Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỊCH XUÂN LUYẾN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY RÀNG BUỘC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG THÁI NGUYÊN 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG Đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỊCH XUÂN LUYẾN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY RÀNG BUỘC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỊCH XUÂN LUYẾN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY RÀNG BUỘC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN - 2015 c iii Mục lục Mở đầu 1 Điều kiện cần đủ tối ưu cho toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân J.J Ye 1.1 Điều kiện điểm dừng điều kiện điểm quy 1.1.1 Điểm dừng điều kiện quy 1.1.2 Điều kiện dừng đối ngẫu 1.2 Điều kiện cần đủ tối ưu Điều kiện tối ưu điều kiện quy cho tốn quy hoạch toán học với ràng buộc cân C Kanzow A Schwartz 20 2.1 Các khái niệm định nghĩa 20 2.2 Điều kiện Fritz John 22 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 c Mở đầu Lý chọn đề tài Các toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân (hay gọi ràng buộc bù) lớp toán tối ưu khó Các điều kiện KuhnTucker cho tốn phải thiết lập với điều kiện quy thích hợp với kiểu ràng buộc Nhiều cơng trình nghiên cứu điều kiện Fritz John, điều kiện quy điều kiện Kuhn-Tucker cho lớp toán J.J Ye ([11], 2005) thiết lập điều kiện Fritz John cho toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân Các điều kiện quy thích hợp đưa vào [11] để dẫn điều kiện Kuhn-Tucker C Kanzow A Schwartz ([4], 2010) sử dụng cách tiếp cận Fritz John để dẫn điều kiện tối ưu cần đủ cho toán quy hoạch toán học khả vi với ràng buộc cân Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính tác giả chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu điều kiện quy ràng buộc cho toán tối ưu với ràng buộc cân bằng" Mục đích đề tài Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện tối ưu điều kiện quy cho toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân Ye [11] Kanzow - Schwartz [4] đăng tạp chí J Math Anal Appl vol 307 (2005) SIAM J Optim vol 20 (2010) Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Điều kiện cần đủ tối ưu cho toán quy hoạch toán c học với ràng buộc cân J.J Ye Trình bày kết J.J Ye ([11],2005) loại điểm dừng thích hợp cho tốn tối ưu với ràng buộc cân Chương trình bày định lý điều kiện M-dừng kiểu Fritz John, định lý điều kiện M-dừng Kuhn-Tucker cho toán quy hoạch toán học khả vi với ràng buộc cân Điều kiện M-dừng đủ với giả thiết tính lồi suy rộng trình bày chương Chương 2: Điều kiện tối ưu điều kiện quy cho toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân C Kanzow Schwartz Trình bày kết điều kiện tối ưu điều kiện quy thích hợp cho tốn quy hoạch tốn học khả vi với ràng buộc cân MPEC Kanzow - Schwartz ([4],2010) Chương trình bày điều kiện cần Fritz John Kanzow- Schwartz điều kiện quy cho MPEC Điều kiện đủ để MPEC M-dừng trình bày với điều kiện quy thích hợp Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tập thể thầy cô giáo truyền đạt tri thức quý giá thời gian tác giả học tập trường Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu hướng dẫn, giúp đỡ tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Cuối tác giả xin cảm ơn Sở giáo dục - Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, trường THPT Yên Ninh, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Học viên Địch Xuân Luyến c Chương Điều kiện cần đủ tối ưu cho toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân J.J Ye Chương trình bày kết J.J Ye ([11],2005) loại điểm dừng, điều kiện M-dừng Fritz John, điều kiện M-dừng Kuhn-Tucker cho toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân khả vi Với giả thiết tính suy rộng, điều kiện M- dừng Kuhn-Tucker trở thành điều kiện M-dừng đủ 1.1 Điều kiện điểm dừng điều kiện điểm quy Xét toán với ràng buộc cân (MPEC): (MPEC) f (z) g(z) ≤ 0, h(z) = 0, G(z) ≥ 0, H(z) = 0, (1.1) G(z)T H(z) = 0, f : Rn → R, G : Rn → Rm , H : Rn → Rm , g : Rn → Rp , h : Rn → Rq kí hiệu phép chuyển vị Để nghiên cứu tốn (MPEC) người ta nghiên cứu dạng không đối xứng toán tối ưu với ràng c buộc cân bằng(OPCC): (OPPC) f (x, y) g(x, y) ≤ 0, h(x, y) = 0, G(x, y) ≥ 0, y ≥ 0, (1.2) G(x, y)T y = Bài toán trường hợp đặc biệt quan trọng (trong Ω = Rm + ) toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân (OPVIC): (OPVIC) f (x, y) g(x, y) ≤ 0, y ∈ Ω, (1.3) h(x, y) = 0, hG(x, y), y − y i ≤ 0, ∀y ∈ Ω, f : Rn+m → R, G : Rn+m → Rm , g : Rn+m → Rp , h : Rn+m → Rq Ω tập lồi đóng Rm Với vectơ d ∈ Rn tập số I ⊆ {1, 2, , n}, di thành phần thứ i d dI vectơ gồm thành phần di với i ∈ I.ha, bi aT b tích vơ hướng vectơ a b 1.1.1 Điểm dừng điều kiện quy Với vectơ chấp nhận z ∗ MPEC, ta định nghĩa tập sau đây: Ig := {i : gi (z ∗ ) = 0} α := α(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) > 0}, β := β(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) = 0}, γ := γ(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) > 0, Hi (z ∗ ) = 0} Tập β tập suy biến Nếu β tập rỗng, vectơ z ∗ gọi thỏa mãn điều kiện bù chặt Ở ta xét trường hợp β 6= ∅ Ta xác định tập phân hoạch β P (β) := {(β1 , β2 ) : β1 ∪ β2 = β, β1 ∩ β2 = ∅} c Mỗi phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β) ghép với toán MPEC: (MPEC)(β1 , β2 ) f (z) g(z) ≤ 0, h(z) = 0, Gi (z) = 0, i ∈ α ∪ β2 , Hi (z) = 0, i ∈ γ ∪ β1 , Gi (z) ≥ 0, i ∈ β1 , Hi (z) ≥ 0, i ∈ β2 (1.4) Rõ ràng z ∗ nghiệm tối ưu địa phương MPEC nghiệm tối ưu M P EC(β1 , β2 ) với phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β) Trước hết ta nhắc lại khái niệm nón tiếp tuyến Định nghĩa 1.1 (Nón tuyến tính) Giả sử Z tập chấp nhận MPEC z ∗ ∈ Z Nón tiếp tuyến Z z ∗ nón đóng xác định T (z ∗ ) := {d ∈ Rn : ∃tn ↓ 0, dn → d cho z ∗ + tn dn ∈ Z, ∀n} (1.5) Khái niệm sau điều kiện điểm dừng MPEC đựa vào [8] Nó khác với điều kiện B-dừng [9] xác định lin ∗ ∇f (z ∗ )T d ≥ 0, ∀d ∈ TM P EC (z ) (1.6) lin ∗ TM P EC (z ) nón tuyến tính hóa MPEC định nghĩa Định nghĩa 1.2 (Điểm B-dừng) Một điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi điểm dừng Boligand (B-dừng) ∇f (z ∗ )T d ≥ 0, ∀d ∈ T (z ∗ ) 1.1.2 (1.7) Điều kiện dừng đối ngẫu Không giống với quy hoạch phi tuyến thơng thường có điều kiện dừng đối ngẫu, tức điều kiện Karush-Kuhn-Tucker MPEC, có số khái niệm dừng Bây tóm tắt trình bày mối liên hệ khái niệm c Định nghĩa 1.3 (Điểm W-dừng) Một điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi dừng yếu tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho điều kiện sau đúng: ∗ = ∇f (z ) + X ∇λgi gi (z ∗ ) − λhi ∇hi (z ∗ ) i=1 i∈Ig m X + q X (1.8) ∗ H ∗ [λG i ∇Gi (z ) + λi ∇Hi (z )], i=1 λgIg ≥ 0, λG γ = 0, λH α = (1.9) Dễ thấy điều kiện W-dừng điều kiện KKT cho toán MPEC chặt sau: (TMPEC) f (z) g(z) ≤ 0, h(z) = 0, Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ, Gi (z) = 0, Hi (z) = 0, i ∈ β Định nghĩa 1.4 (Điểm C-dừng) Điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi điểm dừng Clarke tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho (1.8) - (1.9) điều kiện sau đúng: ∀i ∈ β, H λG i λi ≥ (1.10) Theo [9 Bổ đề 1] điều kiện C-dừng điều kiện KKT không trơn sử dụng grandient suy rộng Clarke [4] cách phát biểu lại MPEC tốn quy hoạch phi tuyến khơng trơn: f (z) g(z) ≤ 0, h(z) = 0, Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ, (1.11) min{Gi (z), Hi (z)} = 0, i ∈ β Định nghĩa 1.5 (Điểm A-dừng) Một điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi điểm dừng luân c phiên tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho (1.8) - (1.9) điều kiện sau đúng: ∀i ∈ β, λG i ≥ 0, λH i ≥ (1.12) Khái niệm điểm A-dừng đưa vào Flegel Kanzow Thực điều kiện A-dừng điều kiện KKT cho M P EC(β1 , β2 ) với phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β) Định nghĩa 1.6 (Điểm M-dừng) Điểm chấp nhận z∗ MPEC gọi Mordukhovich-dừng tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho (1.8) - (1.9) điều kiện sau đúng: ∀i ∈ β, H G H λG i > 0, λi > λi λi = (1.13) Định nghĩa 1.7 (Điểm S-dừng) Một điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi dừng mạnh tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho (1.8) - (1.9) điều kiện sau đúng: ∀i ∈ β, λG i ≥ 0, λH i ≥ Điều kiện S-dừng điều kiện KKT cho MPEC nới lỏng: (RMPEC) f (z) g(z) ≤ 0, h(z) = 0, Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ, Gi (z) ≥ 0, Hi (z) ≥ 0, i ∈ β c (1.14) ... HỌC ĐỊCH XUÂN LUYẾN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY RÀNG BUỘC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... kiện quy ràng buộc cho tốn tối ưu với ràng buộc cân bằng" Mục đích đề tài Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện tối ưu điều kiện quy cho toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân Ye [11] Kanzow... dừng điều kiện quy 1.1.2 Điều kiện dừng đối ngẫu 1.2 Điều kiện cần đủ tối ưu Điều kiện tối ưu điều kiện quy cho tốn quy hoạch toán học với ràng buộc cân