) gọi phần tử nghịch đảo a luật hợp thành G viết theo lối nhân gọi phần tử đối a luật hợp thành G viết theo lối cộng Thêm nữa, với a ∈ G phần tử nghịch đảo (tương ứng, phần tử đối) ký hiệu a−1 (tương ứng,−a ) Các nhóm có số phần tử hữu hạn gọi nhóm hữu hạn Số phần tử nhóm G gọi cấp G, ký hiệu |G| c Ví dụ nhóm: Các tập sau với luật hợp thành nhóm: - Tập hợp số thực dương R+ với luật hợp thành phép nhân thông thường Phần tử đơn vị 1, nghịch đảo số dương x x−1 = x1 Ta ký hiệu nhóm (R+ , ) - Tập hợp số nguyên Z với luật hợp thành phép cộng thông thường Phần tử trung hòa số Phần tử đối số nguyên n số nguyên -n Ta ký hiệu nhóm ký hiệu (Z,+) - Tập hợp ma trận vng thực cấp n có định thức khác với luật hợp thành phép nhân ma trận Phần tử đơn vị ma trận đơn vị cấp n Nghịch đảo ma trận vuông A ma trận nghịch đảo A−1 Ta ký hiệu nhóm GL(n, R) -Tập hợp song ánh từ tập S khác rỗng tùy ý lên với luật hợp thành phép hợp ánh xạ nhóm gọi nhóm phép S, ký hiệu P(S) Phần tử đơn vị ánh xạ đồng Nghịch đảo song ánh f ánh xạ ngược f −1 Mỗi song ánh từ S lên gọi phép S Định nghĩa 1.1.2: Cho G G’ hai nhóm với luật hợp thành viết theo lối nhân Một ánh xạ h từ G vào G’ thỏa mãn tính chất: h(ab) = h(a)h(b)với a, b ∈G gọi đồng cấu nhóm từ G vào G’ Một đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời đơn ánh gọi đơn cấu; đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời tồn ánh gọi tồn cấu; đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời song ánh gọi c đẳng cấu Nếu có đẳng cấu nhóm từ G vào G’ nhóm G gọi đẳng cấu với nhóm G’, hay G G’ đẳng cấu với nhau, ký hiệu G≈G’ Nếu j đẳng cấu nhóm từ G lên G’ ánh xạ ngược j −1 đẳng cấu nhóm từ G’ lên G Nếu G nhóm hữu hạn G≈G’ G’ nhóm hữu hạn |G|=|G’| 1.2 Nhóm giao hốn nhóm xyclic Định nghĩa 1.2.1: Nhóm (G, ∗) gọi nhóm giao hốn (hay nhóm Abel) a∗b=b∗a với a,b∈G Các nhóm (R+ ,.), (Z,+), (R,+), nhóm giao hốn Nhóm GL(n, R) nhóm khơng giao hốn Nhóm P(S) khơng giao hốn S có từ phần tử trở lên Định nghĩa 1.2.2: Nhóm (G,.) gọi nhóm xyclic tồn phần tử a thuộc G cho b thuộc G tồn số nguyên k cho b = ak Phần tử a gọi phần tử sinh nhóm xyclic G - Nhóm (Z,+) nhóm xyclic với phần tử sinh - Đặt S= {1, −1} Luật hợp thành S phép nhân thông thường Khi (S,.) nhóm xyclic với phần tử đơn vị 1, phần tử sinh -1 - Giả sử d số nguyên dương > Với số nguyên r thỏa mãn ≤ r ≤ d-1 ta ký hiệu n = r(modd) có số nguyên k cho n = kd+r Như vậy, với số nguyên n ta có n = r( mod d) với số nguyên r thỏa mãn ≤ r ≤ d-1.Với hai số nguyên m, n cho, m − n = 0(modd) ta viết m = n(modd) nói m, n thuộc vào lớp đồng dư theo modun d Với số nguyên n c ta ký hiệu n tập tất số nguyên m thỏa mãn m = n( mod d) gọi n lớp đồng dư theo modun