0

lý thuyết và bài tập hình học euclid

65 5 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/07/2021, 12:06

A.LÝ THUYẾTChương 1:PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ§1.VÀI NÉT LỊCH SỬu.Hình học trước thời Euclid:Hình học ra đời như một khoa học thực nghiệm về đo đạc ruộng đất, độ dài các đường, đo diện tích các mảnh đất, đo thể tích các thùng chứa… Con người thời cổ đại ở vùng Babilon và Ai Cập đã biết cách tính diện tích tam giác, hình chữ nhật, hình thang, hình tròn, tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình chóp…Từ thế kỉ IV đến thế kỉ III trước công nguyên, các nhà Hình học ở Hy Lạp dần dần đã làm cho môn Hình học trở thành một môn khoa học suy diễn.Hình học không còn là đúng đắn cho một sự kiện hình học nào đó, thay vì kiểm tra bằng thực nghiệm, người ta đã chứng minh nó bằng một chuỗi lập luận hợp lý.Nhiều tác phẩm hình học đã xuất hiện vào thời kỳ này với những tên tuổi lớn như: Arschimedes, Apollonius, Ptolemee, Pytagore. Tất cả những công trình đó đã được tổng kết lại một cách đầy đủ trong tác phẩm bất hủ của Euclid có tên là “Cơ bản”.Euclid là nhà hình học xuất sắc của Hy Lạp cổ. Ông dạy học và sống ở Alexandrie vào khảng từ 330 đến năm 275 trước công nguyên.vVề tác phẩm “Cơ bản” của Euclid:Tác phẩm “Cơ bản” của Euclid gồm 13 cuốn, bao gồm những kiến thức thuần túy của hình học. Trong 13 cuốn của “Cơ bản” có 8 cuốn dành cho Hình học phẳng và Hình học không gian. Kiến thức trong những cuốn sách này bao gồm toàn bộ nội dung của Hình học sơ cấp, mà một phần của nó được lấy từ các trường Phổ thông hiện nay. Chúng ta thấy trong đó có: các tam giác bằng nhau, các hình đồng dạng, định lý Pitagore, lí thuyết đo diện tích, đường tròn và các tính chất, đa giác đều và cách dựng, diện tích hình tròn, hình cầu, hình trụ, hình nón, về các khối đa diện và đặc biệt là về năm loại khối đa diện đều….Về phương pháp, chúng ta thấy Euclid đã cố gắn xây dựng môn Hình học bằng cách thức mà ngày nay chúng ta gọi là tiên đề.Trong cuốn sách đầu tiên, Euclid đã nêu ra 23 địng nghĩa của các khái niệm: điểm, đường, đường thẳng, mặt, mặt phẳng, đường thẳng song song…Chẳng hạn ông đã định nghĩa:Điểm là cái gì không có thành phần.Đường là cái gì có bề dài mà không có bề rộng.Mút của đường là điểm.Đường thẳng là đường trên đó các điểm được sắp đặt giống nhau….Sau các định nghĩa, Euclid đã trình bày các định đề và “tiên đề”, là những mệnh đề mà sự đúng đắn của nó được thừa nhận, không chứng minh.Có năm định đề nói về Hình học. Đó là:1)Từ một điểm bất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác cò thể vẽ được một đường thẳng.2)Một đường thẳng có thể kéo dài mãi cả về hai phía.3)Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được một đường tròn.4)Tất cả các góc vuông đều bằng nhau.5)Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác nhau tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai vuông thì hai đường thẳng đó cắt nhau về phía có hai góc đó.Có năm tiên đề, nội dung