ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ MINH TÂM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI CÁC HÀM LỚP C1 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ MINH TÂM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI CÁC HÀM LỚP C1 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ MINH TÂM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI CÁC HÀM LỚP C1 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2016 c i Mục lục Lời nói đầu Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA GINCHEV - IVANOV 1.1 1.2 Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu toàn cục Điều kiện cần tối ưu cho cực tiểu địa phương 1.3 1.4 Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu địa phương cô lập cấp Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabolic 15 19 Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CHO CỰC TIỂU CÔ LẬP CẤP 22 2.1 2.2 Các khái niệm định nghĩa Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 22 26 2.3 Cực tiểu lập tính lồi suy rộng 34 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 c Lời nói đầu Lý chọn đề tài Điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker (KKT) công cụ hữu hiệu để giải toán tối ưu phi tuyến Các điều kiện cần cấp cho phép ta tìm tập điểm dừng Các điều kiện tối ưu cấp cho phép loại bỏ điểm dừng không nghiệm xác định liệu điểm dừng có nghiệm hay không I Ginchev V I Ivanov ([6], 2008) thiết lập điều kiện cần tối ưu KKT Fritz John (FJ) cấp cho tốn tối ưu có ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm lớp C1 , đạo hàm chúng không Lipschitz địa phương Các điều kiện đủ nhận với hàm mục tiêu khả vi giả lồi cấp V I Ivanov ([10], 2009) tiếp tục nghiên cứu điều kiện tối ưu cho cực tiểu lập tốn đó; điều kiện đủ dẫn với giả thiết tính lồi suy rộng Điều kiện tối ưu cấp đề tài thời sự, nhiều tác giả ngồi nước quan tâm nghiên cứu Chính vậy, tơi chọn đề tài “Điều kiện tối ưu cấp hai với hàm lớp C1 ” Nội dung đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker Fritz John cấp Ginchev – Ivanov ([6], 2008) cho toán tối ưu với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm khả vi liên tục, điều kiện tối ưu cấp cho cực tiểu cô lập Ivanov ([10], 2009) cho tốn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo CHƯƠNG I ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA GINCHEV - IVANOV Trình bày kết nghiên cứu Ginchev - Ivanov ([6], 2008) điều kiện tối ưu Fritz John KKT cấp cho toán tối ưu có ràng c buộc bất đẳng thức ràng buộc tập Trong điều kiện cần, hàm mục tiêu hàm ràng buộc tích cực giả thiết khả vi liên tục, gradient chúng không thiết Lipschitz địa phương Các điều kiện cần dạng hệ khơng tương thích dạng đối ngẫu trình bày Trong điều kiện đủ, hàm mục tiêu khả vi giả lồi cấp 2, hàm ràng buộc