(Luận văn thạc sĩ) p nhóm và ứng dụng trong lý thuyết số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG BÁ VẤN P-NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời nói đầu Lý thuyết p-nhóm 1.1 Nhóm, đồng cấu đẳng cấu nhóm 1.2 Nhóm giao hốn nhóm xyclic 1.3 Nhóm nhóm chuẩn tắc 1.4 1.5 1.6 Nhóm thương định lý đẳng cấu Tác động nhóm tập 12 Các p-nhóm p-nhóm Sylow Ứng dụng lý thuyết p-nhóm lý thuyết số 17 22 2.1 Bổ đề Burnside hệ 22 2.2 Định lý Fermat bé 25 2.3 Định lý Willson 27 2.4 Định lý Lucas 29 2.5 Định lý Fermat tổng hai bình phương 31 2.6 Luật tương hỗ bậc hai 33 2.7 Về giá trị ký hiệu Legendre 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 p −1 p LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết nhóm nói chung p-nhóm nói riêng có nhiều áp dụng Lý thuyết số Sở dĩ tập số nguyên Z với phép cộng nhóm giao hốn Thương nhóm (Z,+) cho nhóm vơ hạn sinh nhóm xyclic hữu hạn Trong nhóm thương nhóm Zp (hay Z/p Z) với p số ngun tố đóng vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết số Có thể đưa vào Zp phép tính nhân lớp đồng dư theo mođun p cách tự nhiên với phần tử đơn vị lớp đồng dư 1(mod p) lớp đồng dư khác 0(mod p) có nghịch đảo Zp Với hai phép tính cộng nhân định nghĩa, tập Zp trở thành trường hữu hạn với p phần tử, tập phần tử khác ký hiệu Z∗p Nhờ đặc điểm vừa nêu, tập Zp trở thành công cụ mạnh để chứng minh nhiều kiện tính chia hết Lý thuyết số Luận văn “p-nhóm ứng dụng lý thuyết số” gồm hai chương Chương I với tiêu đề Lý thuyết p-nhóm trình bày sơ lược Lý thuyết nhóm, khái niệm p-nhóm, tác dụng nhóm lên tập định lý p-nhóm Sylow Kết quan trọng chương công thức G-quỹ đạo G-tập, áp dụng nhiều chương II Chương II với tiêu đề Ứng dụng lý thuyết p-nhóm lý thuyết số trình bày chứng minh định lý: Fermat bé, Wilson, Lucas, Định lý Fermat tổng hai bình phương, ký hiệu Legendre luật tương hỗ bậc hai Định lý Fermat bé hệ Định lý Wilson sử dụng tất chứng minh định lý kể (trừ Định lý Lucas) Tác giả trình bày chứng minh Định lý Fermat bé dựa Bổ đề Burnside Khi áp dụng công thức bổ đề Burnside cho p-nhóm ta thu định lý Fermat bé Việc áp dụng tiến hành thông qua hệ Bổ đề Burnside (Mệnh đề 2.1.4) Chứng minh Định lý Lucas dựa công thức Ckpr = 0(mod p) ≤ k ≤ pr − 1, p số nguyên tố, r số nguyên dương khai triển nhị thức Newton trường đặc số p Công thức vừa nêu chứng minh dựa cơng thức quỹ đạo áp dụng cho p-nhóm có cấp pr Tư liệu sử dụng luận văn trích từ tài liệu tham khảo [1-7] Tác giả xin chân thành cám ơn thầy thuộc Khoa Tốn-Tin - Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, tận tụy thầy khóa cao