ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MÔ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương 1: Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.1 1.2 1.3 1.4 Tổng quan lịch sử Hình học 1.1.1 Tác phẩm "Elements" Euclid 1.1.2 Nỗ lực chứng minh Định đề 1.1.3 Phát Hình học khác Hình học Euclid 1.1.4 Nền tảng hình học nửa sau kỉ 19 Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid 1.2.1 Yêu cầu phương pháp tiên đề 1.2.2 Các nhóm tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.3.1 Nhóm tiên đề phép cộng véc tơ 1.3.2 Nhóm tiên đề phép nhân véc tơ với số thực 1.3.3 Nhóm tiên đề số chiều 1.3.4 Nhóm tiên đề tích vơ hướng hai véc tơ 1.3.5 Nhóm tiên đề đặt véc tơ từ hai điểm Mối quan hệ hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne 1.4.1 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Hilbert 1.4.2 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Wayne Chương 2: Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid 2.1 2.2 Hệ tiên đề Pogorelov hệ trực tiếp Mơ hình Carte Hình học Euclid 2.2.1 Lý xây dựng Mô hình Carte 2.2.2 Kiểm tra tiên đề qua Mơ hình Carte c 5 11 13 13 14 16 17 17 18 18 19 19 19 20 21 21 30 30 31 ii Chương 3: Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng 3.1 3.2 Hệ tiên đề sách giáo khoa phổ thông Một vài áp dụng 3.2.1 Tam giác vuông 3.2.2 Hệ tọa độ Carte vng góc 3.2.3 Định lý Stewart Kết luận Tài liệu tham khảo c 38 38 40 40 41 42 46 47 iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, Trường ĐHSP Hà Nội Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên tận tình bảo, hướng dẫn thầy Tác giả xin gửi tới Ban giám hiệu, phịng đào tạo, thầy Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục, đào tạo nhà trường Tác giả xin chân thành cảm ơn tới lãnh đạo UBND thành phố Tuyên Quang, phòng Giáo dục Đào tạo thành phố Ban giám hiệu trường THCS Ỷ La, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả thời gian học tập hồn thành luận văn Mặc dù thân có nhiều cố gắng thời gian nghiên cứu có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Đỗ Thị Hương c Mở đầu A Một vài điểm quan trọng Hình học phẳng Như biết, đối tượng để xây dựng Hình học Euclid điểm, đường thẳng, mặt phẳng tương quan liên thuộc, nằm giữa, Với Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Pogorelov, ta xét vị trí tương đối xảy như: (1.1) Với hai điểm, ta xét điểm trùng nhau, điểm khác (1.2) Với đường thẳng, xét đường thẳng trùng nhau, đường thẳng cắt nhau, đường thẳng song song với nhau, đường thẳng chéo (1.3) Với điểm đường thẳng (đoạn thẳng), ta xét điểm thuộc đường thẳng (đoạn thẳng), điểm không thuộc đường thẳng (đoạn thẳng) Với tiên đề độ dài: Mỗi đoạn thẳng AB có độ dài `(AB) > C thuộc đoạn AB, C 6= A, C 6= B, `(AB) = `(AC) + `(CB) Để giải trường hợp hai điểm trùng ta có khái niệm khoảng cách hai điểm tùy ý A, B: ( `(AB) A 6= B d(A, B) = A ≡ B khái niệm góc với số đo Tiếp theo, ta xét tập điểm hay hình sau: (2.1) Xét đa giác Đặc biệt việc xét tam giác cân, tam giác đều, tam giác vng hình vng (2.2) Xét tập điểm cách điểm O với khoảng cách khơng đổi R Đó đường trịn (`) tâm O bán kính R Xét tiếp tập điểm khơng thuộc (`) Đó tập điểm bên bên ngồi đường trịn (`) (2.3) Xét tập điểm cách hai điểm phân biệt A B Đó đường trung trực đoạn thẳng AB c d Đó đường (2.4) Xét tập điểm cách cạnh góc xOy phân giác góc Tùy theo tốn, ta xét đường phân giác hay đường phân giác góc (2.5) Xét tập điểm cho khoảng cách từ đến điểm cố định khơng đổi Đó đường trịn Xét tập điểm cho tổng khoảng cách từ đến điểm cho trước A, B số không đổi Đó đường elíp với hai tiêu điểm A B Xét tiếp, tập điểm cho giá trị tuyệt đối hiệu khảng cách từ đến hai điểm cho trước A B số không đổi Đó đường hypebol với hai tiêu điểm A B (2.6) Với điểm A đường thẳng d không chứa A, xét tập điểm cho khoảng cách từ đến A khoảng cách từ điểm đến d Đó đường parabol với tiêu điểm A đường chuẩn d B Phương pháp tọa độ Hình học Xuất phát từ điểm đặc biệt sau đây: (3.1) Khi dựng hình ta sử dụng thước kẻ compa Việc dựng đường thẳng đường trịn dễ dàng Nhìn vào hình vẽ tương đối xác ta sử dụng vài kết biết (Mệnh đề, Định lý, Hệ quả,v.v ) để giải tốn Với thước kẻ compa, ta khơng vẽ xác parabol, hypebol,v.v Do vậy, số kết khơng cịn trực giác để ta cảm nhận cách giải không áp dụng (3.2) Phải thay đổi định nghĩa vài khái niệm Chẳng hạn, xét