rộng hơn, dùng cho các suy luận toán học nói chung:1)Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.2)Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.3)Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.4)Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau.5)Toàn thể lớn hơn bộ phận.Sau khi đã có các định nghĩa,các định đề và tiên đề, Euclid đã trình bày các định lý và chứng minh các đinh lý đó.Các chứng minh này đều cố gắn dựa vào các định lý đã có trước, hoặc các tiên đề và định đề.w.Các thiếu sót của bộ “Cơ bản”:Có thể nói Euclid là người đầu tiên xây dựng Hình học bằng phương pháp tiên đề. Nhiều chứng minh của ông rất hay vẫn còn dùng được cho đến ngày nay.Tuy nhiên dưới cái nhìn hiện đại, tập “Cơ bản” còn mắc phải nhũng thiếu xót. Cụ thể là:Euclid tham vọng định nghĩa tất cả các khái niệm, điều đó là không thể.Mỗi khái niệm đều được định nghĩa dựa vào các khái niệm có trước. Bởi vậy, chúng ta phải xuất phát từ cái không có trước, ngày nay chúng ta gọi các khái niệm như vậy là các khái niệm cơ bản.Các khái niệm đó được hiểu bằng nhiều cách cụ thể khác nhau, miễn sao chúng thỏa mãn các tiên đề.Các định đề và tiên đề của Euclid vừa thừa lại vừa thiếu. Định đề “Tất cả các góc vuông đều bằng nhau” là thừa vì có thể chúng minh được. Euclid lại thiếu quá nhiều định đề và tiên đề nên trong nhiều chứng minh ông phải dựa vào trực giác.x.Về định đề 5 của Euclid:Định đề 5 của Euclid đóng vai trò đặc biệt trong sự phát triển Hình học nói riêng và Toán học nói chung.Khi nghiên cứu tập “Cơ bản”, các nhà toán học đều băn khoăn: Định đề 5 có thật là một định đề hay không? Hay là nó có thể được chứng minh như một định lý? Có vẻ như chính Euclid cũng băn khoăn như vậy, bởi vì ông đã cố trì hoãn việc áp dụng định đề đó để chúng minh các định lí. Cho mãi tới định lí thứ 29, khi không thể dùng được ông mới sử dụng định đề đó vào chứng minh.Thế là rất nhiều nhà toán học đã cố gắn tìm cách chứng minh định đề 5. Có thể nói trong lịch sử Toán học chưa bao giờ có một vấn đề được nhiều người nghiên cứu đến thế, và giải quyết nó lại cần nhiều thời gian đến thế ( từ thế kỉ thứ II trước công nguyên đến thế kỉ XIX ). Hầu hết các nhà toán học đều thất bại. Họ cứ tưởng trong khi chứng minh họ đã sử dụng một điều tương đương với định đề đó. Chẳng hạn, Proclus Diadochus, 410485) trong chứng minh của mình đã sử dụng mệnh đề: “Nếu hai đường thẳng a và b song song thì khoảng cách bất kì từ điểm nào của đường thẳng a tới đường thẳng b đều bằng nhau”. Mệnh đề này có vẻ hiển nhiên, nhưng để chứng minh nó, ta lại phải dùng định đề 5.Nhiều nhà toán học đã chứng minh định đề 5 bằng phương pháp phản chứng. Hãy giả sử định đề 5 không đúng, rồi cố rút ra từ đó những mâu thuẫn,những vô lý. Nhưng họ cũng không thành công, vì họ tưởng đã tìm ra cái vô lí, nhưng thực ra chẳng vô lý chút nàoy.Sự ra đời của Hình học phi Euclid:Cuối cùng vào ngày 621826 vấn đề đã được giải quyết bởi nhà toán học người Nga, Lobasepxki (17921856), khi ông trình bày nghiên cứu của mình tại khoa Toán Lí trường Đại học Kazan (Nga).Lopasepxki đã chứng minh rằng: không thể chứng minh được định đề 5. Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải là một định lí.Ông đã giữ nguyên các định đề của Euclid và thay định đề 5 bằng một định đề phủ định, và dựa vào đó chứng minh các định lí của hệ thống Hình học mới. Ngày nay, chúng ta gọi hệ thống hình học mà Lôpasepxki xây dựng là Hình học phi Euclid hay hình học Lôpasepxki. Tất nhiên nhiều kết quả của hình học Lôpasepxki hoàn toàn trái ngược với hình học Euclid. Chẳng hạn trong Hình học của Lôpasepxki: “tổng các góc của tam giác bé hơn 1800, có tam giác mà tổng số đo bé tùy ý, diện tích tam giác bị chặn trên; quỹ tích những điểm cách đều đường thẳng không phải là cặp đường thẳng… Tuy nhiên trong nội bộ của hình học đó không hề có mâu thuẫn nào…Gần như cùng đồng thời với Lôpasepxki , nhà Toán học Hunggari là Bolyai Janos (18021860) và nhà toán học Đức C.F.Gauss (17771855) cũng đã đạt được những kết quả chủ yếu về Hình học phi Euclid.§2.PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀu, Hệ tiên đề của một lý thuyết toán học:Năm 1899, Hilbert cho ra đời tác phẩm “ Cơ sở hình học”, trong đó xây dựng lại Hình học một cách chính xác bằng phương pháp tiên đềĐể xây dựng một lý thuyết toán học nào đó bằng phương pháp hệ tiên đề chúng ta phải tiến hành theo những trình tự sau:a)Nêu các “khái niệm cơ bản”. Đó là những khái niệm không theo định nghĩa, ta có thể hiểu thế nào cũng được miễn là hiểu cho phù hợp với tiên đề mà sao đó sẽ nêu ra. Việc lựa chọn khái niệm nào là khái niệm cơ bản là tùy thuộc vào mỗi tác giả.b)Nêu một hệ thống các tiên đề: thể hiện mối quan hệ giữa các khái niệm cơ bản, các tiên đề này phải thỏa mãn một số yêu cầu nào đó.Và hệ thống các khái niệm cơ bản và các tiên đề về chúng được gọi là hệ tiên đề.v Một số ví dụ:Ví dụ 1: Hệ tiên đề H gồm:Khái niệm cơ bản: Vectơ, sự bằng nhau của hai vecto (kí hiệu là =) và phép cộng hai vectơ.Các tiên đề:1)Với mọi hai vecto 2)Với mọi ba vecto 3)Có vecto, gọi là vecto không và kí hiệu là sao cho: 4)Có vecto sao cho: ,vecto gọi là vecto đối của vecto Từ hệ tiên đề trên ta chứng minh định li sau: ã Định lí 1: Vecto không là duy nhấtChứng minh: ta có (3) (1) (3)Vậy là duy nhấtã Định lý 2: Vecto đối của là duy nhấtChứng minh:Giả sử có hai vecto đối là Ta có: (3)= `(2) (1) (4) (1) (3)Ví dụ 2: Hệ tiên đề K bao gồm: Khái niệm cơ bản: Điểm, đường thẳng, quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng: điểm thuộc đường thẳng. Các tiên đề:1)Qua hai điểm phân biệt có một đường thẳng duy nhất2)Hai đường thẳng phân biệt có một điểm chung duy nhất.3)Có ít nhất bốn điểm trong đó không có ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng.Từ hệ tiên đề trên ta có thể chứng minh định lý:ã Định lí: Có ít nhất 7 điểm và 7 đường thẳng.Chứng minh:Giả sử 4 điểm tồn tại trong hệ tiên đề là A, B, C, D.Theo tiên đề 1 ta có: AB ≠ CD Theo tiên đề 3:Nếu E trùng với một trong 4 