khả vi tựa lồi Trong điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương lập ta giả thiết tốn thuộc lớp C1,1 ; điều kiện đủ cho cực tiểu parabolic lập cấp tốn lớp C1 CHƯƠNG II ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CHO CỰC TIỂU CƠ LẬP CẤP Trình bày kết nghiên cứu Ivanov ([10], 2009) điều kiện tối ưu cấp cấp cho cực tiểu lập cấp tốn có ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập Trong điều kiện cần cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2, hàm khả vi liên tục khả vi theo phương cấp Các điều kiện cần tối ưu cấp dạng hệ khơng tương thích dạng đối ngẫu, có khơng có điều kiện quy cấp trình bày Các điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu lập trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS TS Đỗ Văn Lưu, Viện tốn học - Viện Hàn Lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, thầy tận tâm nhiệt tình bảo Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin, phịng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, toàn thể cán giảng dạy lớp cao học tốn K8B nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Cuối tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả Trần Thị Minh Tâm c Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA GINCHEV - IVANOV Chương trình bày điều kiện tối ưu Fritz John Karush – Kuhn – Tucker cấp Ginchev - Ivanov [6] cho toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập Trong điều kiện cần, hàm mục tiêu hàm ràng buộc tích cực giả thiết thuộc lớp C1 , gradient chúng không thiết Lipschitz địa phương Các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức khơng tương thích dạng đối ngẫu trình bày Trong điều kiện đủ, hàm mục tiêu giả thiết khả vi giả lồi cấp 2, hàm ràng buộc khả vi tựa lồi Các điều kiện đủ cho cực tiểu parabolic cô lập cấp tốn lớp C1 trình bày chương 1.1 Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu toàn cục Trong chương trình bày điều kiện tối ưu KKT FJ cho toán (P) sau: Minimize f0 (x) , fi (x) 0, i = 1, , m, x ∈ X, X ⊂ Rn fi , i = 0, 1, , m hàm xác định X Ký hiệu R ¯ = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực R c Hàm f : X → R X tập mở, X ⊂ Rn , f khả vi điểm x ∈ X, 00 f (x) đạo hàm f x Đạo hàm theo phương cấp f (x, u) f x ∈ X theo phương u ∈ Rn xác định công thức 00 ( f (x + tu) − f (x) − t f (x) u) t→+0 t f (x, u) = lim 00 Hàm f gọi khả vi theo phương cấp X đạo hàm f (x, u) tồn với x ∈ X phương u ∈ Rn Nhắc lại hàm f : X → R gọi tựa lồi x ∈ X (theo X) y ∈ X, f (y) f (x) ,t ∈ [0, 1] , (1 − t) x + ty ∈ X ⇒ f ((1 − t) x + ty) f (x) Nếu tập X lồi hàm f gọi tựa lồi X với x, y ∈ X t ∈ [0, 1] ta có f ((1 − t) x + ty) max ( f (x) , f (y)) Bổ đề 1.1.1 ([12]) Giả sử X tập mở Rn f hàm thực xác định X khả vi tựa lồi x ∈ X Khi đó, y ∈ X, f (y) f (x) =⇒ f (x) (y − x) Giả sử hàm f : X → R với X ⊂ Rn tập mở, f khả vi x ∈ X Khi đó, f gọi giả lồi x ∈ X y ∈ X f (y) < f (x) =⇒ f (x) (y − x) < Nếu f khả vi X f gọi giả lồi X f giả lồi x ∈ X Xét hàm f : X → R, X miền mở, f khả vi x ∈ X khả vi theo phương cấp x ∈ X theo phương y − x cho y ∈ X, f (y) < f (x) , f (x) (y − x) = Định nghĩa 1.1.2 Ta nói f giả lồi cấp (nói vắn tắt 2-giả lồi) c x ∈ X với y ∈ X, f (y) < f (x) ⇒ f (x) (y − x) 0; 00 f (y) < f (x) , f (x) (y − x) = ⇒ f (x, y − x) < Giả sử f khả vi X khả vi theo phương cấp x ∈ X theo phương y − x cho y ∈ X, f (y) < f (x) , f (x) (y − x) = Ta nói f 2-giả lồi X f 2-giả lồi x ∈ X Từ định nghĩa ta suy hàm giả lồi khả vi 2-giả lồi Điều ngược lại không Trong phần ta giả sử fi , i = 0, , m hàm thực xác định không gian Euclid hữu hạn chiều Rn Xét toán (P) Ký hiệu S tập chấp nhận S := {x ∈ X| fi (x) 0, i = 1, 2, , m} Với điểm chấp nhận x ∈ S ta kí hiệu I (x) tập số ràng buộc tích cực I (x) := {i ∈ {1, 2, , m} | fi (x) = 0} Định nghĩa 1.1.3 Phương d gọi tới hạn điểm x ∈ S fi (x) d với i ∈ {0} ∪ I (x) Kết phần định lý sau đây: Định lý 1.1.4 Giả sử ràng buộc tập X mở, hàm fi , i = 0, , m xác định X Giả sử fi , (i ∈ {0} ∪ I(x)) ¯ khả vi điểm chấp nhận x¯ khả vi theo phương cấp x¯ theo phương tới hạn d ∈ Rn , f0 2-giả lồi x, ¯ fi , (i ∈ I(x)) ¯ tựa lồi x ¯ Với phương tới hạn d ∈ Rn , tồn nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , , λm với λi fi (x) ¯ = 0, i = 1, , m, 5L (x) ¯ = 0, 00 L = f0 (x) + ∑m ¯ d) > Khi đó, i=1 λi f i (x) hàm Lagrange L (x, x¯ cực tiểu toàn cục (P) c Chứng minh Để đơn giản kí hiệu, ta viết 5L (x) ¯ = 5x L (x, ¯ λ ) Giả sử ngược lại tồn x ∈ S với f0 (x) < f0 (x) ¯ Giả sử x − x¯ phương tới hạn Do tính 2-giả lồi, ta có f0 (x) ¯ (x − x) ¯ Do tính tựa lồi fi (x) f (x) ¯ , i ∈ I (x) ¯ Bổ đề 1.1.1 ta có fi (x) ¯ (x − x) ¯ với i ∈ I (x) ¯ Điều suy x − x¯ tới hạn Sử dụng giả thiết định lý suy tồn nhân tử không âm λ1 , λ2 , , λm với λi fi (x) ¯ = 0, i = 1, , m 5L (x) ¯ (x − x) ¯ =0 cho 00 L (x, x − x) ¯ > Do đó, λi = với i ∈ / I (x) ¯ Do x − x¯ tới hạn, ta nhận 5L (x) ¯ (x − x) ¯ = f0 (x) ¯ (x − x) ¯ + ∑ λi fi (x) ¯ (x − x) ¯ 60 i∈I(x) ¯ Vì vậy, f0 (x) ¯ (x − x) ¯ = λi fi (x) ¯ (x − x) ¯ = với i ∈ I(x) ¯ Khi đó, fi (x) ¯ (x − x) ¯ = λi > Do tính 2-giả lồi, ta suy 00 f0 (x, ¯ x − x) ¯ < Do 00 L (x, ¯ x − x) ¯ < 00 ∑ ¯ x − x) ¯ λi f (x, i∈I(x) ¯ = λi lim ∑ i∈I(x),λ ¯ i >0 t→+0 fi (x¯ + t (x − x)) ¯ − fi (x) ¯ t /2 Do tính tựa lồi ta có fi (x¯ + t (x − x)) ¯ fi (x) ¯ = 0, với i ∈ I(x) ¯ với 00 t ∈ [0, 1] đủ nhỏ Từ ta suy L (x, x − x) ¯ < Đây mâu thuẫn Định lý 1.1.4 tổng quát hóa kết sau Mangasarian [12, định lý 10.1.2], lớp hàm 2-giả lồi chứa lớp hàm giả lồi khả vi c Định lý 1.1.5 (Xem [12]) Giả sử tập ràng buộc X mở Các hàm fi (i = 0, 1, , m) xác định X x¯ điểm