học mà tác giả học viên Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn, T.S Hoàng Văn Hùng-giảng viên Đại học Hàng Hải Việt Nam, quan tâm thầy đến cơng việc tác giả suốt trình chuẩn bị luận văn Ngày, 29 tháng 05 năm 2016 Tác giả Trương Bá Vấn Chương Lý thuyết p-nhóm 1.1 Nhóm, đồng cấu đẳng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.1: Một tập hợp khác rỗng G với luật hợp thành viết theo lối nhân gọi nhóm tính chất sau thỏa mãn: i) (ab)c = a(bc) với a, b, c ∈ G ; ii) ∃e ∈ G có tính chất: ae = ea = a với a ∈ G; iii) Với a ∈ G, tồn phần tử a ′ ∈ G có tính chất: aa ′ = a ′ a = e Tính chất i) gọi tính chất kết hợp Phần tử e tính chất ii) gọi phần tử trung hòa G (khi luật hợp thành viết theo lối nhân ta gọi e phần tử đơn vị G, phần tử trung hịa nhóm với luật hợp thành viết theo lối cộng thường ký hiệu 0) Phần tử a ′ tính chất iii) gọi phần tử nghịch đảo a luật hợp thành G viết theo lối nhân gọi phần tử đối a luật hợp thành G viết theo lối cộng Thêm nữa, với a ∈ G phần tử nghịch đảo (tương ứng, phần tử đối) ký hiệu a−1 (tương ứng,−a ) Các nhóm có số phần tử hữu hạn gọi nhóm hữu hạn Số phần tử nhóm G gọi cấp G, ký hiệu |G| Ví dụ nhóm: Các tập sau với luật hợp thành nhóm: - Tập hợp số thực dương R+ với luật hợp thành phép nhân thông thường Phần tử đơn vị 1, nghịch đảo số dương x x−1 = x1 Ta ký hiệu nhóm (R+ , ) - Tập hợp số nguyên Z với luật hợp thành phép cộng thơng thường Phần tử trung hịa số Phần tử đối số nguyên n số nguyên -n Ta ký hiệu nhóm ký hiệu (Z,+) - Tập hợp ma trận vuông thực cấp n có định thức khác với luật hợp thành phép nhân ma trận Phần tử đơn vị ma trận đơn vị cấp n Nghịch đảo ma trận vuông A ma trận nghịch đảo A−1 Ta ký hiệu nhóm GL(n, R) -Tập hợp song ánh từ tập S khác rỗng tùy ý lên với luật hợp thành phép hợp ánh xạ nhóm gọi nhóm phép S, ký hiệu P(S) Phần tử đơn vị ánh xạ đồng Nghịch đảo song ánh f ánh xạ ngược f −1 Mỗi song ánh từ S lên gọi phép S Định nghĩa 1.1.2: Cho G G’ hai nhóm với luật hợp thành viết theo lối nhân Một ánh xạ h từ G vào G’ thỏa mãn tính chất: h(ab) = h(a)h(b)với a, b ∈G gọi đồng cấu nhóm từ G vào G’ Một đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời đơn ánh gọi đơn cấu; đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời toàn ánh gọi toàn cấu; đồng cấu nhóm từ G vào G’ đồng thời song ánh gọi đẳng cấu Nếu có đẳng cấu nhóm từ G vào G’ nhóm G gọi đẳng cấu với nhóm G’, hay G G’ đẳng cấu với nhau, ký hiệu G≈G’ Nếu j đẳng cấu nhóm từ G lên G’ ánh xạ ngược j −1 đẳng cấu nhóm từ G’ lên G Nếu G nhóm hữu hạn G≈G’ G’ nhóm hữu hạn |G|=|G’| 1.2 Nhóm giao hốn nhóm xyclic Định nghĩa 1.2.1: Nhóm (G, ∗) gọi nhóm giao hốn (hay nhóm Abel) a∗b=b∗a với a,b∈G Các nhóm (R+ ,.), (Z,+), (R,+), nhóm giao hốn Nhóm GL(n, R) nhóm khơng giao hốn Nhóm P(S) khơng giao hốn S có từ phần tử trở lên Định nghĩa 1.2.2: Nhóm (G,.) gọi nhóm xyclic tồn phần tử a thuộc G cho b thuộc G tồn số nguyên k cho b = ak Phần tử a gọi phần tử sinh nhóm xyclic G - Nhóm (Z,+) nhóm xyclic với phần tử sinh - Đặt S= {1, −1} Luật hợp thành S phép nhân thơng thường Khi (S,.) nhóm xyclic với phần tử đơn vị 1, phần tử sinh -1 - Giả sử d số nguyên dương > Với số nguyên r thỏa mãn ≤ r ≤ d-1 ta ký hiệu n = r(modd) có số nguyên k cho n = kd+r Như vậy, với số nguyên n ta có n = r( mod d) với số nguyên r thỏa mãn ≤ r ≤ d-1.Với hai số nguyên m, n cho, m − n = 0(modd) ta viết m = n(modd) nói m, n thuộc vào lớp đồng dư theo modun d Với số nguyên n ta ký hiệu n tập tất số nguyên m thỏa mãn m = n( mod d) gọi n lớp đồng dư theo modun d Tập số nguyên Z phân hoạch thành d lớp đồng dư theo modun d 0, 1, , d − Một phần tử lớp đồng dư r gọi đại diện Ta có tính chất sau: i) m = n(mod d)&m′ = n′ (mod d) ⇒ m + m′ = n + n′ (mod d); ii) m = n(mod d)&m′ = n′ (mod d) ⇒ mm′ = nn′ (mod d) Ký hiệu Zd = 0, 1, , d − tập lớp đồng dư theo modun d Trên Zd ta định nghĩa hai phép tính cộng nhân theo quy tắc sau: r + s = r + s; r.s = rs Khi nhóm (Zd ,+)là nhóm xyclic với phần tử sinh 1, phần tử trung hịa Cấp nhóm (Zd ,+) d Ký hiệu Z∗d = 1, , d − , d số nguyên tố luật nhân định nghĩa luật hợp thành Z∗d , với luật hợp thành nhân Z∗d nhóm xyclic với phần tử đơn vị Chứng minh khẳng định (sẽ trình bày chương sau) ứng dụng lý thuyết p-nhóm 1.3 Nhóm nhóm chuẩn tắc Định nghĩa 1.3.1: Cho (G,∗) nhóm H tập khác rỗng G Nếu luật hợp thành ∗ thu hẹp H biến H thành nhóm H gọi nhóm G Mệnh đề 1.3.1: i) Để tập khác rỗng H nhóm (G,∗) nhóm G điều kiện cần đủ với phần tử a, b thuộc H ta có a ∗b thuộc H a−1 thuộc H; ii) Giao họ tùy ý nhóm G nhóm G Ví dụ:- Nhóm (Z,+) nhóm nhóm (R,+) Nhóm (R+ , ) nhóm nhóm (R∗ , ), R∗ tập số thực khác Giả sử H nhóm nhóm G với luật hợp thành viết theo lối nhân, x phần tử G Tập tất phần tử G có dạng xy với y phần tử H ký hiệu xH gọi lớp ghép trái theo H G Hai lớp ghép trái theo H G trùng có giao rỗng Thực vậy, trước hết ta nhận xét u phần tử H uH=H Nếu xH x’H có phần tử chung z có phần tử y y’ thuộc H cho z = xy = x’y’ Suy x′ = xyy ′−1 = xu với u = yy ′−1 thuộc H x’H=(xu)H=x(uH)=xH Vậy G phân hoạch thành lớp ghép trái theo H G Dễ thấy ánh xạ xu → yu song ánh từ lớp ghép trái xH lên lớp ghép trái yH Do đó, G nhóm hữu hạn cấp G chia hết cho cấp nhóm H nó, nghĩa |G|:|H| số nguyên dương, hay |H| ước số |G| Lực lượng tập lớp ghép trái theo H G gọi số nhóm H G ký hiệu |G:H| Nếu |G| hữu hạn |G:H|=|G|:|H| hay |G|=|H| |G:H| Các lớp ghép phải theo H G định nghĩa tương tự G phân hoạch lớp ghép phải G Nếu H nhóm nhóm khơng giao hốn G xH Hx khác nhau, có song ánh từ tập lớp ghép trái theo H lên tập lớp ghép phải theo H cho tương ứng xH → Hx Định nghĩa 1.3.2: Nhóm H nhóm G với luật hợp thành viết theo lối nhân gọi nhóm chuẩn tắc G xH=Hx với x thuộc G Đẳng thức xH=Hx tương đương với xHx−1 = H Dùng mệnh đề 1.3.1 dễ chứng 27 viết theo lối nhân, a phần tử G có chu kỳ cực đại n Khi chu kỳ phần tử thuộc G ước số n Chứng minh Lấy phần tử b thuộc G Giả sử chu kỳ b m Vậy m≤n Nếu m=n m=1 ( tức b=e) khẳng định chứng minh Giả sử < m < n Nếu n khơng chia hết cho m tồn số nguyên tố p cho có biểu diễn: m = pr m′ , n = ps n′ , m’ n’ số ngun dương khơng s chia hết cho p; r, s số nguyên 0≤s < r Phần tử ap có chu kỳ n’, phần tử s bm có chu kỳ pr Vì n’ pr nguyên tố nên phần tử ap bm có chu kỳ ′ ′ pr n′ > ps n′ = n, mâu thuẫn với tính cực đại n Mệnh đề 2.2.4: Với số nguyên tố p nhóm nhân Z∗p nhóm xyclic Chứng minh Ta sử dụng kiện phương trình đa thức bậc n≥1 với hệ số thuộc trường F khơng thể có q n nghiệm F Ký hiệu phần tử Z∗p k với ≤ k ≤ p-1 Giả sử n chu kỳ cực đại phần tử thuộc Z∗p Vì cấp Z∗p p-1 nên ta phải có n ước p-1, n≤p-1 (*) Xét phương trình đa thức xn = 1(modp) trường F = (Zp , +, ) Phương trình khơng thể có q n nghiệm (Zp , +, ) Theo mệnh đề 2.2.3 chu kỳ n phần tử k thuộc Z∗p ước n Vậy k = 1(modp) với k thỏa mãn 1≤ k≤p-1 Vậy phương trình xn = 1(modp) có khơng p-1 nghiệm F = (Zp , +, ) Vậy p-1≤n (**) Kết hợp (*) (**) ta suy n = p-1 Nghĩa là, Z∗p có phần tử có chu kỳ p-1 Do Z∗p nhóm xyclic 2.3 Định lý Willson Định lý 2.3.1(Wilson): Nếu p số nguyên tố (p-1)!= -1(mod p) 28 Chứng minh Định lý rõ ràng với p =2 Giả sử p>2 số nguyên tố Theo mệnh đề 2.2.4 nhóm Z∗p nhóm xyclic Giả sử k số nguyên thỏa mãn 1≤k ≤ p-1 k lớp đồng dư theo mođun p sinh Z∗p ( nghĩa chu kỳ k p-1) Khi lũy thừa k k, k , , k p−1 p-1 đại diện khác lớp đồng dư Z∗p Bởi ta có: k 1+2+ +(p−1) = (p − 1)!(modp) ⇔ k (p−1)p/2 = (p − 1)!(modp) Theo định lý Fermat bé, k p = k(modp) Do k (p−1)p/2 = k (p−1)/2 (modp) Vậy ta có: k (p−1)/2 = (p − 1)!(modp) (2.5) Lại theo định lý Fermat bé ta có k p−1 − chia hết cho p Vì p số nguyên tố lẻ nên từ suy (k (p−1)/2 − 1)(k (p−1)/2 + 1) chia hết cho p Nhưng chu kỳ k p-1 nên k (p−1)/2 − không chia hết cho p Do p số nguyên tố nên từ suy k (p−1)/2 + chia hết cho p, hay: k p−1 = −1(modp) (2.6) Từ (2.5), (2.6) suy (p-1)! = -1(mod p)(điều phải chứng minh) Đẳng thức (p-1)! = -1(mod p) điều kiện đủ để số nguyên dương lẻ p số nguyên tố Cụ thể ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3.2: Nếu p số nguyên dương lẻ thỏa mãn (p-1)! = -1(mod p) p số nguyên tố Chứng minh Giả sử trái lại p hợp số Khi p phải có ước số nguyên tố lẻ nhỏ p, chẳng hạn số nguyên tố q với 2< q < p-1 Đặt p = qk, từ đẳng thức (p-1)!+1 = 0(mod p) ta suy có số nguyên dương n cho: (p − 1)! + = pn = qkn ⇔ = q(kn − (p − 1)!/q) Vì 2< q < p-1 nên (p-1)!/q số nguyên từ đẳng thức ta suy q ước số 29 Mâu thuẫn Vậy p phải số nguyên tố 2.4 Định lý Lucas Định lý 2.4.1: Cho p số nguyên tố, r số nguyên dương, n = pr 1≤k≤ n-1 Khi ta có:Ckn = 0(modp) ( Ký hiệu Ckn số tập có k phần tử tập có n phần tử hay tổ hợp chập k n ( 0≤k≤n)) Chứng minh Ký hiệu G nhóm cộng Zn Khi G p-nhóm xyclic cấp n = pr Ký hiệu S tập tập gồm k phần tử G Xét tác dụng G S dịch chuyển (nghĩa là, với x thuộc G tập A gồm k phần tử G ta đặt x(A) = x+A (xem mục 1.5 chương 1)) Theo công thức (1.1) quỹ đạo, ký hiệu Ai đại diện G-quỹ đạo khác S ta có: card(S) = Ai (2.7) |G : GAi | Vì ≤ k ≤ n − 1, khơng có nhóm đẳng hướng GAi phần tử Ai trùng với toàn nhóm G Vậy tất nhóm đẳng hướng GAi nhóm thực G Vì G p-nhóm nên nhóm thực p-nhóm số hạng vế phải (2.7) chia hết cho p Nói cách khác: card(S) = Ckn = 0(modp) Định lý 2.4.2 (Lucas): Cho p số nguyên tố m, n số nguyên dương cho m < n Giả sử biểu diễn theo số p n m tương ứng là: mi pi , m= ni pi n= i i ≤ mi , ni ≤ p − Khi ta có: Cnm = k > n) i Cnmi i ( mod p) ( ta quy ước: Cnk = 30 Chứng minh.Trước hết ta chứng minh với số nguyên khơng âm r số ngun tố p ta có: r (2.8) r (1 + x)p = (1 + xp )(mod p) biến x nhận giá trị nguyên Thật vậy, khẳng định hiển nhiên r =0 Nếu r >0, khai triển vế trái theo công thức nhị thức Newton, dùng định lý 2.4.1ta có: pr r r Cpkr xk (mod p) =(1 + xp )(mod p) (1 + x)p = k=0 Dùng (2.8) ta có dãy đồng dư thức sau: n m=0 Cnm xm = (1 + x)n = ni ( i mi =0 i (1 + x)ni p = i i Cnmi i xmi p )(mod p) ( m=0 ni i n = i (1 + xp ) (mod p) = i Cnmi i )xm (mod p) Đồng hệ số tổng đầu cuối dãy đồng dư thức ta suy điều cần chứng minh: Cnm = i Cnmi i (mod p) Định lý 2.4.3: Giả sử n số nguyên dương có dạng n = pr m, p số nguyên tố r số nguyên không âm, m số nguyên dương không chia hết cho p Khi ta có đồng dư thức: r Cpn = m(modp) Chứng minh.Giả sử biểu diễn số m theo số p là: k mj pj m= j=0 < mj ≤ p − với j = 0, j=k (do (m,p)=1) ≤ mj ≤ p − với j = 1, , k − Từ suy biểu diễn theo số p n n = định lý Lucas, ta có: k j=0 mj pj+r Theo 31 k r Cpn = ( j=1 2.5 C0mj )C1m0 (mod