điểm đã có thì mâu thuẫn với tiên đề 1Vậy có 5 điểm A, B, C, D, E phân biệtTheo tiên đề 1: AC ≠ BDTheo tiên đề 3:Nếu F trùng với E đã có thì mâu thuẫn với tiên đề 1Vậy có 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, FĐặt G Nếu G trùng với F thì mâu thuẫn với tiên đề 1Vậy có 7 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F, GVà theo tiên đề 1 ta có các đường thẳng AB, CD, AC, BD, AD, CBHai đường thẳng AB và CD không trùng nhau vì nều không thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng.Và E, F, G có thể nằm trên một đường thẳng nên có ít nhất 7 đường thẳng: AB, CD, AC, BD, AD, CB và EF.w.Mô hình của hệ tiên đề:Cho H là một hệ tiên đề nào đó, nếu ta gán cho các khái niệm cơ bản của H các khái niệm cụ thể sao cho các khái niệm đó thỏa các tiên đề trong H thì ta thu được một mô hình của H.Ví dụ 1: cho H là hệ tiên đề của ví dụ 1 ở mục 2 Ta gán một vecto là một số nguyên, phép cộng hai vecto được hiểu là cộng hai số nguyên, quan hệ bằng là quan hệ bằng trong . Rõ ràng 4 tiên đề của H đều thỏa mãn x + y = y + xx + (y + z) = (x + y) + zTồn tại bằng 0: 0 + x =xTồn tại vecto đối của x là –x: x + x = 0Ví dụ 2: Gọi K là hệ tiên đề trong ví dụ 2 ở mục 2Xét tập hợp {0, 1} gồm 2 số 0 và 1 với phép cộng được xác định như sau:0 + 0 = 01+ 1 = 01 + 0 = 0 + 1= 1Xét A ( 0,0,1) ; B(0,1,0); C(1,0,0); D(1,1,1); E( 1,1,0); F(1,0,1); G(0,1,1)Gọi đường thẳng là một trong các phương trình sau:(d1): x1=0, (d2): x2 =0, (d3): x3=0, (d4): x1+x2 =0, (d5): x1+x3=0, (d6): x2+x3 =0(d7): x1+x2+x3 =0.Một điểm gọi là thuộc đường thẳng nếu bộ số nó thỏa mãn phương trình. Chúng ta dễ dàng thấy mọi tiên đề của K đều thỏa mãn. Đặc biệt ta co thể chỉ ra bốn điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ví dụ C(1,0,0), B(0,1,0), E(1,1,0) và D(1,1,1). x. Các yêu cầu của một hệ tiên đề: Bất kì một hệ tiên đề nào cũng phải thỏa mãn một số yêu cầu cơ bản: phi mâu thuẫn, tính độc lập, tính đầy đủ 1) Phi mâu thuẫn:Cho H là một tiên đề.Một hệ tiên đề được gọi là phi mâu thuẫn nếu từ các tiên đề của nó không thể chứng minh được hai định lý phủ định nhau (mâu thuẫn nhau)Để chứng minh sự phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề ta dùng phương pháp xây dựng mô hình. Nếu ta đã xây dựng được mô hình của hệ tiên đề H bằng những khái niệm của một lý thuyết toán học có sẵn L, thì mỗi định lí suy ra từ H sẽ trở thành một định lí trong L. Như vậy nếu lí thuyết L phi mâu thuẫn thì hệ tiên đề H cũng phi mâu thuẫn.Tóm lại: hệ tiên đề H phi mâu thuẫn nếu có thể tìm thấy mô hình của H trong một lý thuyết toán học đã biết là phi mâu thuẫn.2) Tính độc lập:Tiên đề A của hệ tiên đề phi mâu thuẫn H được gọi là độc lập đối với H nếu A không thể chứng minh được từ những tiên đề của H. Hệ tiên đề H được gọi là độc lập nếu mọi tiên đề của H đều độc lập đối với H.Nếu A là một hệ tiên đề của H, ta thành lập hệ tiên đề mới H’ gồm các tiên đề của H nhưng thay tiên đề A bằng tiên đề A’ phủ đinh của tiên đề A. Rõ ràng tiên đề A độc lập đối với H khi và chỉ khi hệ tiên đề H’ phi mâu thuẫn.Ví dụ: Nếu hình học Lôpasepxki phi mâu thuẫn thì định đề 5 không chứng minh được từ các tiên đề còn lại của hình học Euclid.Tất nhiên nếu tiên đề A không độc lập với hệ tiên đề H thì nó thừa, và có thể loại bỏ nó trong danh sách các tiên đề.3) Tính đầy đủ của hệ tiên đề:Một hệ tiên đề phi mâu thuẫn H được gọi là đầy đủ nếu một mệnh đề A nào đó nói về các khái niệm của H đều có thể chứng minh được hoặc bác bỏ được. Nói khác đi, từ hệ tiên đề H có thể chứng minh được mệnh đề A hay chứng minh được mệnh đề A’ phủ định của A.Nếu hệ tiên đề H không đầy đủ, nghĩa là có mệnh đề A và mệnh đề A’ phủ định nó đều không chứng minh được từ H, thì khi thêm tiên đề A hoặc A’ vào H ta được cả hai tiên đề phi mâu thuẫn.Giả sử hệ tiên đề phi mâu thuẫn H có hai mô hình M1 và M2. Mô hình đó đẳng cấu với nhau nếu có sự tương ứng 11 giữa các khái niệm cơ bản của M1 với các khái niệm cơ bản của M2 sao cho nếu các khái niệm cơ bản nào đó của M1 thỏa mãn một tiên đề của H thì các khái niệm cơ bản tương ứng của M2 cũng thỏa mãn tiên đề đó. Người ta chứng minh được rằng: Một hệ phi mâu thuẫn H là đầy đủ khi và chỉ khi mọi mô hình của nó đều đẳng cấu với nhau. §3. CÁC HỆ TIÊN ĐỀ CỦAHÌNH HỌC ƠCLIT 3 CHIỀU.Hệ tiên đề của Hinbe (Hilbert):Trong tác phẩm “Cơ sở hình học” của mình, lần đầu tiên nhà toán học Đức Hinbe (Hilbert, 18621943) đã đưa ra một hệ tiên đề của hình học Ơclit và ông chứng minh sự phi mâu thuẫn và đầy đủ của nó. Ngoài ra, ông còn chứng minh sự độc lập của một số tiên đề quan trọng.1.1.Hệ tiên đề Hinbe:Khái niệm cơ bản của hệ tiên đề Hinbe là: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng; Các quan hệ “thuộc” (điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng), quan hệ “điểm ở giữa hai điểm”, và quan hệ “bằng nhau” của hai đoạn thẳng.Các tiên đề: Các tiên đề được chia thành năm nhóm.Nhóm I: Các tiên đề về thuộcI.1. Bất kì hai điểm phân biệt nào cũng thuộc một và chỉ một đường thẳng.I.2. Mỗi đường thẳng thuộc ít nhất hai điểm. Có ít nhất là ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng.I.3. Bất kì ba điểm nào, nếu không cùng thuộc một đường thẳng, đều thuộc một và chỉ một mặt phẳng.I.4. Nếu hai điểm phân biệt cùng thuộc một đường thẳng a và mặt phẳng P thì mọi điểm thuộc đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng O.Nhóm II: Các tiên đề về thứ tựII.1. Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, C là ba điểm khác nhau cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa điểm C và điểm A.II.2. Cho bất kì hai điểm phân biệt A, C nào, bao giờ cũng có ít nhất một điểm B sao cho C ở giữa A và B.II.3. Trong bất kì ba điểm phân biệt nào cùng thuộc một đường thẳng, có không quá một điểm ở giữa hai điểm kia.II.4. Tiên đề Pát (Pasch): Trên mặt phẳng cho đường thẳng a và ba điểm A, B, C không thuộc a. Nếu đường thẳng a có một điểm ở giữa A và B thì nó cũng có một điểm ở giữa A và C hoặc ở giữa B và C. (Moritz Pasch, 18431930, là nhà toán học Ba Lan).Nhóm III: Các tiên đề về bằng nhauIII.1. Nếu đã cho đoạn thẳng AB thì từ trên nửa đường thẳng có gốc A’ bao giờ cũng có điểm B’, sao cho đoạn thẳng AB bằng đoạn thẳng A’B’, kí hiệu là AB=A’B’. Đối với mọi đoạn thẳng AB ta đều có: AB=BA.III.2. Nếu AB=A’B’ và A’B’=A”B” thì AB=A”B”.III.3. Cho điểm B ở giữa hai điểm A và C, cho điểm B’ ở giữa hai điểm B’ và C’. Nếu AB=A’B’ và BC=B’C’ thì AC=A’C’.III.4. Cho góc xOy, cho tia O’x’ và một nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng chứa tia O’x’. Khi đó trên nửa mặt phẳng ấy có duy nhất tia O’y’ sao cho góc xOy bằng góc x’O’y’: Đối với mọi góc xOy ta đều có .III.5. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Nếu AB=A’B’, AC=A’C’ và thì BC=B’C’ và . Trong trường hợp ta nói hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau và viết ABC= A’B’C’.Nhóm IV. Các tiên đề về liên tụcIV.1. Tiên đề Acsimét (Archimedes). Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kì. Khi đó có một số hữu hạn các điểm A1, A2, A3…, An thuộc nửa đường thẳng AB sao cho điểm A1 ở giữa A và A2 ; A2 ở giữa A1 và A3 ;… ; An1 ở giữa An2 và An hoặc trùng với An và các đoạn thẳng A A1, A1A2, … ,An1An đều bằng đoạn thẳng CD.IV.2. Tiên đề Căngto (Cantor)Trên đường thẳng a cho một dãy vô hạn các đoạn thẳng A1B1, A2B2, … , AnBn, … sao cho:Đoạn thẳng AnBn nằm trong đoạn thẳng An1Bn1Cho bất kì đoạn thẳng CD nào, bao giờ cũng có số tự nhiên n để đoạn thẳng AnBn bé hơn đoạn thẳng CD.Khi đó có một điểm I duy nhất thuộc mọi đoạn thẳng AnBn.(Nhà toán học Cantor, 18451918, sinh tại St Petersburg, Nga, làm việc tại Đức).Nhóm V: Tiên đề Ơclit về đường song songTrong mặt phẳng cho đường thẳng a và điểm A không thuộc a thì trong mặt phẳng đó có không quá một đường thẳng b đi qua A và không có điểm chung với a (đường thẳng b như thể gọi là song song với đường thẳng a).2.2.Mô hình số học của tiên đề Hinbe:Ta có thể chứng minh rằng hệ tiên đề Hinbe phi mâu thuẫn nếu lý thuyết phi mâu thuẫn. Muốn vậy ta xây dựng một mô hình của hệ tiên đề đó bằng các khái niệm của số học.Mô hình đó như sau.Điểm là bất kì bộ ba số thực có thứ tự (x; y; z).Mặt phẳng là bất kì một phương trình bậc nhất dạng ax + by + cz +d = 0Với điều kiện a2 + b2 + c2 0. Hai phương trình tương đương được xem là hai mặt phẳng trùng nhau.Đường thẳng d là bất kì hệ hai phương trình bậc nhất dạng: ()với điều kiện a2 + b2 + c2 0, a’2 + b’2 + c’2 0, và a : b : c a’ : b’ : c’ Hai hệ phương trình như thế xem là hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi chúng là hai hệ phương trình tương đương. Điểm (x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 nếu ax0 + by0 + cz0 + d = 0 Điểm (x0; y0; z0) thuộc đường thẳng d nếu (x0; y0; z0) là nghiệm của hệ () Điểm (x2; y2; z2) ở giữa điểm (x1; y1; z1) và điểm (x3; y3; z3) nếu chúng cùng thuộc một đường thẳng và có một trong các điều kiện sau đây : x1 < x2 < x3 hoặc y1 < y2
- Xem thêm -

Xem thêm: lý thuyết và bài tập hình học euclid, lý thuyết và bài tập hình học euclid