parabol (P ) với tiêu điểm A đường chuẩn d, ta hạ AH⊥d với H ∈ d Khơng khó để chứng minh đường thẳng AH đường trung trực d0 đoạn AH có chung với (P ) điểm, d0 tiếp tuyến (P ), cịn AH lại khơng (3.3) Với thước kẻ compa, ta khó xây dựng hệ thức liên hệ lớp tập bị thu hẹp (3.4) Xét phép biến đổi F mặt phẳng Giả sử hình (H) có tính chất P Nếu ảnh (H ) = F (H) có tính chất P P gọi tính chất bất biến (H) qua F ; ảnh (H ) = F (H) khơng có tính chất P P gọi tính chất khơng bất biến (H) qua F Vấn đề đặt ra: Xét tính chất P không bất biến biến đổi qua F thành tính chất gì? c (3.5) Khi xét toán tập điểm hệ thức liên hệ ta thường phải xử lý đối tượng tiến vô tận Để biểu thị đối tượng tiến vô tận, ta đưa phần tử ∞ vào tập R (3.6) Phương pháp tọa độ để ta phụ thuộc vào hình vẽ, biểu thị mối quan hệ qua phương trình Khi ta khơng phải vẽ hình, khơng phải kẻ thêm đường phụ phức tạp Ta dễ dàng biện luận trường hợp mở rộng toán làm biến dạng thành tốn khác Do Hệ tiên đề Pogorelov tác giả dùng mô hình thử để kiểm tra Hệ tiên đề dựa hình học giải tích, nhiều tài liệu tham khảo Hình học sơ cấp người ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán C Nội dung luận văn Luận văn tập trung trình bày lại số mục Giáo trình Hình học viện sĩ A Pogorelov viết cho sinh viên toán trường đại học Liên xơ Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương Hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Chương tập trung trình bày nét hai hệ tiên đề nêu Mục 1.1 trình bày đơi nét tổng quan phát triển Hình học Euclid Mục 1.2 trình bày Hệ tiên đề Hilbert Luận văn trình bày yêu cầu phương pháp tiên đề nhóm tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid Mục 1.3 dành để trình bày Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Trong mục làm bật việc sử dụng Đại số tuyến tính xây dựng hệ tiên đề Ở Mục 1.4 đưa vài ý kiến riêng mối quan hệ hai hệ tiên đề việc sử dụng Hệ tiên đề Wayne để xây dựng hình học Euclid vài nước Chương Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid Trong chương tập trung trình bày lại hệ tiên đề cho Hình học Euclid mơ hình Carte Pogorelov đưa Chương chia làm hai mục Mục 2.1 trình bày Hệ tiên đề Pogorelov vài hệ suy trực tiếp từ hệ tiên đề Mục 2.2 trình bày nội dung Mơ hình Carte Hình học Euclid Trong Mơ hình Carte, Pogorelov sử dụng phương pháp tọa độ để kiểm tra hệ tiên đề Do phần nêu lý để có phương pháp tọa độ hình học c Chương Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng Chương trình bày nội dung hệ tiên đề xây dựng hình học Việt Nam vài áp dụng Nó chia làm hai mục Mục 3.1 trình bày hệ tiên đề cho hình học sách giáo khoa bậc phổ thông Mục 3.2 vài áp dụng c Chương Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.1 1.1.1 Tổng quan lịch sử Hình học Tác phẩm "Elements" Euclid Hình học xuất phát phần khoa học thực nghiệm phát triển đặc biệt người Ai Cập Những người áp dụng hình học vào đo đạc thổ nhưỡng cơng trình tưới tiêu Trong thiên niên kỷ trước cơng ngun, kiến thức hình học người Ai Cập bắt nguồn từ người Hy Lạp nhờ tạo kỷ nguyên Các nhà hình học Hy Lạp từ kỷ thứ bảy đến kỷ thứ ba trước công nguyên không làm khoa học phong phú kiến thức mới, mà họ tiến bước quan trọng việc thiết lập dãy suy luận logic chặt chẽ Các thành vun đắp qua nhiều kỷ tổng kết hệ thống hóa Euclid (từ năm 330 275 trước công nguyên) tác phẩm "Elements" tiếng Lần lịch sử, Euclid giới thiệu tường thuật logic chặt chẽ hình học Xét thời đại đó, cách giải mơ tả hình học hồn tồn khơng có khuyết điểm, đến mức 2000 năm sau tác phẩm "Elements" xuất hiện, sách sổ tay hình học độc vô nhị Quyển I - IV VI tổng số 13 sách trình bày chương mặt phẳng đóng góp cho hồn thiện hình học, Quyển XI - XIII bao gồm hình học khơng gian Các chương khác nêu ứng dụng số học việc xử lý hình học Mỗi sách bắt đầu khái niệm mới, (ví dụ: Quyển bao gồm 23 định nghĩa) Đặc biệt ba định nghĩa đây: c ... xây dựng hệ tiên đề Ở Mục 1.4 đưa vài ý kiến riêng mối quan hệ hai hệ tiên đề việc sử dụng Hệ tiên đề Wayne để xây dựng hình học Euclid vài nước Chương Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid. .. quan hệ hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne 1.4.1 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Hilbert 1.4.2 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Wayne Chương 2: Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC