bài tập LÝ THUYẾT NHÓM có đáp án

LÝ THUYẾT NHÓM Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Thanh Tùng Nhóm trình bày Bài tập 1.2 c : Bài tập 1.2 d : Bài tập 1.8 : Bài tập 1.9 : Bài tập 1.13 : Bài tập 1.14 : Bài tập 1.2/ Trong phép tốn hai ngơi cho sau tập hợp ra, kiểm tra tính kết hợp, giao hốn tìm phần tử đơn vị có   c tập với phép tốn (x,y,z)* (x’,y’,z’) = (xy’,yy’,yz’); + Tính kết hợp: A(a’,a’’,a’’’), B(b’,b’’,b’’’), C(c’,c’’,c’’’) (A*B)*C= (a’b’’,a’’b’’,a’’b’’’)*(c’,c’’,c’’’) = ( a’b’’c’’,a’’b’’c’’,a’’b’’c’’’) A*(B*C)= (a’,a’’,a’’’)*(b’c’’,b’’c’’,b’’c’’’) = (a’b’’c’’,a’’b’’c’’,a’’b’’c’’’) => (A*B)*C = A*(B*C) Vậy ,*) có tính kết hợp + Giao hoán A(a’,a’’,a’’’), B(b’,b’’,b’’’) A*B= (a’b’’,a’’b’’,a’’b’’’) B*A= (b’a’’, b’’a’’, b’’a’’’) => A*BB*A Vậy ,*) khơng có tính giao hốn + Phần tử đơn vị Gọi e(e’,e’’,e’’’) dạng tổng quát phần tử đơn vị A(a’,a’’,a’’’) e*A= (e’a’’, e’’a’’,e’’a’’’) A*e= (a’e’’, a’’e’’, a’’e’’’) => e*A A Vậy ,*) không tồn phần từ đơn vị e   d tập M khơng có phần tử, với phép tốn a  b = b + Tính kết hợp   a,b,c M Ta có :(ab)c= bc=c a (bc)=ac=c => (ab)c= a (bc) Vậy (M,  ) có tính kết hợp + Giao hốn a,b  M Ta có (ab)=b (ba)=a => (ab) (ba) Vậy (M,  ) khơng có tính giao hốn + Phần tử đơn vị e a  M Ta có (ae) e mà (ea)=a => e=a( loại) Vậy (M,  )không tồn phần tử đơn vị e Bài tập 1.8 Giả sử X tập gồm cặp số thực (a,b) a, ta định nghĩa phép toán * sau: (a,b)*(c,d)= (ac,bc+d) Chứng minh X nhóm X khơng Abel   i) Vì (1,2) X=> X   ii) Rõ ràng (a,b),(c,d) X(a,b,c,d , athì (ac,bc+d) X Þ (a,b)*(c,d) X Vậy phép tốn * X phép tốn ngơi iii) A(a,b), B(c,d), C(e,f) X , ta có: (A*B)*C= (ac,bc+d)*(e,f)= (ace, bce+de+f) A*(B*C)= (a,b)* (ce,de+f)=(ace, bce+de+f) Vậy (X,*) có tính kết hợp ((A*B)*C=A*(B*C)) iv) Gọi e(e’,e’’) phần tử đơn vị (X,*) A(a,b) X Vậy e(1,0) phần tử đơn vị v) Gọi A’(a’,b’) phần tử nghịch đảo (X,*) A(a,b) X   Vậy A’(,là phần tử nghịch đảo X nhóm vi) Giao hốn A(a,b), B(c,d) X , ta có: A*B= (ac,bc+d)  B*A = (ca, da+b) A*BB*A Vậy (X,*) khơng có tính giao hốn X nhóm không Abel Bài tập 1.9 Chứng minh tập hợp G={(a,b): a,b, bcùng với phép toán * xác định nhóm Chứng minh H={ (a,1): alà nhóm G     i) Vì (2,3) G => G ii) Rõ ràng (a,b),(a’,b’) G (a,b,a’,b’ , b,b’ () G Þ (a,b)*(a’,b’) G Vậy phép tốn * G phép tốn ngơi iii) A(a,b), B(a’,b’), C(a’’,b’’) G , ta có: (A*B)*C= (ab’+a’,bb’)*(a’’,b’’)= (abb’’+a’b’’+a’’,bb’b’’) A*(B*C)=(a,b)* (a’b’’+a’’,bb’’)= (abb’’+a’b’’+a’’,bb’b’’) Vậy (G,*) có tính kết hợp ((A*B)*C=A*(B*C)) iv) Gọi e(e’,e’’) phần tử đơn vị (G,*) A(a,b) G Vậy e(0,1) phần tử đơn vị v) Gọi A’(a’,b’) phần tử nghịch đảo (G,*) A(a,b) G   Vậy A’(,là phần tử nghịch đảo (G,*) nhóm i’)Vì (2,1) H => H a,b, b (a,1)(a,b) mà (a,1) H (a,b) G => H G i’’) A(a,1) B(b,1) H ( a,b R) Ta có A*B= (a,1)*(b,1)= (a+b,1) H A(a,1) H ( a R) Ta có A*A’= (a,1)*(a’,1)=(a+a’,1)= (0,1) => a’=-a => A’(-a,1) H   HG   Bài tập 1.13 Giả sử X nhóm với phần tử đơn vị e Chứng minh với aX, ta có =e X nhóm Abel i) Vì e X => X   ii) a,b X = abab = aabb = mà =e =e => =e.e=e X Vậy phép toán X phép tốn hai ngơi iii) a,b,c X ta có =e, =e, =e = e = ee==e = e = ee==e =>= Vậy X có tính kết hợp iv) Rõ ràng e phần tử đơn vị X v) a X =e aa’=a’a=e mà e==aa => aa’=a’a=aa => a’=a Vậy a’=a phần từ nghịch đảo X nhóm vi) a,b X = ab.ab=e => ab = = = ba.ba=e => ba= = Vậy X có tính giao hốn (ab =ba)   X nhóm Abel   Bài tập 1.14 Chứng minh tập khác rỗng A nhóm cộng số nguyên Z nhóm Z A=mZ với mZ Chứng minh : A=mZ với m Z A Z.  i) Rõ ràng tập A=mZ ( m tập Z 0.m mZ => mZ hay A ii) A,B mZ n’,n’’ : A=mn’ B= mn’ A+B= mn’+mn’’=m(n’+n’’) mZ A’= -mn’=m(-n’) mZ Vậy A Z Chứng minh Athì A=mZ ( m Z) + A= A= 0Z ( m=0) +A: a A số nguyên khác : => mZ A ( m A) Do A=mZ a A số nguyên Ta có: a= mq+r (1) với r=0 Từ (1) => r=a-mq A Khi r=0 a=mq A Vậy A mZ Tóm lại A=mZ   .. .Nhóm trình bày Bài tập 1.2 c : Bài tập 1.2 d : Bài tập 1.8 : Bài tập 1.9 : Bài tập 1.13 : Bài tập 1.14 : Bài tập 1.2/ Trong phép tốn hai ngơi cho sau tập hợp ra, kiểm tra... Vậy X có tính giao hốn (ab =ba)   X nhóm Abel   Bài tập 1.14 Chứng minh tập khác rỗng A nhóm cộng số nguyên Z nhóm Z A=mZ với mZ Chứng minh : A=mZ với m Z A Z.  i) Rõ ràng tập A=mZ ( m tập Z... tử nghịch đảo X nhóm vi) Giao hốn A(a,b), B(c,d) X , ta có: A*B= (ac,bc+d)  B*A = (ca, da+b) A*BB*A Vậy (X,*) khơng có tính giao hốn X nhóm không Abel Bài tập 1.9 Chứng minh tập hợp G={(a,b):