chấp nhận Giả sử fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) ¯ khả vi x, ¯ f0 giả lồi x¯ fi (i ∈ I(x)) ¯ tựa lồi x ¯ Nếu tồn nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , , λm với λi fi (x) ¯ = 0, i = 1, , m 5L (x) ¯ = 0, L = f0 (x) + ∑m i=1 λi f i (x) x¯ cực tiểu tồn cục (P) Ví dụ 1.1.6 Xét toán sau: ( Minimize f0 (x) = x2 ,x>0 , −x2 , x < với ràng buộc f1 = −x Trong toán fi ∈ C1 , i = 0, Hàm mục tiêu 2-giả lồi x¯ = Hàm ràng buộc tuyến tính, tựa lồi Hàm Lagrange L (x) = f0 (x) − λ x Điểm dừng x¯ = với nhân tử Lagrange λ = Ràng buộc tích cực x¯ = Các phương tới hạn tất phương d ∈ R cho d > Dễ kiểm tra 00 00 L (0, d) = f0 (0, d) = 2d > Khi đó, theo Định lý 1.1.4, x¯ = cực tiểu toàn cục Bài tốn khơng thể giải với điều kiện đủ Mangasarian [12, định lý 10.1.2], f0 khơng giả lồi Ví dụ 1.1.7 Xét tốn sau Minimize f0 (x) = x3 , với ràng buộc f1 (x) = x Hàm ràng buộc f1 = x tựa lồi Hàm mục tiêu f0 = x3 không 2-giả lồi x¯ = 0, tựa lồi Hàm Lagrange L (x, λ ) = x3 + λ x Tập phương tới hạn {d ∈ R|d 0} Điểm dừng x¯ = với nhân 00 tử Lagrange λ = Ta có L (0, 0) = 0, x¯ = khơng cực tiểu tồn cục c f0 ξ0,k , dk 2L Bằng cách chia cho tk (1.10) lấy giới hạn k → ∞ ta nhận f0 (x) ¯ d¯ Tương tự, ta chứng minh fi (x) ¯ d¯ 0, với i ∈ I (x) ¯ Như d¯ tới hạn Với i ∈ {0} ∪ I (x) ¯ ta xét yik := ( fi (x¯ + tk dk ) − fi (x) ¯ − tk fi (x) ¯ dk ) , tk2 y¯ik := ¯ ¯ f x ¯ + t d − f ( x) ¯ − t f ( x) ¯ d i i i k k tk2 Do Bổ đề 1.3.2, dãy {y¯ik } bị chặn chuyển qua dãy cần thiết, ta giả sử y¯ik hội tụ Nói cách khác y¯ik → y¯i Mặt khác ta có kyik − y¯i k kyik − y¯ik k + ky¯ik − y¯i k ¯ Do yi → y¯i , Từ Bổ đề 1.3.2 ta suy kyik − y¯ik k 2Lkdk − dk k ¯ dk → d Do bất đẳng thức (1.9), (1.7) việc chọn dãy {xk }, ta nhận 00 < L x, ¯ d¯ = lim k→∞ = lim k→∞ ∑ λi y¯ik = i∈{0}∪I(x) ¯ ∑ i∈{0}∪I(x) ¯ λi y¯i = lim k→∞ ∑ λi yik i∈{0}∪I(x) ¯ 2 ¯ − ∑ λi fi (x) ¯ dk ∑ λi t ( fi (x¯ + tk dk ) − fi (x)) tk k i∈{0}∪I(x) ¯ i∈{0}∪I(x) ¯ 2 εktk = k→∞ t k λ0 lim Đây mâu thuẫn c ! ... parabolic c? ? lập c? ??p toán lớp C1 CHƯƠNG II ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU C? ??P CHO C? ? ?C TIỂU C? ? LẬP C? ??P Trình bày kết nghiên c? ??u Ivanov ([10], 2009) điều kiện tối ưu c? ??p c? ??p cho c? ? ?c tiểu c? ? lập c? ??p tốn c? ? ràng bu? ?c. .. ưu cho c? ? ?c tiểu địa phương 1.3 1.4 Điều kiện đủ tối ưu cho c? ? ?c tiểu địa phương c? ? lập c? ??p Điều kiện tối ưu cho c? ? ?c tiểu địa phương parabolic 15 19 Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU C? ??P CHO C? ? ?C. .. H? ?C PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2016 c i M? ?c l? ?c Lời nói đầu Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU C? ??P C? ??A GINCHEV - IVANOV 1.1 1.2 Điều kiện đủ tối ưu cho c? ? ?c tiểu toàn c? ? ?c Điều kiện c? ??n tối ưu