d Tập số nguyên Z phân hoạch thành d lớp đồng dư theo modun d 0, 1, , d − Một phần tử lớp đồng dư r gọi đại diện Ta có tính chất sau: i) m = n(mod d)&m0 = n0 (mod d) ⇒ m + m0 = n + n0 (mod d); ii) m = n(mod d)&m0 = n0 (mod d) ⇒ mm0 = nn0 (mod d) Ký hiệu Zd = 0, 1, , d − tập lớp đồng dư theo modun d Trên Zd ta định nghĩa hai phép tính cộng nhân theo quy tắc sau: r + s = r + s; r.s = rs Khi nhóm (Zd ,+)là nhóm xyclic với phần tử sinh 1, phần tử trung hịa Cấp nhóm (Zd ,+) d Ký hiệu Z∗d = 1, , d − , d số nguyên tố luật nhân định nghĩa luật hợp thành Z∗d , với luật hợp thành nhân Z∗d nhóm xyclic với phần tử đơn vị Chứng minh khẳng định (sẽ trình bày chương sau) ứng dụng lý thuyết p-nhóm 1.3 Nhóm nhóm chuẩn tắc Định nghĩa 1.3.1: Cho (G,∗) nhóm H tập khác rỗng G Nếu luật hợp thành ∗ thu hẹp H biến H thành nhóm H gọi nhóm G Mệnh đề 1.3.1: i) Để tập khác rỗng H nhóm (G,∗) nhóm G điều kiện cần đủ với phần tử a, b thuộc H ta có a ∗b thuộc H a−1 c thuộc H; ii) Giao họ tùy ý nhóm G nhóm G Ví dụ:- Nhóm (Z,+) nhóm nhóm (R,+) Nhóm (R+ , ) nhóm nhóm (R∗ , ), R∗ tập số thực khác Giả sử H nhóm nhóm G với luật hợp thành viết theo lối nhân, x phần tử G Tập tất phần tử G có dạng xy với y phần tử H ký hiệu xH gọi lớp ghép trái theo H G Hai lớp ghép trái theo H G trùng có giao rỗng Thực vậy, trước hết ta nhận xét u phần tử H uH=H Nếu xH x’H có phần tử chung z có phần tử y y’ thuộc H cho z = xy = x’y’ Suy x0 = xyy 0−1 = xu với u = yy 0−1 thuộc H x’H=(xu)H=x(uH)=xH Vậy G phân hoạch thành lớp ghép trái theo H G Dễ thấy ánh xạ xu → yu song ánh từ lớp ghép trái xH lên lớp ghép trái yH Do đó, G nhóm hữu hạn cấp G chia hết cho cấp nhóm H nó, nghĩa |G|:|H| số nguyên dương, hay |H| ước số |G| Lực lượng tập lớp ghép trái theo H G gọi số nhóm H G ký hiệu |G:H| Nếu |G| hữu hạn |G:H|=|G|:|H| hay |G|=|H| |G:H| Các lớp ghép phải theo H G định nghĩa tương tự G phân hoạch lớp ghép phải G Nếu H nhóm nhóm khơng giao hốn G xH Hx khác nhau, có song ánh từ tập lớp ghép trái theo H lên tập lớp ghép phải theo H cho tương ứng xH → Hx Định nghĩa 1.3.2: Nhóm H nhóm G với luật hợp thành viết theo lối nhân gọi nhóm chuẩn tắc G xH=Hx với x thuộc G Đẳng thức xH=Hx tương đương với xHx−1 = H Dùng mệnh đề 1.3.1 dễ chứng c ... để chứng minh nhiều kiện tính chia hết Lý thuyết số Luận văn ? ?p-nhóm ứng dụng lý thuyết số” gồm hai chương Chương I với tiêu đề Lý thuyết p-nhóm trình bày sơ lược Lý thuyết nhóm, khái niệm p-nhóm, ... KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên... tác dụng nhóm lên tập định lý p-nhóm Sylow Kết quan trọng chương công thức G-quỹ đạo G-tập, áp dụng nhiều chương II Chương II với tiêu đề Ứng dụng lý thuyết p-nhóm lý thuyết số trình bày chứng