p) = m0 (mod p) = m(mod p) Định lý Fermat tổng hai bình phương Bổ đề 2.5.1: Giả sử p số nguyên tố lẻ dạng p=4k+1 Khi tồn số nguyên z cho z + chia hết cho p Chứng minh.Từ định lý Wilson suy s1 , s2 , , sp−1 đại diện lớp đồng dư khác Z∗p lớp đồng dư Z∗p : − p−1 j=1 sj = −1(mod p) Xét p-1 đại diện sau p−1 p−3 p−3 p−1 ,− , , − 1, 1, , , 2 2 Theo nhận xét vừa nêu (chú ý p−1 số chẵn p=4k+1), ta có: p−1 ( − 1) (( p−1 )!) = −1(mod p) ⇔ (( p−1 )!) = −1(mod p) Đặt z = ( p−1 )! ta điều phải chứng minh Định lý 2.5.2 (Fermat): Giả sử p số nguyên tố lẻ dạng p=4k+1 Khi tồn số nguyên a, b cho p = a2 + b2 Chứng minh Vì p số nguyên tố lẻ nên tồn số nguyên dương k cho k √ < p p, vế trái (2.9) bé p Mâu thuẫn Tiếp theo, (k + 1)2 > p nên phải có hai số phân biệt dạng a-bz rơi vào lớp đồng dư theo mođun p Nghĩa có hai cặp phân biệt (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) cho: a1 − b1 z = a2 − b2 z (mod p) ⇔ a1 − a2 = (b1 − b2 )z (mod p) Suy ra: (a1 − a2 )2 = (b1 − b2 )2 z2 (mod p) ⇔ (a1 − a2 )2 = −(b1 − b2 )2 (mod p) ⇔ (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 = (mod p) Đặt a = a1 − a2 , b = b1 − b2 ta có : a2 + b2 = np với n số nguyên dương a2 ≤ k < p, b2 ≤ k < p Vậy a2 + b2 < 2p Từ suy a2 + b2 = p Do p số nguyên tố lẻ nên a, b số nguyên khác không Nhận xét: Từ chứng minh định lý 2.5.2 suy khẳng định định lý thay giả thiết “ p số nguyên tố dạng 4k+1” giả thiết “p số khơng phương dạng 4k+1 tồn số nguyên z cho p chia hết z + 1” Cũng dễ thấy số lẻ biểu diễn thành tổng bình phương hai số nguyên số lẻ phải có dạng 4k+1 Thực vậy, n số lẻ n = a2 + b2 với a, b số nguyên hai số a, b phải số chẵn, số lại phải số lẻ Giả sử a chẵn b lẻ Đặt a = 2k, b = 2m+1 ta có: n = a2 + b2 = 4k2 + 4m2 + 4m + = 1(mod 4) Vậy từ định lý 2.5.2 suy số nguyên tố lẻ p biểu diễn thành tổng hai bình phương p = 1(mod 4) Mệnh đề 2.5.3: Tồn vô hạn số nguyên tố không biểu diễn thành tổng hai bình phương hai số nguyên 33 Chứng minh Theo nhận xét sau định lý 2.5.2 cần chứng minh có vơ hạn số số nguyên tố dạng 4k-1 Giả sử trái lại số số nguyên tố dạng 4k-1 hữu hạn Đánh số số nguyên tố theo thứ tự tăng dần với giá trị dãy số nguyên tố p1 , p2 , , pj Đặt: N = 4p1 p2 pj − N khơng thể số ngun tố N có dạng 4k-1 N > pj Vậy N phân tích thành tích nhân tử nguyên tố q1 , q2 , , qk (mỗi số q i tham gia vào dạng phân tích N với số mũ nguyên dương đó) Khơng có số qi trùng với số p1 , p2 , , pj N không chia hết cho số dãy p1 , p2 , , pj Vậy tất số q i phải có dạng 4k+1 Nhưng N tích số ngun tố có dạng 4k+1 nên N phải có dạng 4k+1 Mâu thuẫn Vậy khơng có số ngun tố lớn dạng 4k -1 hay tập số nguyên tố dạng 4k-1 vô hạn 2.6 Luật tương hỗ bậc hai Định nghĩa 2.6.1: Cho p số nguyên tố lẻ Với số nguyên a, tồn số nguyên x cho a = x2 (modp) ta nói a có thặng dư bậc hai theo mođun p, trái lại ta nói a khơng có thặng dư bậc hai theo mođun p Đặt: a p = 0, a chia hết cho p; a p = 1, a thặng dư bậc hai theo modun p; a p = −1, a khơng có thặng dư bậc hai theo modun p; Ký hiệu a p gọi ký hiệu Legendre Nhận xét: Từ định nghĩa suy x2 = a(modp) có nghiệm Z∗p x2 = a(modp) vô nghiệm Z∗p a p a p = phương trình = −1 phương trình 34 Mệnh đề 2.6.2: Cho p số nguyên tố lẻ Ánh xạ h: Z∗p → {1, −1} cho h(x) = x p tồn cấu từ nhóm nhân Z∗p vào nhóm nhân 1,-1 Chứng minh Gọi g phần tử sinh nhóm xyclic Z∗p Khi Z∗p = g k : k = 1, 2, , p − Vì p số ngun tố lẻ nên có gk với k lẻ p−1 p−1 phần tử phần tử gk với k chẵn Rõ ràng x =gk với k chẵn h(x) =1 Phương trình x2 = g k (mod p) khơng thể có nghiệm Z∗p k lẻ Thực vậy, giả sử trái lại, tồn phần tử gr Z∗p thỏa mãn (gr )2 = g k (modp) Khi ta có g2r−k = 1(modp) Do 2r - k = (mod (p-1)) Nhưng k lẻ nên 2r-k số lẻ, p -1 số chẵn Mâu thuẫn Vậy phương trình x2 = g k (modp) vơ nghiệm Z∗p k lẻ Suy h(x) = -1 x = g k với k lẻ Từ dễ dàng suy khẳng định mệnh đề Nhận xét: Từ chứng minh mệnh đề 2.6.2 suy hạt nhân toàn cấu h tập Ker(h) = {g k : k = 2r với r thuộc tập 1, ,(p-1)/2} Mệnh đề 2.6.3 (Tiêu chuẩn Euler): Cho p số nguyên tố lẻ Với số nguyên a ta có: a p =a p−1 (2.10) (mod p) Chứng minh Nếu a chia hết cho p a p = a p−1 = 0(mod p) nên (2.10) Bây giả sử a không chia hết cho p, a ∈ Z∗p Gọi g phần tử sinh Z∗p Khi a = g k với k thuộc tập {1, 2, , p − 1} Theo nhận xét sau chứng minh mệnh đề 2.6.2 ta suy a p = a = g k với k=2r a = g k với k=2r-1 Nếu a = g k với k=2r a (2.10) a = g 2r Nếu k=2r-1 g− (g p−1 p−1 (mod p) = g p−1 (mod p) Ta có g p−1 )2 = g p−1 = 1(mod p).Vậy phải có g p−1 a p a p =-1 = g r(p−1) (mod p) = 1(mod p) Do =-1 a p−1 = g r(p−1)− p−1 (mod p) = = 1(mod p) (chu kỳ g p-1), p−1 = −1(mod p) (chú ý phương trình 35 x2 = 1(modp) có hai nhiệm Z∗p x =1(mod p) x = -1 (mod p)) Như vậy, (2.10) lại nghiệm Mệnh đề chứng minh hoàn toàn Định lý 2.6.2 ( Định lý Trung Hoa phần dư): Cho m, n số nguyên dương nguyên tố Với cặp số nguyên (a,b), ≤ a ≤ m − 1, ≤ b ≤ n − tồn số nguyên k thỏa mãn ≤ k ≤ mn − cho có đồng thời đồng dư thức: k = a(modm), k = b(modn) (2.11) Chứng minh Do (m,n) = nên tồn số nguyên p, q cho pm+qn=1 Đặt z = aqn+bpm = (a-b)qn + b = (b-a)pm + a Từ biểu diễn z dễ thấy z = a(mod m) z = b(mod n) Rõ ràng tồn số nguyên k thỏa mãn 0≤k≤mn-1 cho k = z(mod mn) Đặt z = mnr + k Từ tính chất nhận z ta có: k = a(modm), k = b(modn) Vậy ta chứng minh phần tồn định lý Nếu k’ số ngun thỏa mãn (2.11) 0≤k’≤mn-1 ta có k-k’ = 0(mod m), k-k’=0(mod n) Do m, n số ngun ngun tố từ suy k-k’ = 0(mod mn) Vậy k = k’(mod mn) Bởi k, k’ số nguyên thuộc tập 0,1, , mn-1 phải có k=k’ Tính số nguyên k chứng minh * Cho G, G’ hai nhóm với luật hợp thành viết theo lối nhân với phần tử đơn vị tương ứng e, e’ Đưa vào tích Đề-các G×G’ phép nhân định nghĩa sau: (x, x′ )(y, y ′ ) = (xy, x′ y ′ ) với hai phần tử tùy ý (x, x′ ), (y, y ′ ) G×G’ Dễ kiểm chứng rằng, với phép nhân định nghĩa trên, G×G’ nhóm nhân với phần tử đơn vị (e,e’) Ta dùng ký hiệu G×G’ để nhóm 36 Với số n nguyên dương, ký hiệu Z∗n tập phần tử x nhóm (Zn , +) cho tồn phần tử y nhóm (Zn , +) thỏa mãn xy = 1(modn) Z∗n nhóm với phép nhân, có cấp số số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n (=giá trị hàm Euler ϕ(n)) Từ định lý Trung Hoa phần dư ta có hệ sau: Hệ quả: Cho p, q số nguyên tố phân biệt Tồn song ánh từ tập Z∗pq vào nhóm nhân Z∗p × Z∗q Chứng minh Với cặp (a,b) ∈ Z∗p × Z∗q , theo định lý Trung Hoa phần dư, tồn số k=k(a,b) thỏa mãn 0≤k≤pq-1 k = a(mod p), k = b(mod q) Gọi a’, b’ số nguyên thỏa mãn 1≤a’≤p-1, 1≤b’≤q-1 aa’=1(mod p), bb’=1(mod q) Gọi k’ số nguyên thỏa mãn 0≤k’≤pq-1 cho k’ = a’(mod p), k’ = b’(mod q) (định lý Trung Hoa phần dư) Do p, q nguyên tố ta có kk’=1(mod pq) Vậy tương ứng (a,b)→k(a,b) ánh xạ f từ Z∗p × Z∗q vào Z∗pq Ánh xạ f đơn ánh, 1≤a,a’≤p-1, 1≤b,b’≤q-1 (a,b)=(a’,b’) với 1≤k≤pq-1 khơng thể có đồng thời đồng dư thức: k = a(modp), k = b(modq), k = a′ (modp), k = b′ (modq) Số phần tử Z∗p × Z∗q (p-1)(q-1) Số phần tử Z∗pq (p-1)(q-1) Vậy f song ánh từ Z∗p × Z∗q lên Z∗pq Ánh xạ ngược f song ánh σ từ Z∗pq lên Z∗p × Z∗q cho công thức σ(k) = (k(mod p), k(mod q)) với k ∈ Z∗pq Dễ thấy σ đẳng cấu nhóm Định lý 2.6.3 ( Luật tương hỗ bậc hai): Cho p, q số nguyên tố lẻ phân biệt Với ký hiệu Legendre đưa mục 2.6.1 ta có: p q = q p (−1) p−1 q−1 2 (2.12) Chứng minh Gọi σ : Z∗pq → Z∗p × Z∗q song ánh nói chứng minh hệ định lý 2.6.2 Đặt: 37 L = k ∈ Z∗pq : ≤ k < pq R = (a, b) ∈ Z∗p × Z∗q : ≤ a ≤ p − 1, ≤ b < q , k, a, b hiểu đại diện lớp đồng dư tương ứng Z∗pq , Z∗p , Z∗q , Khi số phần tử L R (p−1)(q−1) σ ánh xạ L vào tập σ(L) ⊂ Z∗p × Z∗q thỏa mãn σ(k) = (a, b) ∈ R σ(k) = (a, −b)∈Z∗p × Z∗q \R Bởi ta có: (a, b) = ε (2.13) (k(mod p), k(mod q)) k∈L (a,b)∈R ε = ±1 tích lấy Z∗p × Z∗q Để cho gọn tránh nhầm lẫn với ký hiệu Legendre ta đặt P = p−1 ,Q = q−1 Khi đó, dùng định lý Wilson ý q-k = -k(mod q), vế trái (2.13) rút gọn sau: (a, b) = (a,b)∈R = ((−1)Q , ((q 1≤a≤p−1 1≤b